第6章 直線回歸與相關(guān)分析

第六章直線回歸與相關(guān)分析第一節(jié)回歸與相關(guān)分析的概念u、t、F、檢驗(yàn)——差異顯著性檢驗(yàn)，只涉及一個變量。變量間的關(guān)系：⑴函數(shù)關(guān)系；⑵相關(guān)關(guān)系回歸與相關(guān)分析——研究變量間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計方法。相關(guān)分析：研究變量之間的聯(lián)系程度和聯(lián)系性質(zhì)的一種統(tǒng)計方法。程度：變量間關(guān)系密切程度。變量關(guān)系正一致性質(zhì)：相關(guān)——方向負(fù)相反

一元直線相關(guān)（簡單相關(guān)）相關(guān)分析復(fù)相關(guān)多元線性相關(guān)偏相關(guān)回歸分析：研究變量之間的聯(lián)系形式的一種統(tǒng)計方法。聯(lián)系形式用回歸方程來表示。由方程次數(shù)不同來分：線性回歸———方程次數(shù)為1如：y＝a＋bx。非線性回歸——方程次數(shù)不為1如：y＝axb（b≠1）由方程的自變量個數(shù)來分一元回歸——只有一個自變量如：y＝a＋bx，y＝axb多元回歸——自變量個數(shù)多于1如：y＝b0＋b1x1＋…＋bmxm直線相關(guān)與回歸分析可應(yīng)用于:①從一組實(shí)測數(shù)據(jù)出發(fā),找出描述兩個變量間關(guān)系的直線回歸方程,以確定一條最接近于各實(shí)測點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)曲線；②檢驗(yàn)兩變量間關(guān)系的密切程度；③應(yīng)用直線回歸方程，從一個變量所取的值去估計另一變量的對應(yīng)值，并評價估計的精確度與計算置信區(qū)間。第二節(jié)直線回歸分析一、直線回歸方程式其中，——自變量，——依變量的回歸估計值確定自、依變量的原則：1.因果關(guān)系明確：原因變量作自變量x；結(jié)果變量作依變量y。2.因果關(guān)系不明確：作估測依據(jù)的變量作自變量x；被估測的變量作依變量y。a——回歸截距(直線在y軸上的切割點(diǎn))b——回歸系數(shù)，其統(tǒng)計意義為y隨x改變一個單位而改變的單位數(shù)；幾何意義是直線的斜率。有一雙變量總體（X，Y），從中抽出一個容量為n的雙變量樣本（x，y）于是，但y－＝ε≠0……0

要求：總偏差最小?？勺C最小總偏差最小。令于是，通過求最小值解出、——最小二乘法：求偏導(dǎo)數(shù)：整理第一個方程得，

代入第二個方程得，整理得，其中，SP—離均差乘積和SSx—自變量的離均差平方和由b的公式可見，b的符號由分子SP確定。當(dāng)時，，故回歸直線一定要過（，）這一點(diǎn)?？梢宰C明，的平均數(shù)就是。例1，[例6-1]解：一級統(tǒng)計數(shù)二級統(tǒng)計數(shù)注：回歸與相關(guān)分析中，一般要求中間結(jié)果保留4～6位小數(shù)?；貧w方程：b的解釋：b=1.255表明蔗糖質(zhì)量分?jǐn)?shù)x每增加（或減少）1個百分點(diǎn)，將使食品甜度y增加（或減少）約1.255度。二、回歸關(guān)系的顯著性檢驗(yàn)檢驗(yàn)x與y是否有真實(shí)的回歸關(guān)系。H0：＝0HA：≠0

㈠F檢驗(yàn)：回歸關(guān)系引起的變異依變量y的總變異其它因素引起的變異

因?yàn)樗云渲?，——回歸平方和，記作SSR

——離回歸平方和（偏差平方和）記作SSr所以，SSy＝SSR＋SSr相應(yīng)地，dfy＝dfR＋dfr其中，dfy＝n－1

dfR＝1

dfr＝dfy－dfR＝n－2各項平方和的實(shí)用計算公式：SSr＝SSy－SSR＝SSy－∴S2R＝＝SSR,S2r＝注：叫做回歸估計標(biāo)準(zhǔn)誤，是表示回歸估計精度的重要統(tǒng)計數(shù)。Syx大（或?。?，由回歸方程估計y的精度就低（或高）。

F<F0.05接受不顯著。當(dāng)F0.05≤F<F0.01時，否定H0，推斷回歸關(guān)系顯著，記*

F≥F0.01否定極顯著，**查表4上例，已知：SSy=84.0343,SSx=53.2143,SP=66.7857,n=7，dfy=n－1=6解：

dfR=1SSr=SSy－SSR=0.2160dfr=n－2=5F0.05(1,5)=6.61F0.01(1,5)=16.26因?yàn)镕>F0.01，所以否定H0，推斷回歸關(guān)系極顯著，即表明蔗糖質(zhì)量分?jǐn)?shù)x與食品甜度y具有真實(shí)的直線關(guān)系。叫做回歸系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。由表3查臨界t值，用離回歸自由度dfr＝n－2。㈡t檢驗(yàn)：可證：當(dāng)分子自由度＝1時，F(xiàn)與t有如下關(guān)系：F＝t2

其中，上例，已知：b=1.255,SSx=53.2143,SSr=0.216,n=7解：df=n－2=7－2=5查表3得t0.05(5)=2.571t0.01(5)=4.032因?yàn)閨t|>t0.01(5)，所以否定H0，推斷回歸關(guān)系極顯著，即表明蔗糖質(zhì)量分?jǐn)?shù)x與食品甜度y具有真實(shí)的直線關(guān)系。三、直線回歸方程的圖示由［，］和［，］兩點(diǎn)畫直線。上例，＝1.0＝13.9585+1.255×1.0＝15.2135＝9.5＝13.9585+1.255×9.5＝25.881四、回歸方程的應(yīng)用方向1.預(yù)測：由x去預(yù)測y。在產(chǎn)量預(yù)測、病蟲害預(yù)報等方面應(yīng)用較多。例，一代三化螟蛾盛發(fā)期y與三至四月積溫x的回歸方程如下：假設(shè)某年的積溫x＝35，則

該蟲的盛發(fā)期約為5月20日（以10/5為0）左右。2.控制：由y去控制x。這主要在制定生產(chǎn)措施時用。例，某作物產(chǎn)量y與施肥量x的回歸方程如下：

若希望y＞600斤/畝，則施肥量至少多少斤/畝？由可推出注：①實(shí)際應(yīng)用中，預(yù)測應(yīng)結(jié)合誤差和概率進(jìn)行區(qū)間估計。②應(yīng)用回歸方程時，自變量x的取值范圍只限于原觀察值的變化范圍。③樣本容量n應(yīng)盡量大，至少要大于5?；貧w分析的完整步驟：第一步建立回歸方程必作第二步進(jìn)行回歸關(guān)系的顯著性檢驗(yàn)（F檢驗(yàn)）第三步繪制回歸直線第三節(jié)直線相關(guān)分析一、相關(guān)系數(shù)與決定系數(shù)㈠相關(guān)系數(shù)：是表示變量間的聯(lián)系性質(zhì)和聯(lián)系程度的統(tǒng)計數(shù)。設(shè)有一個雙變量樣本（x，y）xx1x2…xnyy1y2…yn在xˊoˊyˊ中，有第一象限：第二象限：第三象限：第四象限：xˊyˊ（x，y）

yyOx

x（，）O'進(jìn)一步討論當(dāng)正相關(guān)時，如右圖，可見大多數(shù)點(diǎn)子在一、三象限，則＞0；而且當(dāng)n一定時，在第一、三象限的點(diǎn)子愈多（相應(yīng)第二、四象限的點(diǎn)子就愈少），此值也愈大，而此時也正是正相關(guān)程度愈大。yˊxˊ

當(dāng)負(fù)相關(guān)時，如右圖，可見大多數(shù)點(diǎn)子在二、四象限，則＜0；而且當(dāng)n一定時，在第二、四象限的點(diǎn)子愈多（相應(yīng)第一、三象限點(diǎn)子就愈少），此和值的絕對值也愈大，而此時也正是負(fù)相關(guān)程度愈大。yˊxˊ

當(dāng)無關(guān)時，如右圖，可見點(diǎn)子在四個象限分布均勻，這樣，＝0。值受變量單位、樣本容量n影響。yˊ

xˊ

其中當(dāng)正相關(guān)時，＞0，于是，r＞0；極端地，完全正相關(guān)時，y－＝（x－），則r＝1。當(dāng)負(fù)相關(guān)時，＜0，于是，r＜0；極端地，完全負(fù)相關(guān)時，y－＝－（x－），則r＝－1。當(dāng)無關(guān)時，＝0，于是，r＝0

所以，相關(guān)系數(shù)的取值范圍：－1≤r≤1or｜r｜≤1｜r｜愈接近于1（0），表明變量的相關(guān)程度愈大（?。?。㈡決定系數(shù)：SSR＝表示回歸關(guān)系引起的變異部分——相關(guān)系數(shù)的平方?jīng)Q定系數(shù)r2表示在依變量y的總變異中，由回歸關(guān)系引起的變異部分所占的百分比。例如，r＝0.8，r2＝0.64，表示由回歸關(guān)系引起的變異部分只占y的總變異的64％，還有36％是其它因素引起的變異。也可表示回歸方程的可靠程度。決定系數(shù)r2是在相關(guān)系數(shù)r顯著時才計算。例2，[例6-3]解：一級統(tǒng)計數(shù)二級統(tǒng)計數(shù)相關(guān)系數(shù)二、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）設(shè)一雙變量總體（X，Y），相關(guān)系數(shù)＝0，r≠0？≠0，r≠0H0：＝0HA：≠0t檢驗(yàn)：相關(guān)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤

由表3查臨界t值的自由度df＝n－2顯著水準(zhǔn)α＝0.05，0.01前例，