化工工程師-公共基礎(chǔ)-高等數(shù)學(xué)-微分學(xué)

化工工程師-公共基礎(chǔ)-高等數(shù)學(xué)-微分學(xué)[單選題]1.函數(shù)f（x）在點(diǎn)x＝x0處連續(xù)是f（x）在點(diǎn)x＝x0處可微的()。[2019年真題]A.充分條件B.充要條件C.必要條（江南博哥）件D.無(wú)關(guān)條件正確答案：C參考解析：可導(dǎo)等價(jià)于可微，可導(dǎo)必連續(xù)，而連續(xù)未必可導(dǎo)，如函數(shù)y＝|x|在x＝0處函數(shù)連續(xù)但不可導(dǎo)。因此可微是連續(xù)的充分條件，連續(xù)是可微的必要條件。[單選題]2.函數(shù)f（x）＝sin（x＋π/2＋π）在區(qū)間[－π，π]上的最小值點(diǎn)x0等于()。[2017年真題]A.－πB.0C.π/2D.π正確答案：B參考解析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得f′（x）＝cos（x＋π/2＋π），令f′（x）＝cos（x＋π/2＋π）＝0，計(jì)算得x＋π/2＋π＝π/2±kπ，k＝0，1，2，得x＝±kπ－π，根據(jù)區(qū)間[－π，π]知：①當(dāng)k＝0時(shí)，x＝－π，函數(shù)有最大值1；②當(dāng)k＝1時(shí)，x只能取0，函數(shù)有最小值－1；③當(dāng)k＝2時(shí)，x只能取π，函數(shù)有最大值1。綜上，知最小值點(diǎn)x0等于0。[單選題]3.下列極限式中，能夠使用洛必達(dá)法則求極限的是()。[2016年真題]A.B.C.D.正確答案：B參考解析：求極限時(shí)，洛必達(dá)法則的使用條件有：①屬于0/0型或者無(wú)窮/無(wú)窮型的未定式；②在變量所趨向的值的去心鄰域內(nèi)，分子和分母均可導(dǎo)；③分子分母求導(dǎo)后的商的極限存在或趨向于無(wú)窮大。A項(xiàng)屬于1/0型，不符合條件；C項(xiàng)，分子在x＝0處的去心鄰域處不可導(dǎo)，不符合條件；D項(xiàng)不符合條件③；則只有B項(xiàng)正確。[單選題]4.下列等式中不成立的是()。[2018年真題]A.B.C.D.正確答案：B參考解析：A項(xiàng)，因?yàn)閤→0，所以x2→0，所以利用上面重要極限的結(jié)論知B項(xiàng)，極限可化為極限為無(wú)窮小量；而|sinx|≤1，sinx為有界函數(shù)。因?yàn)橛薪绾瘮?shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小，所以C項(xiàng)，即為上面重要極限結(jié)論。D項(xiàng)，因?yàn)閤→∞，得1/x→0，所以利用重要極限知[單選題]5.若則常數(shù)k等于()。[2014年真題]A.－ln2B.ln2C.1D.2正確答案：A參考解析：由兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，得：－k＝ln2，所以k＝－ln2。[單選題]6.若則必有()。[2013年真題]A.a＝1，b＝2B.a＝1，b＝－2C.a＝－1，b＝－1D.a＝1，b＝1正確答案：C參考解析：因?yàn)榍曳帜笧榱悖实?＋a＋b＝0，又由洛必達(dá)法則，有解得：a＝－1。則b＝－1。[單選題]7.設(shè)α（x）＝1－cosx，β（x）＝2x2，則當(dāng)x→0時(shí)，下列結(jié)論中正確的是()。[2012年真題]A.α（x）與β（x）是等價(jià)無(wú)窮小B.α（x）是β（x）的高階無(wú)窮小C.α（x）是β（x）的低階無(wú)窮小D.α（x）與β（x）是同階無(wú)窮小但不是等價(jià)無(wú)窮小正確答案：D參考解析：因或用洛必達(dá)法則故α（x）與β（x）是同階無(wú)窮小但不是等價(jià)無(wú)窮小。[單選題]8.要使得函數(shù)在（0，＋∞）上連續(xù)，則常數(shù)a等于()。[2017年真題]A.0B.1C.－1D.2正確答案：C參考解析：函數(shù)在（0，＋∞）上連續(xù)，因此在x＝1處，有即由洛必達(dá)法則，得即a＝－1。[單選題]9.點(diǎn)x＝0是函數(shù)y＝arctan（1/x）的()。[2014年真題]A.可去間斷點(diǎn)B.跳躍間斷點(diǎn)C.連續(xù)點(diǎn)D.第二類(lèi)間斷點(diǎn)正確答案：B參考解析：第一類(lèi)間斷點(diǎn)的判別方法為：如果f（x）在點(diǎn)x0處間斷，且f（x0＋），f（x0－）都存在。其中，如果f（x0＋）≠f（x0－），則稱(chēng)點(diǎn)x0為函數(shù)f（x）的跳躍間斷點(diǎn)。本題中，因?yàn)閥（0＋）＝π/2，y（0－）＝－π/2，y（0＋）≠y（0－），所以點(diǎn)x＝0是函數(shù)y＝arctan（1/x）的跳躍間斷點(diǎn)。[單選題]10.設(shè)則x＝0是f（x）的下面哪一種情況？()[2012年真題]A.跳躍間斷點(diǎn)B.可去間斷點(diǎn)C.第二類(lèi)間斷點(diǎn)D.連續(xù)點(diǎn)正確答案：D參考解析：函數(shù)在某一點(diǎn)處，左右極限相等且有定義，則函數(shù)在這一點(diǎn)處連續(xù)。函數(shù)的左右極限分別為：由得f（0）＝（x2＋1）|x＝0＝1所以即x＝0是f（x）的連續(xù)點(diǎn)。[單選題]11.函數(shù)f（x）＝（x－x2）/sinπx的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()。[2011年真題]A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無(wú)窮多個(gè)正確答案：B參考解析：函數(shù)分母不為零，分母為零的點(diǎn)有0，±1，±2，±3，……；分子為零的點(diǎn)有0，1。當(dāng)x＝0，1時(shí)，有：故f（x）有兩個(gè)可去間斷點(diǎn)0、1。[單選題]12.若y＝y(tǒng)（x）由方程ey＋xy＝e確定，則y′（0）等于()。[2017年真題]A.－y/eyB.－y/（x＋ey）C.0D.－1/e正確答案：D參考解析：由方程ey＋xy＝e可得，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1。方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得eyy′＋y＋xy′＝0，即y′＝－y/（x＋ey），將x＝0，y＝1代入，則可得y′（0）＝－1/e。[單選題]13.設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)可微，且f′（x）≠0，則f（x）在（a，b）內(nèi)()。[2016年真題]A.必有極大值B.必有極小值C.必?zé)o極值D.不能確定有還是沒(méi)有極值正確答案：C參考解析：可導(dǎo)函數(shù)極值判斷：若函數(shù)f（x）在（a，c）上的導(dǎo)數(shù)大于零，在（c，b）上的導(dǎo)數(shù)小于零，則f（x）在c點(diǎn)處取得極大值；若函數(shù)f（x）在（a，c）上的導(dǎo)數(shù)小于零，在（c，b）上的導(dǎo)數(shù)大于零，則f（x）在c點(diǎn)處取得極小值。即可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)處，f′（x）＝0。函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)可微，則函數(shù)在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)且連續(xù)；又f′（x）≠0，則在（a，b）內(nèi)必有f′（x）＞0或f′（x）＜0，即函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，必?zé)o極值。[單選題]14.下列說(shuō)法中正確的是()。[2014年真題]A.若f′（x0）＝0，則f（x0）必須是f（x）的極值B.若f（x0）是f（x）的極值，則f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f′（x0）＝0C.若f（x0）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f′（x0）＝0是f（x）在x0取得極值的必要條件D.若f（x0）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f′（x0）＝0是f（x）在x0取得極值的充分條件正確答案：C參考解析：當(dāng)f（x0）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)時(shí)，若f（x）在x0處取得極值，則可知f′（x0）＝0；若f′（x0）＝0，而f′（x0＋）f′（x0－）≥0時(shí)，則f（x）在x0處不能取得極值。因此，若f（x0）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f′（x0）＝0是f（x）在x0取得極值的必要條件。[單選題]15.若f′（x0）存在，則()。[2018年真題]A.f′（x0）B.－x0f′（x0）C.f（x0）－x0f′（x0）D.x0f′（x0）正確答案：C參考解析：原式化簡(jiǎn)得[單選題]16.設(shè)則f（x）在點(diǎn)x＝1處()。[2013年真題]A.不連續(xù)B.連續(xù)但左、右導(dǎo)數(shù)不存在C.連續(xù)但不可導(dǎo)D.可導(dǎo)正確答案：C參考解析：即故f（x）在x＝1處連續(xù)；即f－′（1）≠f＋′（1），故不可導(dǎo)。[單選題]17.下列函數(shù)在給定區(qū)間上不滿(mǎn)足拉格朗日定理?xiàng)l件的是()。[2012年真題]A.f（x）＝x/（1＋x2），[－1，2]B.f（x）＝x2/3，[－1，1]C.f（x）＝e1/x，[1，2]D.f（x）＝（x＋1）/x，[1，2]正確答案：B參考解析：在拉格朗日中值定理中，函數(shù)f（x）應(yīng)滿(mǎn)足：在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)。f（x）＝x2/3在[－1，1]連續(xù)。在（－1，1）不可導(dǎo)（因?yàn)閒′（x）在x＝0處導(dǎo)數(shù)不存在），所以不滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的條件。[單選題]18.如果f（x）在x0可導(dǎo)，g（x）在x0不可導(dǎo)，則f（x）g（x）在x0()。[2011年真題]A.可能可導(dǎo)也可能不可導(dǎo)B.不可導(dǎo)C.可導(dǎo)D.連續(xù)正確答案：A參考解析：舉例說(shuō)明，令g（x）＝1/x，g（x）在x0＝0處導(dǎo)數(shù)不存在，即不可導(dǎo)。令f（x）＝x，此時(shí)f（x）·g（x）＝1在x0＝0處可導(dǎo)。令g（x）＝1/x，f（x）＝1，此時(shí)f（x）g（x）＝1/x在x0＝0處不可導(dǎo)。[單選題]19.設(shè)f（x）＝x（x－1）（x－2），則方程f′（x）＝0的實(shí)根個(gè)數(shù)是()。[2016年真題]A.3B.2C.1D.0正確答案：B參考解析：先對(duì)方程求導(dǎo)，得：f′（x）＝3x2－6x＋2，再根據(jù)二元函數(shù)的判別式Δ＝b2－4ac＝12＞0，可知方程有兩個(gè)實(shí)根。[單選題]20.設(shè)則f（π/2）等于()。[2016年真題]A.π/2B.－2/πC.2/πD.0正確答案：B參考解析：將方程兩邊分別對(duì)x取一階導(dǎo)數(shù)得：f（x）＝（－xsinx－cosx）/x2，故[單選題]21.等于()。[2014年真題]A.1/（2x3/2）B.C.D.2/x正確答案：B參考解析：[單選題]22.若則dy/dx等于()。[2013年真題]A.－tantB.tantC.－sintD.cott正確答案：A參考解析：dy/dx＝（dy/dt）/（dx/dt）＝－sint/cost＝－tant。[單選題]23.設(shè)f（x）有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則下列關(guān)系式中正確的是()。[2013年真題]A.∫f（x）dx＝f（x）B.（∫f（x）dx）′＝f（x）C.∫f′（x）dx＝f（x）dxD.（∫f（x）dx）′＝f（x）＋C正確答案：B參考解析：∫f（x）dx＝F（x）＋C，∫f′（x）dx＝f（x）＋C，（∫f（x）dx）′＝f（x）。[單選題]24.設(shè)y＝ln（cosx），則微分dy等于()。[2012年真題]A.dx/cosxB.cotxdxC.－tanxdxD.－dx/（cosxsinx）正確答案：C參考解析：等式兩邊同時(shí)微分，得：dy＝f′（x）dx＝（－sinx）dx/cosx＝－tanxdx。[單選題]25.f（x）的一個(gè)原函數(shù)為則f′（x）等于()。[2012年真題]A.B.C.D.正確答案：A參考解析：由條件f（x）的一個(gè)原函數(shù)為，得再由f（x）兩邊求導(dǎo)得：[單選題]26.若x＝1是函數(shù)y＝2x2＋ax＋1的駐點(diǎn)，則常數(shù)a等于()。[2018年真題]A.2B.－2C.4D.－4正確答案：D參考解析：函數(shù)y關(guān)于x求導(dǎo)，得y′＝4x＋a。因?yàn)閤＝1是函數(shù)y＝2x2＋ax＋1的駐點(diǎn)，所以4×1＋a＝0，計(jì)算得a＝－4。[單選題]27.曲線f（x）＝xe－x的拐點(diǎn)是()。[2017年真題]A.（2，2e－2）B.（－2，－2e2）C.（－1，－e）D.（1，e－1）正確答案：A參考解析：f（x）＝xe－x，有f′（x）＝（1－x）e－x，有f″（x）＝（x－2）e－x，令f″（x）＝0，計(jì)算得x＝2，通過(guò)計(jì)算知，f″（x）在x＝2的左、右兩側(cè)鄰近異號(hào)，又f（2）＝2e－2，所以點(diǎn)（2，2e－2）為曲線的拐點(diǎn)。[單選題]28.函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）處的一階偏導(dǎo)數(shù)存在是該函數(shù)在此點(diǎn)可微分的()。[2018年真題]A.必要條件B.充分條件C.充分必要條件D.既非充分條件也非必要條件正確答案：A參考解析：函數(shù)f（x，y）在P0（x0，y0）可微，則f（x，y）在P0（x0，y0）的偏導(dǎo)數(shù)一定存在。反之，偏導(dǎo)數(shù)存在不一定能推出函數(shù)在該點(diǎn)可微。舉例如下：函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處有fx（0，0）＝0，fy（0，0）＝0，但函數(shù)f（x，y）在（0，0）處不可微。因此，函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）處的一階偏導(dǎo)數(shù)存在是該函數(shù)在此點(diǎn)可微分的必要條件。[單選題]29.設(shè)z＝y(tǒng)φ（x/y），其中φ（u）具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則?2z/（?x?y）等于()。[2017年真題]A.（1/y）φ″（x/y）B.（－x/y2）φ″（x/y）C.1D.φ′（x/y）－（x/y）φ″（x/y）正確答案：B參考解析：計(jì)算得?z/?x＝y(tǒng)·φ′（x/y）·（1/y）＝φ′（x/y）?2z/?x?y＝－（x/y2）φ″（x/y）[單選題]30.設(shè)函數(shù)z＝f（x2y），其中f（u）具有二階導(dǎo)數(shù)，則?2z/（?x?y）等于()。[2018年真題]A.f″（x2y）B.f′（x2y）＋x2f″（x2y）C.2x[f′（x2y）＋yf″（x2y）]D.2x[f′（x2y）＋x2yf″（x2y）]正確答案：D參考解析：?2z/（?x?y）是先關(guān)于x求導(dǎo)，再關(guān)于y求導(dǎo)，計(jì)算得[單選題]31.設(shè)z＝3xy/x＋xF（u），其中F（u）可微，且u＝y(tǒng)/x，則?z/?y等于()。[2016年真題]A.3xy－yF′（u）/xB.3xyln3/x＋F′（u）C.3xy＋F′（u）D.3xyln3＋F′（u）正確答案：D參考解析：計(jì)算得[單選題]32.設(shè)方程x2＋y2＋z2＝4z確定可微函數(shù)z＝z（x，y），則全微分dz等于()。[2014年真題]A.（ydx＋xdy）/（2－z）B.（xdx＋ydy）/（2－z）C.（dx＋dy）/（2＋z）D.（dx－dy）/（2－z）正確答案：B參考解析：對(duì)等式兩邊分別同時(shí)求導(dǎo)，得：2xdx＋2ydy＋2zdz＝4dz。所以dz＝（xdx＋ydy）/（2－z）[單選題]33.設(shè)則?2z/?x2等于()。[2014年真題]A.B.C.D.正確答案：A參考解析：一次偏導(dǎo)為：二次偏導(dǎo)為：[單選題]34.設(shè)z＝z（x，y）是由方程xz－xy＋ln（xyz）＝0所確定的可微函數(shù)，則?z/?y等于()。[2013年真題]A.－xz/（xz＋1）B.－x＋1/2C.z（－xz＋y）/[x（xz＋1）]D.z（xy－1）/[y（xz＋1）]正確答案：D參考解析：將xz－xy＋ln（xyz）＝0兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)，得xzy′－x＋x（z＋y·zy′）/（xyz）＝0，整理得zy′＝z（xy－1）/[y（xz＋1）]。[單選題]35.若z＝f（x，y）和y＝φ（x）均可微，則dz/dx等于()。[2013年真題]A.?f/?x＋?f/?yB.?f/?x＋（?f/?y）（dφ/dx）C.（?f/?y）（dφ/dx）D.?f/?x－（?f/?y）（dφ/dx）正確答案：B參考解析：dz/dx＝（?f/?x）（dx/dx）＋（?f/?y）（dφ/dx）＝?f/?x＋（?f/?y）（dφ/dx）。[單選題]36.設(shè)f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()。[2018年真題]A.f[g（x）]B.f[f（x）]C.g[f（x）]D.g[g（x）]正確答案：D參考解析：D項(xiàng)，令T（x）＝g[g（x）]。因?yàn)門(mén)（－x）＝g[g（－x）]＝g[－g（x）]＝－g[g（x）]，所以T（－x）＝－T（x），所以g[g（x）]為奇函數(shù)。[單選題]37.已知f（x）為連續(xù)的偶函數(shù)，則f（x）的原函數(shù)中()。[2013年真題]A.有奇函數(shù)B.都是奇函數(shù)C.都是偶函數(shù)D.沒(méi)有奇函數(shù)也沒(méi)有偶函數(shù)正確答案：A參考解析：f（x）的原函數(shù)中有與f（x）的奇偶性相反的函數(shù)，但并不是所有偶函數(shù)f（x）的原函數(shù)都是奇函數(shù)。[單選題]38.若f（－x）＝－f（x）（－∞＜x＜＋∞），且在（－∞，0）內(nèi)f′（x）＞0，f″（x）＜0，則f（x）在（0，＋∞）內(nèi)是()。[2013年真題]A.f′（x）＞0，f″（x）＜0B.f′（x）＜0，f″（x）＞0C.f′（x）＞0，f″（x）＞0D.f′（x）＜0，f″（x）＜0正確答案：C參考解析：由f（－x）＝－f（x）（－∞＜x＜＋∞），知f（x）為奇函數(shù)，奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。根據(jù)奇函數(shù)圖形，故在（0，＋∞）內(nèi)，f′（x）＞0，f″（x）＞0。[單選題]39.函數(shù)y＝（5－x）x2/3的極值可疑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()。[2013年真題]A.0B.1C.2D.3正確答案：C參考解析：極值可疑點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)不存在或者導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。函數(shù)求導(dǎo)y′＝5x－1/3（2－x）/3，可見(jiàn)函數(shù)在x＝0處導(dǎo)數(shù)不存在，在x＝2處導(dǎo)數(shù)為零，所以有兩個(gè)極值可疑點(diǎn)。[單選題]40.設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在[a，b]上均可導(dǎo)（a＜b），且恒正，若f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，則當(dāng)x∈（a，b）時(shí)，下列不等式中成立的是()。[2018年真題]A.