《勾股定理》教學(xué)

勾股定理天聞數(shù)媒

除地球外，別的星球上有沒(méi)有生命呢？

自古以來(lái)，人類(lèi)就不斷發(fā)出這樣的疑問(wèn)，特別是近年來(lái)不斷出現(xiàn)的UFO事件，更讓人們相信有外星人的說(shuō)法，如果真的有，那我們?cè)趺春退麄兘涣髂?？我?guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚在多年前曾提出這樣的設(shè)想：向太空發(fā)射一種圖形，因?yàn)檫@種圖形在幾千年前就已經(jīng)被人類(lèi)所認(rèn)識(shí)，如果他們是“文明人”，也必定認(rèn)識(shí)這種圖形.一、創(chuàng)設(shè)情境天聞數(shù)媒

那么這到底是一種什么樣的圖形呢？它真的有那么大的魅力嗎？

下面就讓我們通過(guò)時(shí)光隧道，和古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯一起來(lái)研究這種圖形吧。天聞數(shù)媒畢達(dá)哥拉斯(公元前572----前492年),古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。相傳有一次他在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了A、B、C三者面積之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系．ABC我們也來(lái)觀察右圖的地面，你能發(fā)現(xiàn)A、B、C面積之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎？SA+SB=SC每塊磚都是等腰直角三角形哦天聞數(shù)媒（圖中每個(gè)小方格是1個(gè)單位面積）探究一：你能發(fā)現(xiàn)圖1中正方形A、B、C的面積之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎？二、實(shí)驗(yàn)探究ABC圖1天聞數(shù)媒ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1-1圖1-2（1）觀察圖1-1

正方形A中含有

個(gè)小方格，即A的面積是

個(gè)單位面積。正方形B的面積是

個(gè)單位面積。正方形C的面積是

個(gè)單位面積。99918你是怎樣得到上面的結(jié)果的？與同伴交流交流。123（2）（3）天聞數(shù)媒ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1-1圖1-2分“割”成幾個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形（單位面積）天聞數(shù)媒ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1-1圖1-2（單位面積）還可以把C“補(bǔ)”成邊長(zhǎng)為6的正方形面積的一半天聞數(shù)媒ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1圖2SA+SB=SCA的面積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積)圖19918圖2A，B，C面積關(guān)系直角三角形三邊關(guān)系448兩直角邊的平方和等于斜邊的平方2、回顧填填你能發(fā)現(xiàn)圖1圖2中三個(gè)正方形A，B，C的面積之間有什么關(guān)系嗎？

即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積天聞數(shù)媒探究二：SA+SB=SC在圖2中還成立嗎？ABC圖2結(jié)論：仍然成立。A的面積是

個(gè)單位面積．B的面積是

個(gè)單位面積．C的面積是

個(gè)單位面積．25169

你是怎樣得到正方形C的面積的？與同伴交流交流．（圖中每個(gè)小方格是1個(gè)單位面積）天聞數(shù)媒ABC圖1-3ABC圖1-4分“割”成幾個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形（面積單位）天聞數(shù)媒ABC圖1-3ABC圖1-4（1）觀察圖1-3、圖1-4，并填寫(xiě)右表：

A的面積（單位面積）

B的面積（單位面積）

C的面積（單位面積）圖1-3圖1-4169254913你是怎樣得到表中的結(jié)果的？與同伴交流交流。做一做天聞數(shù)媒ABC圖1-3ABC圖1-4（2）得出結(jié)論：三個(gè)正方形A，B，C的面積之間有的關(guān)系？SA+SB=SC即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積天聞數(shù)媒ABC問(wèn)題2:式子SA+SB=SC能用直角三角形的三邊a、b、c來(lái)表示嗎?問(wèn)題4:那么直角三角形三邊a、b、c之間的關(guān)系式是:abc

至此，我們?cè)诰W(wǎng)格中驗(yàn)證了:直角三角形兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形面積，即SA+SB=SCa2+b2=c2a2+b2=c2問(wèn)題1:去掉網(wǎng)格結(jié)論會(huì)改變嗎？問(wèn)題3:去掉正方形結(jié)論會(huì)改變嗎？天聞數(shù)媒命題1：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b,斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2.abc我們猜想：天聞數(shù)媒

是不是所有的直角三角形都具有這樣的結(jié)論呢？光靠實(shí)驗(yàn)和猜想還不能把問(wèn)題徹底搞清楚。這就需要我們對(duì)一般的直角三角形進(jìn)行證明．下面我們就一起來(lái)探究，看一看我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽是怎樣證明這個(gè)命題的．三、拼圖證明天聞數(shù)媒

以直角三角形的兩條直角邊a、b為邊作兩個(gè)正方形，把兩個(gè)正方形如圖1連在一起，通過(guò)剪、拼把它拼成圖2的樣子。你能做到嗎？試試看。趙爽拼圖證明法：c

小組活動(dòng)：仿照課本中趙爽的思路，只剪兩刀，將兩個(gè)連體正方形，拼成一個(gè)新的正方形.

圖1黃實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)圖2c天聞數(shù)媒黃實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)b

a〓

MNP剪、拼過(guò)程展示：天聞數(shù)媒cba用趙爽弦圖證明=ba天聞數(shù)媒“趙爽弦圖”黃實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)cab天聞數(shù)媒“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲。因此，當(dāng)2002年第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi)時(shí)，“趙爽弦圖”被選作大會(huì)會(huì)徽。天聞數(shù)媒

現(xiàn)在，我們已經(jīng)證明了命題1的正確性，在數(shù)學(xué)上，經(jīng)過(guò)證明被確認(rèn)為正確的命題叫做定理，所以命題1在我國(guó)叫做勾股定理。勾股定理：如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c，那么

a2+b2=c2即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。天聞數(shù)媒勾股世界我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一。三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三股四弦五”的說(shuō)法。天聞數(shù)媒

為什么叫勾股定理這個(gè)名稱呢？原來(lái)在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”。于是我國(guó)古代學(xué)者就把直角三角形中較短直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.由于命題1反映的正好是直角三角形三邊的關(guān)系，所以叫做勾股定理。勾股國(guó)外又叫畢達(dá)哥拉斯定理天聞數(shù)媒直角三角形中勾較短的直角邊稱為，股較長(zhǎng)的直角邊稱為，弦斜邊稱為。弦勾股勾2+

股2=弦2天聞數(shù)媒勾股定理的各種表達(dá)式：在RT△ABC中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c,則:c2=a2+b2a2=c2-b2b2=c2-a2c2=a2+b2a2=c2-b2b2=c2-a2c=a=b=天聞數(shù)媒其他證明方法用四個(gè)全等三角形拼圖證明。

勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，它充滿了無(wú)窮的魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家、畫(huà)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國(guó)家總統(tǒng)。有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種。天聞數(shù)媒問(wèn)題：你會(huì)用四個(gè)全等的直角三角形拼成哪些圖形？abcabcabcabc勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，這里重點(diǎn)的介紹面積證法。天聞數(shù)媒勾股定理的證法（一）

a2+b2=c2∵(a+b)2=c2+4

ab天聞數(shù)媒勾股定理的證法（二）∵4×ab=c2－(b－a)2

a2+b2=c2C天聞數(shù)媒cabcabcabcab∵c2==b2-2ab+a2+

2ab

=a2+b2∴a2+b2=c2大正方形的面積可以表示為；也可以表示為c2該圖2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)示意圖，取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《勾股圓方圖》。證明1：天聞數(shù)媒這是2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)趙爽弦圖

∵ab×4+(b-a)2=c2

∴a2+b2=c2abc2ab+（b2-2ab+a2）=c2天聞數(shù)媒cabcabcabcab∵(a+b)2=

a2+2ab+b2=

2ab+c2∴a2+b2=c2大正方形的面積可以表示為；也可以表示為(a+b)2C2證明2：C2天聞數(shù)媒abcbacABCDE1881年，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng).后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)證法”．證明3：你能只用這兩個(gè)直角三角形說(shuō)明a2+b2=c2嗎？拼一拼試一試天聞數(shù)媒驗(yàn)證勾股定理的正確性天聞數(shù)媒例題：求出下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度.解：（1）在Rt△ABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2X2=36+64x2=100x2=62+82∵x>0y2+52=132y2=132-52y2=144∴y=12（2）在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2∵y>0A68xCB5y13CAB∴X=10四、實(shí)踐應(yīng)用方法總結(jié)：利用勾股定理建立方程.天聞數(shù)媒練習(xí)1：圖中已知數(shù)據(jù)表示面積，求表示邊的未知數(shù)x、y的值.①916x②y144169看誰(shuí)算得快天聞數(shù)媒如圖，大風(fēng)將一根木制旗桿吹裂，隨時(shí)都可能倒下，十分危急。接警后“119”迅速趕到現(xiàn)場(chǎng)，并決定從斷裂處將旗桿折斷?，F(xiàn)在需要?jiǎng)澇鲆粋€(gè)安全警戒區(qū)域，那么你能確定這個(gè)安全區(qū)域的半徑至少是多少米嗎？議一議：9m24m?天聞數(shù)媒練習(xí)2：已知S1=1，S2=3，S3=2，S4=4,求S5

、S6

、S7的值.看誰(shuí)算得快s3天聞數(shù)媒1、求下列圖中字母所表示的正方形的面積.=625225400A22581B=144五、反饋評(píng)價(jià)天聞數(shù)媒2、如圖，受臺(tái)風(fēng)影響，一棵樹(shù)在離地面4米處斷裂，樹(shù)的頂部落在離樹(shù)跟底部3米處，這棵樹(shù)折斷前有多高？4米3米3、求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng).6x101213x天聞數(shù)媒競(jìng)技場(chǎng)！1)在直角三角形中，兩條直角邊分別為a,b,斜邊為c，則c2=____a2+b22)在RT△ABC中∠C=90°,

⑴若a=4,b=3,則c=____⑵若c=13,b=5,則a=____⑶若c=17,a=8,則b=____51215一填空題：天聞數(shù)媒（3）等邊三角形的邊長(zhǎng)為12，則它的高為_(kāi)_____（4)在直角三角形中,如果有兩邊為3,4,那么另一邊為_(kāi)________5或天聞數(shù)媒⑶一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的2倍，其對(duì)角線的長(zhǎng)是5㎝，那么它的寬是（）

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