復(fù)旦大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)課件-第四章 平均指標(biāo)

1面向21世紀(jì)課程教材

統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS

高等教育出版社第四章平均指標(biāo)第一節(jié)平均指標(biāo)的基本理論第二節(jié)算術(shù)平均數(shù)第三節(jié)調(diào)和平均數(shù)第四節(jié)幾何平均數(shù)第五節(jié)位置平均數(shù)第六節(jié)平均指標(biāo)的應(yīng)用數(shù)據(jù)分布的特征數(shù)據(jù)分布的位置特征和離散特征。位置特征離散特征位置特征數(shù)的含義它是用來概括分布的位置特征的數(shù)字它描述了數(shù)據(jù)的一般水平它是數(shù)據(jù)一般水平的代表值平均值（冪平均數(shù)）算術(shù)平均數(shù)（冪指數(shù)=1）調(diào)和平均數(shù)（冪指數(shù)=-1）幾何平均數(shù)（冪指數(shù)0）其他冪平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)第一節(jié)平均指標(biāo)的基本理論一、平均指標(biāo)的概念平均指標(biāo)也稱為統(tǒng)計(jì)平均數(shù)，它是說明同質(zhì)總體內(nèi)某一數(shù)量標(biāo)志在具體時(shí)間、地點(diǎn)條件下達(dá)到的一般水平的綜合指標(biāo)。

二、平均指標(biāo)的特點(diǎn)1.總體同質(zhì)性2.數(shù)量抽象性3.一般代表性

三、平均指標(biāo)的種類（一）算術(shù)平均數(shù)（二）調(diào)和平均數(shù)（三）幾何平均數(shù)（四）中位數(shù)（五）眾數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)第二節(jié)算術(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù)的基本形式例：直接承擔(dān)者※注意區(qū)分算術(shù)平均數(shù)與強(qiáng)度相對數(shù)算數(shù)平均數(shù)和強(qiáng)度相對數(shù)的區(qū)別

（1）算術(shù)平均數(shù)是根據(jù)同一個(gè)總體的標(biāo)志總量和總體總量計(jì)算的，分子分母來自同一個(gè)總體；而強(qiáng)度相對數(shù)是兩種有密切聯(lián)系現(xiàn)象之比，分子分母分別來自兩個(gè)總體。（2）算術(shù)平均數(shù)對比的分子分母存在著依存匯總關(guān)系，分子是根據(jù)分母得來的；而強(qiáng)度相對數(shù)對比的分子分母不存在依存匯總關(guān)系。二、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法（一）簡單算術(shù)平均數(shù)把每項(xiàng)數(shù)據(jù)直接加總后除以它們的項(xiàng)數(shù)。通常用于對未分組的數(shù)據(jù)計(jì)算算術(shù)平均數(shù)。計(jì)算公式：分組例題1表5-2年齡人數(shù)（人）xf2242510305501合計(jì)20表5-1男性女性2222222225252525252525252525303030305030解：采用簡單算術(shù)平均法計(jì)算，即全體隊(duì)員的平均年齡為（單位：周歲）：若采用簡單平均：

分組數(shù)據(jù)不能簡單平均！因?yàn)楦鹘M變量值的次數(shù)不等?。ǘ┘訖?quán)算術(shù)平均數(shù)—適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列的情況加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式：加權(quán)是為了體現(xiàn)各變量值輕重不同的影響作用，對各個(gè)變量值賦予不盡相同的權(quán)數(shù)（fi）.上例分組后的正確計(jì)算方法是：表現(xiàn)為次數(shù)、頻數(shù)、單位數(shù)；即公式中的表現(xiàn)為頻率、比重；即公式中的指變量數(shù)列中各組標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)，是變量值的承擔(dān)者，反映了各組的標(biāo)志值對平均數(shù)的影響程度。權(quán)數(shù)絕對權(quán)數(shù)相對權(quán)數(shù)三、算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)⒈變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和衡等于零，即：⒉如果對每個(gè)標(biāo)志值加或減一個(gè)任意數(shù)A，則算術(shù)平均數(shù)也要增加或減少那個(gè)A值3.如對每個(gè)標(biāo)志值乘以或除以一個(gè)任意值A(chǔ)，則平均數(shù)也要乘以或除以那個(gè)A值。乘以A：簡單算術(shù)平均數(shù)：

除以A：簡單算術(shù)平均數(shù)：4.變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方和為最小，即：5.兩個(gè)獨(dú)立的同性質(zhì)變量代數(shù)和的平均數(shù)等于各變量平均數(shù)的代數(shù)和。6.兩個(gè)獨(dú)立的同性質(zhì)變量乘積的平均數(shù)等于各變量平均數(shù)的乘積是非標(biāo)志平均數(shù)指總體中全部單位只具有“是”或“否”、“有”或“無”兩種表現(xiàn)形式的標(biāo)志。是非標(biāo)志分組單位數(shù)變量值具有某一屬性不具有某一屬性10合計(jì)—為研究是非標(biāo)志總體的數(shù)量特征，令具有某種標(biāo)志表現(xiàn)的單位數(shù)所占的成數(shù)不具有某種標(biāo)志表現(xiàn)的單位數(shù)所占的成數(shù)指是非標(biāo)志總體中具有某種表現(xiàn)或不具有某種表現(xiàn)的單位數(shù)占全部總體單位總數(shù)的比重。成數(shù)均值

【例2】某廠某月份生產(chǎn)了400件產(chǎn)品，其中合格品380件，不合格品20件。求該產(chǎn)品的合格率。第三節(jié)調(diào)和平均數(shù)

調(diào)和平均數(shù)是總體各單位標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，又叫倒數(shù)平均數(shù)。

調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算形式也分為簡單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)兩種。一、簡單調(diào)和平均數(shù)

——適用于總體資料未經(jīng)分組整理、尚為原始資料的情況。其計(jì)算公式為：

【例3】設(shè)市場上某種蔬菜早市每斤1元，中午每斤2元，晚市每斤2.5元，若早、中、晚各買1元，問每斤的平均價(jià)格。分析：（1）早、中、晚各買1元，共買了3元；（2）早上用1元買了1斤，中午用1元買了0.5斤，晚上用1元買了0.4斤，一共買了1+0.5+0.4=1.9斤；

（3）平均每斤的價(jià)格為把以上過程綜合起來，平均價(jià)格的計(jì)算過程如下：二、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)

——適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列的情況。其計(jì)算公式為：

【例4】設(shè)市場中某種蔬菜早、中、晚的所購金額不同，求平均采購價(jià)格。價(jià)格（元/斤）采購金額/元采購量/斤xmm/x早市中午晚市1.002.002.5045642.52.4合計(jì)—158.9

【解】平均每斤價(jià)格：當(dāng)己知各組變量值和標(biāo)志總量時(shí)，調(diào)和平均數(shù)可以作為算術(shù)平均數(shù)變形使用。因?yàn)椋?/p>

加權(quán)算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的聯(lián)系：二者的應(yīng)用條件不同：如果資料中給出每組變量值x和對應(yīng)的次數(shù)f，而沒有給出各組的標(biāo)志總量xf，這時(shí)要用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)；如果資料中給出每組變量值x和各組的標(biāo)志總量xf，而沒有給出各組的次數(shù)f，這是要用調(diào)和平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)。

三、由相對數(shù)或平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)由于比值（平均數(shù)或相對數(shù)）不能直接相加，求解比值的平均數(shù)時(shí)，需將其還原為構(gòu)成比值的分子、分母原值總計(jì)進(jìn)行對比。設(shè)相對數(shù)

分子變量分母變量則有：己知，采用基本平均數(shù)公式己知，采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式己知，采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)公式比值（一）由相對數(shù)計(jì)算平均數(shù)【例5】根據(jù)下表資料計(jì)算該地區(qū)全部商店的平均流通費(fèi)用率。商店按年商品流轉(zhuǎn)額分組/萬元各組商店平均流通費(fèi)用率X/%流轉(zhuǎn)額f/萬元流通費(fèi)用m=Xf/萬元100以下100-200200-300300-400400-500500以上11.511.09.47.86.65.71001050325024501800110011.5115.5305.5191.1118.862.7合計(jì)——9750805.1

【解】：如果只有第1、2欄資料，沒有第3欄資料，這時(shí)需要用加權(quán)算數(shù)平均法進(jìn)行計(jì)算，即六個(gè)組的平均費(fèi)用率為：

現(xiàn)在假定如果掌握的資料中沒有第2欄，只有第1欄和第3欄，那么需要用調(diào)和平均法進(jìn)行計(jì)算，即平均流通費(fèi)用率為：（二）由平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)

【例6】已知某商品在市場上的平均價(jià)格以及銷售量資料如下表所示，現(xiàn)依據(jù)表中資料計(jì)算總平均價(jià)格。市場平均價(jià)格X（元/千克）銷售量f/千克銷售額M=Xf/元甲乙丙1.802.201.80300002000025000540004400045000合計(jì)——75000143000

解：①若已知銷售量，需要加權(quán)算數(shù)平均法。

②若未知銷售量，直接掌握銷售額，則應(yīng)用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。

第四節(jié)幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)是N項(xiàng)變量值連乘積的開N次方根。用于計(jì)算現(xiàn)象的平均比率或平均速度。應(yīng)用：各個(gè)比率或速度的連乘積等于總比率或總速度；相乘的各個(gè)比率或速度不為零或負(fù)值。應(yīng)用的前提條件：一、簡單幾何平均數(shù)

——適用于總體資料未經(jīng)分組整理尚為原始資料的情況。其計(jì)算公式為：【例7】某流水生產(chǎn)線有前后銜接的五道工序。某日各工序產(chǎn)品的合格率分別為95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整個(gè)流水生產(chǎn)線產(chǎn)品的平均合格率。

因該流水線的最終合格品即為第五道工序的合格品，故該流水線總的合格品應(yīng)為100A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；則該流水線產(chǎn)品總的合格率為：

即該流水線總的合格率等于各工序合格率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故需采用幾何平均法計(jì)算。

※若上題中不是由五道連續(xù)作業(yè)的工序組成的流水生產(chǎn)線，而是五個(gè)獨(dú)立作業(yè)的車間，且各車間的合格率同前，又假定各車間的產(chǎn)量相等均為100件，求該企業(yè)的平均合格率。不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，需按照求解相對數(shù)的平均數(shù)的方法計(jì)算。又因?yàn)閼?yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算，即二、加權(quán)幾何平均數(shù)

——適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列的情況。其計(jì)算公式為：【例8】某金融機(jī)構(gòu)以復(fù)利計(jì)息。近12年來的年利率有4年為3﹪，2年為5﹪，2年為8﹪，3年為10﹪，1年為15﹪。求平均年利率。設(shè)本金為V，則至各年末的本利和應(yīng)為：第1年末本利和為：第2年末本利和為：………

………第12年末本利和為：第2年的計(jì)息基礎(chǔ)第12年的計(jì)息基礎(chǔ)則該筆本金12年總的本利率為：即12年總本利率等于各年本利率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故計(jì)算平均年本利率應(yīng)采用幾何平均法。解：

★若上題中不是按復(fù)利而是按單利計(jì)息，且各年的利率與上相同，求平均年利率。分析第1年末的應(yīng)得利息為：第2年末的應(yīng)得利息為：第12年末的應(yīng)得利息為：

設(shè)本金為V，則各年末應(yīng)得利息為：…………則該筆本金12年應(yīng)得的利息總和為：=V（0.03×4+0.05×2+……+0.15×1）

這里的利息率或本利率不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，需按照求解比值的平均數(shù)的方法計(jì)算。因?yàn)榧俣ū窘馂閂

所以，應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算平均年利息率，即：解：三、數(shù)值平均數(shù)計(jì)算公式的選用順序是否為比率或速度各個(gè)比率或速度的連乘積是否等于總比率或總速度是否為其他比值是否否是否是幾何平均法算術(shù)平均法求解比值的平均數(shù)的方法指標(biāo)第五節(jié)位置平均數(shù)

一、眾數(shù)

指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用表示，它不受極端數(shù)值的影響，用來說明總體中大多數(shù)單位所達(dá)到的一般水平。眾數(shù)的確定：1.單項(xiàng)數(shù)列確定眾數(shù)的方法：出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值就是眾數(shù)。

例如，已知某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下:日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）101112131470100380150100合計(jì)800計(jì)算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的眾數(shù)。2.組距數(shù)列確定眾數(shù)的方法①由最多次數(shù)來確定眾數(shù)所在組②按公式計(jì)算眾數(shù)【例9】某廠工人生產(chǎn)某種零件數(shù)量的資料如下，計(jì)算眾數(shù)：月生產(chǎn)零件數(shù)量/個(gè)工人人數(shù)/人200以下200～400400～600600以上37328合計(jì)50月產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計(jì)50—出生1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.0160140120100806040200沒有突出地集中在某個(gè)年份413名學(xué)生出生時(shí)間分布直方圖眾數(shù)的原理及應(yīng)用（無眾數(shù)）眾數(shù)的原理及應(yīng)用192.5190.5188.5186.5184.5182.5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100413名學(xué)生的身高分布直方圖（雙眾數(shù)）當(dāng)數(shù)據(jù)分布呈現(xiàn)出雙眾數(shù)或多眾數(shù)時(shí)，可以斷定這些數(shù)據(jù)來源于不同的總體。出現(xiàn)了兩個(gè)明顯的分布中心二、中位數(shù)

1.概念：將總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列后，指處于數(shù)列中間位置的標(biāo)志值，用表示。不受極端數(shù)值的影響，在總體標(biāo)志值差異很大時(shí)，具有較強(qiáng)的代表性。2.中位數(shù)的作用：中位數(shù)的確定1.由未分組資料確定中位數(shù)（1）對某個(gè)標(biāo)志值按大小順序資料加以排列；（2）然后用下列公式確定中位數(shù)的位置。n為偶數(shù)n為奇數(shù)中位數(shù)的位次為：即第3個(gè)單位的標(biāo)志值就是中位數(shù)【例10】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元，則中位數(shù)應(yīng)為第3和第4個(gè)單位標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)，即再例如，上述售貨小組為6個(gè)人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元、760元，則中位數(shù)位置：中位數(shù)的確定2.由單項(xiàng)數(shù)列確定中位數(shù)①計(jì)算各組的累計(jì)次數(shù)；②根據(jù)中位數(shù)位置確定中位數(shù)?！纠?1】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）10111213147010038015010070170550700800合計(jì)800—計(jì)算該企業(yè)該