第四章 概括并描述數(shù)值數(shù)據(jù)

統(tǒng)計(jì)學(xué)原理

第四章統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分布特征的測度Summarizing&DescribingNumericalData

第一節(jié)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)一、總量指標(biāo)（絕對(duì)數(shù)指標(biāo)）總量指標(biāo)（絕對(duì)數(shù)）統(tǒng)計(jì)絕對(duì)數(shù)的計(jì)量單位

絕對(duì)數(shù)的統(tǒng)計(jì)方法統(tǒng)計(jì)絕對(duì)數(shù)的應(yīng)用

二、相對(duì)指標(biāo)（相對(duì)數(shù)指標(biāo)）概念：統(tǒng)計(jì)絕對(duì)數(shù)是反映在一定時(shí)間、空間條件下某種現(xiàn)象的總體規(guī)模、總水平或總成果的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，以絕對(duì)數(shù)形式表現(xiàn)?；蛘呤钦f明總體單位總數(shù)目和總體單位某一數(shù)量標(biāo)志值總和的指標(biāo)。一、總量指標(biāo)的概念和作用作用反映國情、國力和企事業(yè)單位人、財(cái)、物的狀況；是國民經(jīng)濟(jì)宏觀管理和企業(yè)經(jīng)濟(jì)核算的基礎(chǔ)性指標(biāo)，是實(shí)行目標(biāo)管理的工具；是計(jì)算相對(duì)指標(biāo)和平均指標(biāo)的基礎(chǔ)。二、統(tǒng)計(jì)絕對(duì)數(shù)的分類按反映總體內(nèi)容分總體單位總數(shù)總體標(biāo)志總數(shù)按反映的時(shí)間狀態(tài)分時(shí)點(diǎn)數(shù)時(shí)期數(shù)二、相對(duì)數(shù)及其計(jì)量形式

（一）統(tǒng)計(jì)相對(duì)數(shù)的概念與作用1.概念：統(tǒng)計(jì)相對(duì)數(shù)是兩個(gè)有聯(lián)系的指標(biāo)數(shù)值的比率，反映現(xiàn)象的相對(duì)數(shù)量特征。2.作用反映總體內(nèi)在的結(jié)構(gòu)特征；用于不同對(duì)象的比較評(píng)價(jià)；反映事物發(fā)展變化的過程和趨勢。（二）統(tǒng)計(jì)相對(duì)數(shù)的計(jì)量形式1.無名數(shù)2.有名數(shù)二、幾種主要的統(tǒng)計(jì)相對(duì)數(shù)（一）計(jì)劃完成相對(duì)數(shù)1.計(jì)劃完成相對(duì)數(shù)的概念及一般計(jì)算公式：計(jì)劃完成相對(duì)數(shù)是經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在某一時(shí)間、某類指標(biāo)的實(shí)際完成數(shù)與計(jì)劃完成數(shù)對(duì)比，反映計(jì)劃完成的程度。其基本計(jì)算公式為：計(jì)劃完成相對(duì)數(shù)=×100%2.絕對(duì)數(shù)的計(jì)劃完成相對(duì)數(shù)3.相對(duì)數(shù)的計(jì)劃完成相對(duì)數(shù)4.對(duì)計(jì)劃完成相對(duì)數(shù)的評(píng)價(jià)：對(duì)量多質(zhì)高的現(xiàn)象，規(guī)定了最低限額，其計(jì)劃完成相對(duì)數(shù)應(yīng)該＞100%才好，凡超過100%的部分即為超額完成任務(wù)。對(duì)量少質(zhì)高的現(xiàn)象，規(guī)定了最高限額，其計(jì)劃完成相對(duì)數(shù)應(yīng)該＜100%才好，100%與其數(shù)值之間的差額即為超額完成的任務(wù)。5.計(jì)劃執(zhí)行進(jìn)度的檢查6.中、長期計(jì)劃完成情況的檢查對(duì)中、長期計(jì)劃完成程度的檢查對(duì)中、長期計(jì)劃提前完成時(shí)間的檢查（二）結(jié)構(gòu)相對(duì)數(shù)1.結(jié)構(gòu)相對(duì)數(shù)的概念及計(jì)算公式結(jié)構(gòu)相對(duì)數(shù)是在分組的基礎(chǔ)上，將分組指標(biāo)與總體指標(biāo)對(duì)比，反映總體部分?jǐn)?shù)值占總體全部數(shù)值的比重，常用百分?jǐn)?shù)表示?？傮w各部分所占比重之和等于100%或1。計(jì)算公式如下：結(jié)構(gòu)相對(duì)數(shù)=×100%反映事物質(zhì)量和利用程度反映事物構(gòu)成變化反映事物構(gòu)成特征結(jié)構(gòu)相對(duì)數(shù)的應(yīng)用（三）比例相對(duì)數(shù)1.比例相對(duì)數(shù)的計(jì)算公式總體內(nèi)部各個(gè)組成部分之間存在著一定的聯(lián)系和協(xié)調(diào)關(guān)系。比例相對(duì)數(shù)是反映總體中各組成部分之間數(shù)量聯(lián)系程度、協(xié)調(diào)平衡狀況及比例關(guān)系的相對(duì)指標(biāo)。其計(jì)算公式為：比例相對(duì)數(shù)=2.比例數(shù)的應(yīng)用反映事物構(gòu)成特征反映事物協(xié)調(diào)平衡關(guān)系（四）比較相對(duì)數(shù)

1.比較相對(duì)數(shù)的計(jì)算公式比較相對(duì)數(shù)可用來反映同類現(xiàn)象數(shù)量特征在不同空間條件下靜態(tài)對(duì)比關(guān)系，是不同空間同一時(shí)間上同類指標(biāo)對(duì)比的結(jié)果。比較相對(duì)數(shù)的計(jì)算公式為：比較相對(duì)數(shù)=2.比較相對(duì)數(shù)的應(yīng)用比較相對(duì)數(shù)計(jì)算方法靈活，應(yīng)用范圍廣泛。（五）強(qiáng)度相對(duì)數(shù)1.強(qiáng)對(duì)相對(duì)數(shù)的計(jì)算公式強(qiáng)度相對(duì)數(shù)是兩個(gè)性質(zhì)不同而有聯(lián)系的統(tǒng)計(jì)絕對(duì)數(shù)之比，說明一種現(xiàn)象在另一種現(xiàn)象中的強(qiáng)度、密度和普遍程度。其計(jì)算公式為：強(qiáng)度相對(duì)數(shù)=2.強(qiáng)度相對(duì)數(shù)的應(yīng)用反映客觀事物發(fā)展的基本狀況和質(zhì)量。反映現(xiàn)象發(fā)展水平之間的差距。（六）動(dòng)態(tài)相對(duì)數(shù)1.動(dòng)態(tài)相對(duì)數(shù)的計(jì)算公式動(dòng)態(tài)相對(duì)數(shù)是同一現(xiàn)象的同類指標(biāo)在不同時(shí)間狀態(tài)的對(duì)比，反映其發(fā)展變動(dòng)方向和變動(dòng)程度。通常我們把所有研究時(shí)間的指標(biāo)稱為報(bào)告期水平，把作為對(duì)比基礎(chǔ)時(shí)間的指標(biāo)稱為基期水平，計(jì)算公式如下：動(dòng)態(tài)相對(duì)數(shù)=×100%2.動(dòng)態(tài)相對(duì)數(shù)的應(yīng)用反映現(xiàn)象變動(dòng)方向及變動(dòng)程度。反映現(xiàn)象變動(dòng)過程及變動(dòng)規(guī)律。第二節(jié)分布集中趨勢的測度（centraltendency）一、位置平均數(shù)1、眾數(shù)2、中位數(shù)3、分位數(shù)二、數(shù)值平均數(shù)1、算術(shù)平均數(shù)2、幾何平均數(shù)3、調(diào)和平均數(shù)4、切尾均值三、眾數(shù)、中位數(shù)和均值的比較位置平均數(shù)一、眾數(shù)（Mode）一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值適合于數(shù)據(jù)量較多時(shí)使用不受極端值的影響一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個(gè)眾數(shù)對(duì)數(shù)值數(shù)據(jù)和類型數(shù)據(jù)均適用，但主要用于分類數(shù)據(jù)實(shí)際上，當(dāng)標(biāo)志的變化沒有方向時(shí)（即“定類標(biāo)志”），若存在均衡狀態(tài)，則其理應(yīng)為“最有可能出現(xiàn)的標(biāo)志值”。眾數(shù)

(不惟一性)無眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):659855多于一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):252828364242確定眾數(shù)的方法1、根據(jù)單變量數(shù)列確定眾數(shù)2、根據(jù)組距數(shù)列確定眾數(shù)根據(jù)單變量數(shù)列確定眾數(shù)1.確定眾數(shù)組2.確定相應(yīng)的眾數(shù)值單變量數(shù)列中包含總體單位最多的對(duì)應(yīng)標(biāo)志值就是眾數(shù)某工地有50個(gè)工人，本周所得工資分布表，計(jì)算其眾數(shù)按工資分組（元）工人數(shù)（人）（頻數(shù)）比率（%）（頻率）42464952586269768288951001212998942212424181816188442合計(jì)50100首先明確這是一個(gè)單變量數(shù)列其次找出眾數(shù)組：58、62、76這三個(gè)數(shù)量標(biāo)志對(duì)應(yīng)的組就是眾數(shù)組最后，由于對(duì)于單變量數(shù)列來說，其數(shù)量標(biāo)志就是該組相應(yīng)發(fā)生的變量值，所以眾數(shù)值就是58、62、76根據(jù)組距數(shù)列確定眾數(shù)1.根據(jù)組距數(shù)列確定眾數(shù)只能得出近似值2.確定眾數(shù)的方法包括兩類：⑴組中值法⑵插補(bǔ)法組中值法：①找出眾數(shù)組②計(jì)算眾數(shù)組的組中值，該組中值就近似等于眾數(shù)這種方法適用于同組內(nèi)的數(shù)據(jù)分布比較均勻，組距不大的組距數(shù)列。插補(bǔ)法：①.找出眾數(shù)組②.根據(jù)上限或者下限公式確定眾數(shù)的值這種方法適用于數(shù)據(jù)分布不均勻的組距數(shù)列。計(jì)算（估計(jì)）：公式某工地有50個(gè)工人，本周所得工資分布表，計(jì)算其眾數(shù)按工資分組（元）工人數(shù)（人）（頻數(shù)）比率（%）（頻率）42－5050-5858-6666-7474-8282-9090-1004218896384361618126合計(jì)50100首先確定眾數(shù)組：58－66這組人數(shù)最多由于存在組距，且分布不均勻，就按照組距數(shù)列的第二種方法計(jì)算。根據(jù)下限公式：62.92元根據(jù)上限公式：62.92元二、中位數(shù) Median1. 用于度量數(shù)據(jù)的集中趨勢(CentralTendency)2. 為排序序列的中間位置對(duì)應(yīng)的值(InOrderedSequence)排序后處于中間位置上的值3. 不受極值的影響Me50%50%當(dāng)標(biāo)志的變化有方向時(shí)（即“定類標(biāo)志”），若存在均衡狀態(tài)，則其理應(yīng)為“向兩種方向變化的可能性相同的標(biāo)志值”。確定中位數(shù)的方法（根據(jù)資料是否分組確定中位數(shù)）1.根據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)2.根據(jù)單項(xiàng)數(shù)列計(jì)算中位數(shù)3.根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算中位數(shù)根據(jù)原始數(shù)據(jù)確定中位數(shù)（資料未分組）1.將標(biāo)志值按照大小進(jìn)行排序2.按照（n＋1）/2確定中位數(shù)的位置3.根據(jù)總體項(xiàng)數(shù)的奇偶性確定中位數(shù)的數(shù)值例題（expamle）【例】7個(gè)工人加工產(chǎn)品的日產(chǎn)量原始數(shù)據(jù):6，6，4，8，9，15，12排序:4，6，6，8，9，12，15位置:，1，2，3，4，5，6，，7中位數(shù)

8

原始數(shù)據(jù)確定中位數(shù)的方法

(偶數(shù)數(shù)據(jù)的算例)【例】：8個(gè)工人加工產(chǎn)品的日產(chǎn)量原始數(shù)據(jù)：6，6，4，9，8，9，15，12排序：4，6，6，8，9，9，12，15位置：1，2，3，4，5，6，7，8計(jì)算中位數(shù)的位置為4.5中位數(shù)＝8.5根據(jù)單項(xiàng)數(shù)列確定中位數(shù)1.累計(jì)次數(shù)2.按照n/2來明確中位數(shù)的位置3.根據(jù)位置確定相應(yīng)的標(biāo)志值為中位數(shù)某班21名學(xué)生，身高情況如下，求其中位數(shù)身高（cm）人數(shù)160216541705175618031851累計(jì)次數(shù)身高（cm）人數(shù)向上累計(jì)次數(shù)向下累計(jì)次數(shù)16022211654619170511151756171018032041851211中位數(shù)的位置：11對(duì)應(yīng)的中位數(shù)為170cm根據(jù)組距數(shù)列確定中位數(shù)1.累計(jì)次數(shù)2.按照n/2來明確中位數(shù)的位置3.根據(jù)位置確定中位數(shù)所在組4.根據(jù)上限或者下限公式確定中位數(shù)的數(shù)值計(jì)算（估計(jì)）：公式某工地有50個(gè)工人，本周所得工資分布表，計(jì)算其中位數(shù)按工資分組（元）工人數(shù)（人）（頻數(shù)）比率（%）（頻率）42~5050-5858-6666-7474-8282-9090-1004218896384361618126合計(jì)50100累計(jì)次數(shù)按工資分組工人數(shù)向上累積向下累積42－50445050－58264658－6618244466－748322674－829411882－90647990－10035031.累計(jì)次數(shù):502.確定中位數(shù)的位置：253.確定中位數(shù)所在組：66－744.按照上限公式或者下限公式計(jì)算：67中位數(shù)的特點(diǎn)1.它表示中間位置的平均數(shù)，不受極端值的影響；2.中位數(shù)只使用了中間的觀察值，因此它忽略了全部數(shù)據(jù)所顯示的很多信息。三、分位數(shù)中位數(shù)實(shí)際上就是分位數(shù)的一種，它可以稱為第五十個(gè)百分位數(shù)分位數(shù)的種類1.四分位數(shù)2.十分位數(shù)3.百分位數(shù)（一）、四分位數(shù) Quartiles1. 用于度量數(shù)據(jù)的非集中趨勢

MeasureofNoncentralTendency2. 把排序數(shù)據(jù)等分為四個(gè)區(qū)間Quarters3. 第i個(gè)四分位數(shù)的位置25%25%25%25%Q1Q2Q3定位點(diǎn)

Qi(ni

1)4四分位數(shù)4.它就是將數(shù)據(jù)等分為4份的三個(gè)數(shù)值，也可稱為第二十五個(gè)、第五十個(gè)、第七十五個(gè)百分?jǐn)?shù)。5.存在三個(gè)四分位數(shù)：第一四分位數(shù)：就是第二十五個(gè)百分?jǐn)?shù)；第二四分位數(shù)：就是第五十個(gè)百分?jǐn)?shù)；第三四分位數(shù)：就是第七十五個(gè)百分?jǐn)?shù)四分位數(shù)的計(jì)算分為三種情況進(jìn)行計(jì)算：1.單項(xiàng)數(shù)列的計(jì)算2.組距數(shù)列的計(jì)算3.未分組資料的計(jì)算單項(xiàng)數(shù)列的四分位數(shù)計(jì)算1.確定相應(yīng)具體位置：M1(位置)=(n+1)/4;M3(位置)=3(n+1)/42.定位相應(yīng)的具體標(biāo)志值：如果是具體對(duì)應(yīng)的位置就是該個(gè)體數(shù)值；如果是處于兩個(gè)個(gè)體數(shù)值之間的位置，就是該兩個(gè)個(gè)體數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)。組距數(shù)列的四分位數(shù)計(jì)算1.第一四分位數(shù)的計(jì)算：式中：M41：四分位數(shù)L1：四分位數(shù)所在組的下限；Sm1－1：四分位數(shù)所在組以下的累積頻率（次數(shù)）M1:四分位數(shù)所在組的頻率（次數(shù)）i：四分位數(shù)所在組的組距n:總體次數(shù)2.第三四分位數(shù)的計(jì)算：式中：M43：第三四分位數(shù)L3：四分位數(shù)所在組的下限；Sm3－1：四分位數(shù)所在組以下的累積頻率（次數(shù)）M3:四分位數(shù)所在組的頻率（次數(shù)）i：四分位數(shù)所在組的組距n:總體次數(shù)未分組資料的四分位數(shù)計(jì)算1.對(duì)原始資料排序2.然后按照單項(xiàng)數(shù)列的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算。例題

(9個(gè)數(shù)據(jù)的算例)【例】：9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:123456789

例題

(10個(gè)數(shù)據(jù)的算例)【例】：10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)單數(shù)列:

660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910

（二）、十分位數(shù)的計(jì)算式中：M101：十分位數(shù)L1：十分位數(shù)所在組的下限；Sm1－1：十分位數(shù)所在組以下的累積頻率（次數(shù)）M10:十分位數(shù)所在組的頻率（次數(shù)）i：十分位數(shù)所在組的組距n:總體次數(shù)數(shù)值平均數(shù)

當(dāng)標(biāo)志的變化有方向且可觀測其變化程度時(shí)（即定距、定比標(biāo)志），若存在均衡狀態(tài)，則變化程度作為一種“作用力”將影響該均衡狀態(tài)，其理應(yīng)為“兩個(gè)方向‘作用力’相等時(shí)的標(biāo)志值”

。一、均值（算術(shù)平均數(shù)）Mean1. 用于度量數(shù)據(jù)的集中趨勢(CentralTendency)2. 是最常見的集中趨勢的度量3. 如同平衡點(diǎn)(BalancePoint)4. 易受極端數(shù)值(ExtremeValues）影響均值的計(jì)算1.它就是總體各單位標(biāo)志值之和除以總體單位數(shù)所得的商。2.計(jì)算分為：簡單算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)⑴簡單算術(shù)平均數(shù)1.把各單位的標(biāo)志值相加，然后除以總體單位數(shù)。2.計(jì)算公式：式中：yi：表示總體各單位的標(biāo)志值；（i＝1，2，……）n：表示總體單位數(shù)⑵加權(quán)算術(shù)平均數(shù)1.根據(jù)分組情況，用各組標(biāo)志值或者各組組中值乘以各組次數(shù)，相加得出總體標(biāo)志總量，然后除以各組單位數(shù)之和。未分組的資料，就是變量值乘以對(duì)應(yīng)的次數(shù)，相加得出總體量值，然后除以總體單位數(shù)。2.計(jì)算公式均值的數(shù)學(xué)性質(zhì)1.各個(gè)標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)的離差和為零。2.各個(gè)標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的平方和為最小值。3.算術(shù)平均數(shù)易受極端數(shù)值的影響。4.存在開口組時(shí)，確定組距就存在很大的主觀性，從而導(dǎo)致最終的平均數(shù)值的代表性降低。下面是某工廠工人的日加工量，請(qǐng)計(jì)算工人加工數(shù)量的算術(shù)平均數(shù)。按照加工數(shù)量分組工人數(shù)80-90390-1007100-11013110-1205120-1302加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

(例題分析)

某城市50個(gè)家庭住房面積算術(shù)平均數(shù)計(jì)算表組中值(頻數(shù)(按按住房面積分組(平方米)組中值次數(shù)加權(quán)70以下70-9090-110110-130130以上6080100120140710189642080018001080840合計(jì)-----504940二、幾何平均數(shù)

n個(gè)變量值乘積的

n次方根適用于比率數(shù)據(jù)的平均主要用于計(jì)算平均增長率可以看成是算術(shù)平均數(shù)的一種變形，是非線性關(guān)系的體現(xiàn)。它包括簡單幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)的除或者說開方，就是分配的意思。社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象應(yīng)用幾何平均數(shù)的條件1.若干個(gè)比率或速度的乘積等于總比率或總速度2.相乘的各比率或速度不得為負(fù)值或零⑴簡單幾何平均數(shù)的計(jì)算計(jì)算公式：式中：G表示幾何平均數(shù)y表示變量值n表示變量值的項(xiàng)數(shù)簡單幾何平均數(shù)

(例題分析)某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品要經(jīng)過三個(gè)連續(xù)作業(yè)車間才能完成。若某月份第一車間粗加工產(chǎn)品的合格率為95%，第二車間精加工產(chǎn)品的合格率為93%，第三車間最后裝配的合格率為90%，則該產(chǎn)品的企業(yè)合格率（即三個(gè)車間的平均合格率）為多少？采用簡單幾何平均法計(jì)算：x=95%*93%*90%(開三次方）=92.64%

⑵加權(quán)幾何平均數(shù)的計(jì)算計(jì)算公式為：式中：G表示幾何平均數(shù)y表示變量值f表示各組變量值的次數(shù)某企業(yè)貸款利率情況，請(qǐng)計(jì)算該企業(yè)10年的平均貸款利率。年利率年限本息率（％）62106751078210891109幾何平均數(shù)的缺陷1.受到極端值的影響。2.應(yīng)用范圍狹小。主要用于計(jì)算平均比率或者平均速度。三、調(diào)和平均數(shù)1.各個(gè)體的數(shù)值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，故又稱為倒數(shù)平均數(shù)2.它分為簡單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。3.調(diào)和平均方法可以解決某些經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象由于數(shù)量（購買量、銷售量、產(chǎn)量）未知，無法直接計(jì)算加權(quán)平均數(shù)的困難，如大宗小商品的平均價(jià)格、農(nóng)副產(chǎn)品收購的平均價(jià)格等。簡單調(diào)和平均數(shù)H:調(diào)和平均數(shù)；n：總體次數(shù)；yi：個(gè)體數(shù)值加權(quán)調(diào)和平均數(shù)H:調(diào)和平均數(shù)；yi：個(gè)體數(shù)值；fi：各組的權(quán)數(shù)。例題菜場上有1元錢起售的蔬菜，若某人早上用1元錢買了一種蔬菜共3斤，每斤0.33元；中午降價(jià)時(shí)又用1元錢買了4斤，每斤0.25元；晚上削價(jià)處理時(shí)又用1元錢買了5斤，每斤0.2元，試問，某人早中晚各用1元錢購買的蔬菜平均每斤多少錢？這一問題根據(jù)不同的資料可用兩種方法計(jì)算蔬菜的平均價(jià)格。（1）如已知早上買3斤、中午買4斤、晚上買5斤，又知價(jià)格分別為0.33元/斤、0.25元/斤、0.2元/斤，則可用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)方法計(jì)算平均價(jià)格：x=xf/f=(0.33*3+0.25*4+0.2*5)/(3+4+5)=0.25(元/斤)（2）若已知早上買1元錢、中午買1元錢、晚上買1元錢，又知價(jià)格分別為0.33元/斤、0.25元/斤、0.2元/斤。這時(shí)由于每次購買的斤數(shù)未知，就不用加權(quán)平均方法，而要用調(diào)和平均方法計(jì)算其平均價(jià)格：x=(1+1+1)/(1/0.33+1/0.25+1/0.2)=3/12=0.25(元/斤)切尾均值切尾均值

(trimmedMean)

去掉大小兩端的若干數(shù)值后計(jì)算中間數(shù)據(jù)的均值在電視大獎(jiǎng)賽、體育比賽及需要人們進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)的比賽項(xiàng)目中已得到廣泛應(yīng)用計(jì)算公式為n表示觀察值的個(gè)數(shù)；α表示切尾系數(shù)，

數(shù)值平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)1.優(yōu)點(diǎn)：它對(duì)變量的每一個(gè)觀察值都加以利用，它比位置平均數(shù)可以獲得更多的信息。2.缺點(diǎn)：它使用了數(shù)據(jù)中的每一個(gè)觀察值，因此計(jì)算麻煩，對(duì)極端值非常敏感。眾數(shù)、中位數(shù)和均值的比較眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系左偏分布均值

中位數(shù)

眾數(shù)對(duì)稱分布

均值=中位數(shù)=

眾數(shù)右偏分布眾數(shù)

中位數(shù)均值眾數(shù)、中位數(shù)、均值的特點(diǎn)和應(yīng)用眾數(shù)不受極端值影響具有不惟一性數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時(shí)應(yīng)用中位數(shù)不受極端值影響數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時(shí)應(yīng)用均值易受極端值影響數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良數(shù)據(jù)對(duì)稱分布或接近對(duì)稱分布時(shí)應(yīng)用如果均值與中位數(shù)的大小大致相等時(shí)，就應(yīng)選擇均值作為平均數(shù)。如果二者存在很大差異，就應(yīng)該選擇更為合適的中位數(shù)，因?yàn)樗鼘?shí)際地描述了數(shù)據(jù)的中心

第二節(jié)分布離散程度的測算一、極差

(range)1.一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差,又叫全距2.離散程度的最簡單測度值3.易受極端值影響4.未考慮數(shù)據(jù)的分布7891078910R

=max(xi)-min(xi)計(jì)算公式為特點(diǎn)1.數(shù)據(jù)分散程度越大，其極差就越大。2.易受極端值的影響。二、內(nèi)距

(Inter-QuartileRange,IQR)

1.也稱四分位差2.第三四分位數(shù)與第一四分位數(shù)之差

內(nèi)距=Q3

–Q13.反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度4.不受極端值的影響5.可用于衡量中位數(shù)的代表性三、平均差（averagedeviation）1.總體中個(gè)體的標(biāo)志值對(duì)總體的算術(shù)平均數(shù)的離差的絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)。2.反映了總體中個(gè)體的變動(dòng)程度。平均差越大，表明個(gè)體差異越大，進(jìn)而說明平均數(shù)的代表性就越差。3.公式：平均差的計(jì)算1.簡單平均法：針對(duì)未分組的原始資料；2.加權(quán)平均法：根據(jù)分組資料進(jìn)行計(jì)算。簡單平均法－－例題分析某車間有兩個(gè)生產(chǎn)組，各有10名工人，其日產(chǎn)量為：第一組：20222325252628262926第二組：14121824302431303330求各組的平均差，并說明其代表性。解：第一步：求總體的算術(shù)平均數(shù)第一組的平均數(shù)：x1=(20+22+23+25+25+26+28+26+29+26)/10=25第二組的平均數(shù)：x2＝（14+12+18+24+30+24+31+30+33+30）/10=25第二步：求平均差第一組A.D.1=2第二組A.D.2=6.4第二組的個(gè)體變異比較大，其平均數(shù)的代表性比較差。加權(quán)平均法－－例題分析按工資分組（元）工人數(shù)（人）（頻數(shù)）比率（%）（頻率）42~5050-5858-6666-7474-8282-9090-1004218896384361618126合計(jì)50100解，第一步：計(jì)算組距的組中值：46，54，62，70，78，86，95第二步，計(jì)算其加權(quán)算術(shù)平均數(shù)其結(jié)果為69.36第三步根據(jù)公式計(jì)算其平均差：10.27元平均差的特點(diǎn)1.它是衡量個(gè)體數(shù)值到平均數(shù)的平均距離的一種方法。2.如果是單項(xiàng)數(shù)列，其計(jì)算結(jié)果就為實(shí)際值；如果為組距數(shù)列，其計(jì)算結(jié)果就只能是近似值。四、方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(VarianceandStandarddeviation)1.離散程度的測度值之一2.最常用的測度值3.反映了數(shù)據(jù)的分布4.反映了各變量值與均值的平均差異5.根據(jù)總體數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為樣本方差或標(biāo)準(zhǔn)差4681012

x=8.3方差和標(biāo)準(zhǔn)差的種類1.總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差2.樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差二者區(qū)別就在于自由度的選擇：樣本方差的自由度為n－1。樣本方差

自由度(degreeoffreedom)一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為n

時(shí)，若樣本均值

x確定后,只有n-1個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值，其中必有一個(gè)數(shù)據(jù)則不能自由取值例如，樣本有3個(gè)數(shù)值，即x1=2，x2=4，x3=9，則

x=5。當(dāng)

x

=5

確定后，x1，x2和x3有兩個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值，另一個(gè)則不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3則必然取2，而不能取其他值樣本方差用自由度去除，其原因可從多方面解釋，從實(shí)際應(yīng)用角度看，在抽樣估計(jì)中，當(dāng)用樣本方差去估計(jì)總體方差σ2時(shí)，它是σ2的無偏估計(jì)量樣本方差的自由度自由度取值為n－1的原因：1.自由度表明的是個(gè)體數(shù)值與算術(shù)平均數(shù)的差異信息，也就是誤差的數(shù)量。由于個(gè)體數(shù)值比算術(shù)平均數(shù)小的誤差絕對(duì)值和比其大的算術(shù)平均數(shù)的誤差絕對(duì)值是相同的，所以有用的誤差個(gè)數(shù)只有n－1個(gè)。2.從另一個(gè)角度來說，在樣本均值確定后，n個(gè)數(shù)據(jù)中只有n－1個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值。3.從共線性角度分析，樣本的算術(shù)平均數(shù)是樣本中個(gè)體數(shù)值的一個(gè)線性組合，因此為了避免共線性，就要去除一個(gè)線性組合。方差的數(shù)學(xué)性質(zhì)1.總體單位標(biāo)志值與總體算術(shù)平均數(shù)的方差小于總體單位標(biāo)志值與任意數(shù)值之間的方差。即總體單位標(biāo)志值對(duì)其算術(shù)平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差最小。2.總體單位標(biāo)志值的方差等于總體單位標(biāo)志值平方的平均數(shù)減總體單位標(biāo)志值平均數(shù)的平方。

方差、標(biāo)準(zhǔn)差的特點(diǎn)1.方差一般只是用來說明變化程度。它比較難以解釋。2.通常大約2/3的觀察值落在離均值一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的距離內(nèi)，幾乎所有的觀察值落在離均值兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)。它是最常用的統(tǒng)計(jì)觀察值離散度的方法。標(biāo)準(zhǔn)誤差1.多個(gè)樣本組均值計(jì)算得出的標(biāo)準(zhǔn)差。

2.它比標(biāo)準(zhǔn)差要小，原因在于均值中和了極端值的影響，而某個(gè)單一樣本可能會(huì)出現(xiàn)很不正常的極端值，因此標(biāo)準(zhǔn)誤差是比標(biāo)準(zhǔn)差更為精確的統(tǒng)計(jì)量。五、離散系數(shù)

(coefficientofvariation)1.離散系數(shù)是變異指標(biāo)與其相應(yīng)的算術(shù)平均數(shù)之比，實(shí)際它是一種消除平均數(shù)后的變異指標(biāo)。2.對(duì)數(shù)據(jù)相對(duì)離散程度的測度3.消除了數(shù)據(jù)水平高低和計(jì)量單位的影響4.用于對(duì)不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較離散系數(shù)的種類1.極差系數(shù)：就是極差與其平均數(shù)的相比的相對(duì)指標(biāo)。其公式如下：VR=（R/平均數(shù)）×100％2.內(nèi)距系數(shù)：就是內(nèi)距與其平均數(shù)的相比的相對(duì)指標(biāo)。其公式如下：VM.D.=（M.D./平均數(shù)）×100％3.平均差系數(shù)就是平均差與其平均數(shù)的相比的相對(duì)指標(biāo)。其公式如下：VA.D=（A.D./平均數(shù)）×100％4.標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)就是標(biāo)準(zhǔn)差與其平均數(shù)的相比的相對(duì)指標(biāo)。其公式如下：Vσ=（σ/平均數(shù)）×100％

標(biāo)準(zhǔn)差與離散系數(shù)（有限總體參數(shù)）標(biāo)準(zhǔn)差與離散系數(shù)（樣本估計(jì)量）離散系數(shù)－－標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)計(jì)算

(例題分析)某管理局所屬8家企業(yè)的產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)企業(yè)