環(huán)保工程師-公共基礎(chǔ)-高等數(shù)學(xué)-空間解析幾何

環(huán)保工程師-公共基礎(chǔ)-高等數(shù)學(xué)-空間解析幾何[單選題]1.設(shè)α、β均為非零向量，則下面結(jié)論正確的是()。[2017年真題]A.α×β＝0是α與β垂直的充要條件B.α·β＝0（江南博哥）是α與β平行的充要條件C.α×β＝0是α與β平行的充要條件D.若α＝λβ（λ是常數(shù)），則α·β＝0正確答案：C參考解析：AC兩項(xiàng)，α×β＝0是α與β平行的充要條件。B項(xiàng)，α·β＝0是α與β垂直的充要條件。D項(xiàng)，若α＝λβ（λ是常數(shù)），則α與β相互平行，則有α×β＝0。[單選題]2.設(shè)向量α與向量β的夾角θ＝π/3，模|α|＝1，|β|＝2，則模|α＋β|等于()。[2018年真題]A.B.C.D.正確答案：B參考解析：計(jì)算得：[單選題]3.若向量α，β滿足|α|＝2，，且α·β＝2，則|α×β|等于()。[2016年真題]A.2B.C.D.不能確定正確答案：A參考解析：設(shè)兩向量α，β的夾角為θ，根據(jù)α·β＝2，解得：故|α×β|＝|α||β|sinθ＝2。[單選題]4.已知向量α＝（－3，－2，1），β＝（1，－4，－5），則|α×β|等于()。[2013年真題]A.0B.6C.D.14i＋16j－10k正確答案：C參考解析：因?yàn)樗訹單選題]5.過(guò)點(diǎn)（2，0，－1）且垂直于xOy坐標(biāo)面的直線方程是()。[2019年真題]A.B.C.D.正確答案：C參考解析：垂直于xOy面的直線的方向向量為（0，0，1），由于過(guò)點(diǎn)（2，0，－1），則直線的點(diǎn)向式方程為：。[單選題]6.設(shè)直線方程為則該直線()。[2010年真題]A.過(guò)點(diǎn)（－1，2，－3），方向向量為i＋2j－3kB.過(guò)點(diǎn)（－1，2，－3），方向向量為－i－2j＋3kC.過(guò)點(diǎn)（1，2，－3），方向向量為i－2j＋3kD.過(guò)點(diǎn)（1，－2，3），方向向量為－i－2j＋3k正確答案：D參考解析：把直線方程的參數(shù)形式改寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式：（x－1）/1＝（y＋2）/2＝（z－3）/（－3），則直線的方向向量為±（1，2，－3），過(guò)點(diǎn)（1，－2，3）。[單選題]7.下列平面中，平行于且與yOz坐標(biāo)面非重合的平面方程是()。[2018年真題]A.y＋z＋1＝0B.z＋1＝0C.y＋1＝0D.x＋1＝0正確答案：D參考解析：D項(xiàng)，平面方程x＋1＝0化簡(jiǎn)為x＝－1，顯然平行yOz坐標(biāo)面，且不重合。ABC三項(xiàng)，均不平行于yOz坐標(biāo)面。[單選題]8.已知直線L：x/3＝（y＋1）/（－1）＝（z－3）/2，平面π：－2x＋2y＋z－1＝0，則()。[2013年真題]A.L與π垂直相交B.L平行于π但L不在π上C.L與π非垂直相交D.L在π上正確答案：C參考解析：直線L的方向向量為±（3，－1，2），平面π的法向量為（－2，2，1），由于3/（－2）≠（－1）/2≠2/1，故直線與平面不垂直；又3×（－2）＋（－1）×2＋2×1＝－6≠0，所以直線與平面不平行。所以直線與平面非垂直相交。直線L與平面π的交點(diǎn)為（0，－1，3）。[單選題]9.設(shè)直線L為平面π為4x－2y＋z－2＝0，則直線和平面的關(guān)系是()。[2012年真題]A.L平行于πB.L在π上C.L垂直于πD.L與π斜交正確答案：C參考解析：直線L的方向向量為：即s＝（－28，14，－7）。平面π的法線向量為：n＝（4，－2，1）。由上可得，s、n坐標(biāo)成比例，即（－28）/4＝14/（－2）＝（－7）/1，故s∥n，直線L垂直于平面π。[單選題]10.設(shè)直線方程為x＝y(tǒng)－1＝z，平面方程為x－2y＋z＝0，則直線與平面()。[2011年真題]A.重合B.平行不重合C.垂直相交D.相交不垂直正確答案：B參考解析：直線的方向向量s＝（1，1，1），平面的法向向量n＝（1，－2，1），兩向量的數(shù)量積s·n＝1－2＋1＝0，則這兩個(gè)向量垂直，即直線與平面平行。又該直線上的點(diǎn)（0，1，0）不在平面上，故直線與平面不重合。[單選題]11.yOz坐標(biāo)面上的曲線繞Oz軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程是()。[2016年真題]A.x2＋y2＋z＝1B.x2＋y2＋z2＝1C.D.正確答案：A參考解析：一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面為旋轉(zhuǎn)曲面。若yOz平面上的曲線方程為f（y，z）＝0，將此曲線繞Oz軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：又故x2＋y2＋z＝1。同理，曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：[單選題]12.在空間直角坐標(biāo)系中，方程x2＋y2－z＝0表示的圖形是()。[2014年真題]A.圓錐面B.圓柱面C.球面D.旋轉(zhuǎn)拋物面正確答案：D參考解析：在平面直角坐標(biāo)系中，z＝x2為關(guān)于z軸對(duì)稱的拋物線。因此可考慮將該拋物線繞Oz軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面方程：代入z＝x2得即x2＋y2－z＝0。因此方程x2＋y2－z＝0表示的圖形為在面xOz內(nèi)的拋物線z＝x2繞z軸旋轉(zhuǎn)得到的圖形，即旋轉(zhuǎn)拋物面。[單選題]13.方程x2－y2/4＋z2＝1，表示()。[2012年真題]A.旋轉(zhuǎn)雙曲面B.雙葉雙曲面C.雙曲柱面D.錐面正確答案：A參考解析：方程x2－y2/4＋z2＝1，即x2＋z2－y2/4＝1，可由xOy平面上雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)得到，或可由yOz平面上雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)得到。即該方程表示旋轉(zhuǎn)雙曲面。[單選題]14.在三維空間中方程y2－z2＝1所代表的圖形是()。[2011年真題]A.母線平行x軸的雙曲柱面B.母線平行y軸的雙曲柱面C.母線平行z軸的雙曲柱面D.雙曲線正確答案：A參考解析：由于表示在x＝0的平面上的雙曲線，故三維空間中方程y2－z2＝1表示雙曲柱面，x取值為﹙－∞，＋∞﹚，即為母線平行x軸的雙曲柱面。[單選題]15.設(shè)有直線L1：（x－1）/1＝（y－3）/（－2）＝（z＋5）/1與L2：則L1與L2的夾角θ等于()。[2014年真題]A.π/2B.π/3C.π/4D.π/6正確答案：B參考解析：由題意可知1＝（m1，n1，p1）＝（1，－2，1）將L2的參數(shù)形式改為標(biāo)準(zhǔn)形式：（x－3）/（－1）＝（y－1）/（－1）＝（z－1）/2所以2＝（m2，n2，p2）＝（－1，－1，2）所以L1與L2的夾角θ＝π/3。[單選題]16.曲線x2＋4y2＋z2＝4與平面x＋z＝a的交線在yOz平面上的投影方程是()。[2012年真題]A.B.C.D.（a－z）2＋4y2＋z2＝4正確答案：A參考解析：在yOz平面上投影方程必有x＝0，排除B項(xiàng)。令方程組為：由式②得：x＝a－z。將上式代入式①得：（a－z）2＋4y2＋z2＝4，則曲線在yOz平面上投影方程為：[單選題]17.設(shè)α、β、γ都是非零向量，若α×β＝α×γ，則()。A.β＝γB.α∥β且α∥γC.α∥（β－γ）D.α⊥（β－γ）正確答案：C參考解析：根據(jù)題意可得，α×β－α×γ＝α×（β－γ）＝0，故α∥（β－γ）。[單選題]18.已知a、b均為非零向量，而|a＋b|＝|a－b|，則()。A.a－b＝0B.a＋b＝0C.a·b＝0D.a×b＝0正確答案：C參考解析：由a≠0，b≠0及|a＋b|＝|a－b|知，（a＋b）·（a＋b）＝（a－b）·（a－b）。即a·b＝－a·b，所以a·b＝0。[單選題]19.設(shè)三向量a，b，c滿足關(guān)系式a·b＝a·c，則()。A.必有a＝0或b＝cB.必有a＝b－c＝0C.當(dāng)a≠0時(shí)必有b＝cD.a與（b－c）均不為0時(shí)必有a⊥（b－c）正確答案：D參考解析：因a·b＝a·c?a·（b－c）＝0?a＝0或b－c＝0或a⊥（b－c）。當(dāng)a與（b－c）均不為0時(shí)，有a⊥（b－c）。[單選題]20.設(shè)向量x垂直于向量a＝（2，3，－1）和b＝（1，－2，3），且與c＝（2，－1，1）的數(shù)量積為－6，則向量x＝()。A.（－3，3，3）B.（－3，1，1）C.（0，6，0）D.（0，3，－3）正確答案：A參考解析：由題意可得，x∥a×b，而所以x＝（x，－x，－x）。再由－6＝x·c＝（x，－x，－x）·（2，－1，1）＝2x，得x＝－3，所以x＝（－3，3，3）。[單選題]21.直線L1：與L2：之間的關(guān)系是()。A.L1∥L2B.L1，L2相交但不垂直C.L1⊥L2但不相交D.L1，L2是異面直線正確答案：A參考解析：直線L1與L2的方向向量分別為：又3/（－9）＝1/（－3）＝5/（－15），故l1∥l2，即L1∥L2。[單選題]22.已知直線方程中所有系數(shù)都不等于0，且A1/D1＝A2/D2，則該直線()。A.平行于x軸B.與x軸相交C.通過(guò)原點(diǎn)D.與x軸重合正確答案：B參考解析：因A1/D1＝A2/D2，故在原直線的方程中可消去x及D，故得原直線在yOz平面上的投影直線方程為在yOz平面上的投影過(guò)原點(diǎn)（將原點(diǎn)坐標(biāo)（0，0，0）代入直線方程），故原直線必與x軸相交。又因D1，D2≠0，將（0，0，0）代入直線方程可知直線不過(guò)原點(diǎn)。[單選題]23.已知直線L1過(guò)點(diǎn)M1（0，0，－1）且平行于x軸，L2過(guò)點(diǎn)M2（0，0，1）且垂直于xOz平面，則到兩直線等距離點(diǎn)的軌跡方程為()。A.x2＋y2＝4zB.x2－y2＝2zC.x2－y2＝zD.x2－y2＝4z正確答案：D參考解析：兩直線的方程為：L1：x/1＝y(tǒng)/0＝（z＋1）/0，L2：x/0＝y(tǒng)/1＝（z－1）/0。設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M（x，y，z），則由點(diǎn)到直線的距離的公式知：（其中l(wèi)i是直線Li的方向向量，Mi是直線Li上的一點(diǎn)），所以：由d1＝d2得：d12＝d22，故（z＋1）2＋y2＝（z－1）2＋x2，即x2－y2＝4z。[單選題]24.在平面x＋y＋z－2＝0和平面x＋2y－z－1＝0的交線上有一點(diǎn)M，它與平面x＋2y＋z＋1＝0和x＋2y＋z－3＝0等距離，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為()。A.（2，0，0）B.（0，0，－1）C.（3，－1，0）D.（0，1，1）正確答案：C參考解析：A項(xiàng)，點(diǎn)（2，0，0）不在平面x＋2y－z－1＝0上；B項(xiàng)，點(diǎn)（0，0，－1）不在平面x＋y＋z－2＝0上；D項(xiàng)，點(diǎn)（0，1，1）與兩平面不等距離。[單選題]25.設(shè)平面α平行于兩直線x/2＝y(tǒng)/（－2）＝z及2x＝y(tǒng)＝z，且與曲面z＝x2＋y2＋1相切，則α的方程為()。A.4x＋2y－z＝0B.4x－2y＋z＋3＝0C.16x＋8y－16z＋11＝0D.16x－8y＋8z－1＝0正確答案：C參考解析：由平面α平行于兩已知直線可得，平面α的法向量為：n＝（2，－2，1）×（1，2，2）＝－3（2，1，－2）。設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0，z0），則切點(diǎn)處曲面的法向量為（2x0，2y0，－1），故2/（2x0）＝1/（2y0）＝（－2）/（－1），由此解得x0＝1/2，y0＝1/4，從而z0＝x02＋y02＋1＝21/16，因此α的方程為：2（x－1/2）＋（y－1/4）－2（z－21/16）＝0，即16x＋8y－16z＋11＝0。[單選題]26.三個(gè)平面x＝cy＋bz，y＝az＋cx，z＝bx＋ay過(guò)同一直線的充要條件是()。A.a＋b＋c＋2abc＝0B.a＋b＋c＋2abc＝1C.a2＋b2＋c2＋2abc＝0D.a2＋b2＋c2＋2abc＝1正確答案：D參考解析：由于三個(gè)平面過(guò)同一直線，線性齊次方程組有無(wú)窮解，即行列式解得a2＋b2＋c2＋2abc＝1。[單選題]27.通過(guò)直線和直線的平面方程為()。A.x－z－2＝0B.x＋z＝0C.x－2y＋z＝0D.x＋y＋z＝1正確答案：A參考解析：化直線的參數(shù)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x＋1）/2＝（y－2）/3＝（z＋3）/2，（x－3）/2＝（y＋1）/3＝（z－1）/2，因點(diǎn)（－1，2，－3）不在平面x＋z＝0上，故可排除B項(xiàng)；因點(diǎn)（3，－1，1）不在x－2y＋z＝0和x＋y＋z＝1這兩個(gè)平面上，故可排除CD兩項(xiàng)，選A項(xiàng)。由于題目所給兩條直線的方向向量相同，故為兩條平行直線，且已知兩個(gè)點(diǎn)分別為（－1，2，－3）和（3，－1，1），過(guò)這兩個(gè)已知點(diǎn)的直線方程的方向向量為：（4，－3，4），故可求得通過(guò)這三條直線（兩條平行線和一條與平行線相交的直線）平面的法向量為：故平面方程為18x－18z＋D＝0，代入點(diǎn)（－1，2，－3）解得：D＝－36，故平面方程為x－z－2＝0。[單選題]28.過(guò)點(diǎn)（－1，2，3）垂直于直線x/4＝y(tǒng)/5＝z/6且平行于平面7x＋8y＋9z＋10＝0的直線是()。A.（x＋1）/1＝（y－2）/（－2）＝（z－3）/1B.（x＋1）/1＝（y－2）/2＝（z－3）/2C.（x＋1）/（－1）＝（y－2）/（－2）＝（z－3）/1D.（x－1）/1＝（y－2）/（－2）＝（z－3）/1正確答案：A參考解析：直線x/4＝y(tǒng)/5＝z/6的方向向量為s＝4，5，6，平面7x＋8y＋9z＋10＝0的法向量為n＝7，8，9。顯然ABC三項(xiàng)中的直線均過(guò)點(diǎn)（－1，2，3）。A項(xiàng)中直線的方向向量為s1＝（1，－2，1），有s1⊥s，s1⊥n，可見(jiàn)A中直線與已知直線x/4＝y(tǒng)/5＝z/6垂直，與平面7x＋8y＋9z＋10＝0平行。[單選題]29.若直線（x－1）/1＝（y＋1）/2＝（z－1）/λ與（x＋1）/1＝（y－1）/1＝z/1相交，則必有()。A.λ＝1B.λ＝3/2C.λ＝－4/5D.λ＝5/4正確答案：D參考解析：如果兩直線相交，則這兩條直線的方向向量與這兩條直線上兩點(diǎn)連線構(gòu)成的向量應(yīng)在同一平面上，由此來(lái)確定λ。點(diǎn)A（1，－1，1），B（－1，1，0）分別為兩條直線上的一點(diǎn)，則兩條直線的方向向量分別為s1＝（1，2，λ），s2＝（1，1，1），這三個(gè)向量應(yīng)在同一個(gè)平面上，即：解得：λ＝5/4。[單選題]30.已知曲面z＝4－x2－y2上點(diǎn)P處的切平面平行于平面π：2x＋2y＋z－1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()。A.（1，－1，2）B.（－1，1，2）C.（1，1，2）D.（－1，－1，2）正確答案：C參考解析：即求曲面S：F（x，y，z）＝0，其中F（x，y，z）＝z＋x2＋y2－4上點(diǎn)P使S在該點(diǎn)處的法向量n與平面π：2x＋2y＋z－