第三章 概率與分布

心理統(tǒng)計(jì)學(xué)第三章概率與分布第三章概率與分布[教學(xué)目標(biāo)]了解有關(guān)概率的基本知識(shí)理解常用概率分布的特征掌握二項(xiàng)分布與正態(tài)分布的具體運(yùn)用[教學(xué)內(nèi)容]第一節(jié)概率第二節(jié)二項(xiàng)分布第三節(jié)正態(tài)分布2E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川在一定的條件下事先可以斷定必然會(huì)發(fā)生某種結(jié)果的現(xiàn)象叫確定性現(xiàn)象。第一節(jié)概率一、概率隨機(jī)現(xiàn)象確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象必然現(xiàn)象不可能現(xiàn)象在一定條件下，事先不能斷言會(huì)出現(xiàn)哪種情況的現(xiàn)象。對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的一次觀測(cè)叫做一次隨機(jī)試驗(yàn)。在一定條件下必然不會(huì)發(fā)生的現(xiàn)象在一定條件下必然會(huì)發(fā)生的現(xiàn)象客觀現(xiàn)象3E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率特點(diǎn)偶然性：試驗(yàn)結(jié)果不能預(yù)言必然性：大量次重復(fù)試驗(yàn)下，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)規(guī)律性對(duì)“空中擲一枚硬幣”進(jìn)行觀察：在1.2萬(wàn)次的重復(fù)觀察中，正面向上有6019次在2.4萬(wàn)次的重復(fù)觀察中，正面向上有12012次規(guī)律：“正面向上”和“反面向上”幾乎各占一半。4E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率(二)事件與概率1、隨機(jī)事件：隨機(jī)現(xiàn)象中出現(xiàn)的各種可能的結(jié)果，簡(jiǎn)稱(chēng)為事件。在N次重復(fù)試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的次數(shù)n與試驗(yàn)總次數(shù)N的比值，稱(chēng)為事件A發(fā)生的頻率，記作FN(A)。(3.1)5E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率例3-l擲一枚硬幣，觀察“正面向上”的次數(shù)?，F(xiàn)分次數(shù)N=5，N=50，N=500三組進(jìn)行試驗(yàn)，其中每一組又重復(fù)進(jìn)行了10批，其結(jié)果如表3-1所示。表3-1不同次數(shù)的試驗(yàn)n正的頻率試驗(yàn)批號(hào)N=5N=50N=500n正FNn正FNn正FN1234567891023151242330.400.600.2010.200.400.800.400.600.60222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622502492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.4946E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率

我們把隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小稱(chēng)作隨機(jī)事件發(fā)生的概率，記作P(A)。頻率是事件發(fā)生的外在表現(xiàn)概率體現(xiàn)事件發(fā)生的內(nèi)在實(shí)質(zhì)頻率的穩(wěn)定性——隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是隨機(jī)事件本身所固有的，不隨人的意志改變的一種客觀屬性，因此可以對(duì)其進(jìn)行度量。7E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率(二)概率1、統(tǒng)計(jì)定義(后驗(yàn)概率)定義：在大量重復(fù)的N次試驗(yàn)中，當(dāng)N無(wú)限增大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率n/N穩(wěn)定在一個(gè)確定的常數(shù)附近，這個(gè)數(shù)表示事件A發(fā)生的概率，記作P(A)。（3.2）特點(diǎn)：在研究或?qū)嶒?yàn)以前，事件的成功或失敗事先是無(wú)法知道的8E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率2、古典定義(先驗(yàn)概率)定義：若試驗(yàn)由n個(gè)有限的基本事件組成，且每次試驗(yàn)中每個(gè)基本事件出現(xiàn)是等可能的，有利事件A發(fā)生的次數(shù)為m，則事件A的概率為：(3.3)特點(diǎn)：事先知道有關(guān)事件出現(xiàn)的事實(shí)。9E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率同時(shí)拋擲2顆骰子，求出現(xiàn)8點(diǎn)的概率事件=2=3=4=5=6=71+12+13+14+15+16+1=81+22+23+24+25+26+2=91+32+33+34+35+36+3=101+42+43+44+45+46+4=111+52+53+54+55+56+5=121+62+63+64+65+66+6事件拋擲2顆骰子，共36個(gè)基本事件基本事件分布表10E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率共同性質(zhì)：必然事件發(fā)生的概率為1，即P(Ω)=1；

不可能事件的概率為0，即P(φ)=0事件A發(fā)生的概率滿足：0≤P(A)≤1逆事件的概率：P(A)=1-P(A)11E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率（三）概率的兩個(gè)基本定理1、加法定理：若A、B是兩個(gè)互不相容的事件，則A和B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為：

P(A+B)=P(A)+P(B)

(3.4)對(duì)于有限多個(gè)相互獨(dú)立事件的情況：若A1，A2，…An是有限個(gè)相互獨(dú)立的事件，則A1，A2，…，An至少有一個(gè)發(fā)生的概率為：P(A1+A2+…+An)＝P(A1)+P(A2)+…+P(An)

(3.5)12E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率例3-2擲一個(gè)骰子，假定出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是等可能性的，求事件A={出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過(guò)4}的概率。解：因?yàn)镻(Ai)=1/6（i=l，2，3，4，5，6），且基本事件是相互獨(dú)立的，由加法定理得

P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=1/6+1/6+1/6+1/6=4/6例3-3某一考生對(duì)所考知識(shí)一無(wú)所知，完全憑猜測(cè)回答兩道是非題，問(wèn)該生答對(duì)一題的概率為多大?解：P(E)=P(B+C)=P(B)+P(C)=0.25+0.25=0.513E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率2、概率的乘法定理若A、B是兩個(gè)相互獨(dú)立事件，則A和B同時(shí)發(fā)生的概率P(A·B)為：

P(A·B)=P(A)·P(B)

(3.6)有限個(gè)相互獨(dú)立事件的情況：A1，A2，…，An是有限個(gè)相互獨(dú)立事件，則A1，A2，…，An同時(shí)發(fā)生的概率P(A1A2An)為：P(A1·A2·…·An)=P(A1)P(A2)…P(An)(3.7)14E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率例3-4同時(shí)擲兩個(gè)骰子，擲出12點(diǎn)的概率是多少？擲出11點(diǎn)的概率是多少？解：①出現(xiàn)12點(diǎn)的概率為：1/6×1/6=1/36②出現(xiàn)11點(diǎn)的概率為:1/6×1/6+1/6×1/6=1/1815E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率例3-5

一份有10道四選一多項(xiàng)選擇題的試卷，考生完全憑隨機(jī)猜測(cè)得滿分的概率有多大？解：令A(yù)i表示“該生猜對(duì)第i題”這一事件，i=1，2，…，10。事件Ai(i=1,2,…,10)互不相容,且P(Ai)=1/4,根據(jù)概率的乘法定理，Ai(i=1，2，…，10)同時(shí)發(fā)生的概率為：P（A1A2…A10）=P(A1)P(A2)…P(A10)=(1/4)10=0.00000094只有10道四選一的多項(xiàng)選擇題,完全憑猜測(cè)答對(duì)6道或6道以上的可能性只有0.0193。16E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率二、二項(xiàng)分布(一)排列與組合

1、排列定義：從n個(gè)不同的元素中，任取m個(gè)（m≤n）元素，按一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。①當(dāng)m＜n時(shí)，所得排列稱(chēng)為選排列，計(jì)做②當(dāng)n=m時(shí)，所得排列稱(chēng)全排列，記作Pn17E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率例3-6用四個(gè)數(shù)字1，2，3，4可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的二位數(shù)？多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？解：由公式（3.8）得到?jīng)]有重復(fù)的二位數(shù)有由公式（3.9）得到?jīng)]有重復(fù)的四位數(shù)有P4=4*3=12（種）=4*3*2*1=24（種）18E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第一節(jié)概率2、組合

定義：從n個(gè)不同元素中，任取m個(gè)(m≤n)元素，不管順序，并成一組，稱(chēng)為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，記作Cmn。

組合的兩個(gè)性質(zhì)：(3.12)（1）

（2）19E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川例3-7：書(shū)架上有5本中文書(shū)，3本外文書(shū)。某學(xué)生從中任取3本，求恰有2本中文書(shū)的概率？解：第一節(jié)概率樣本空間：隨機(jī)事件：恰有2本中文書(shū)的概率=0.54基本事件：(二)二項(xiàng)式定理20E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第二節(jié)二項(xiàng)分布一、二項(xiàng)分布的概念對(duì)于隨機(jī)變量x進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn)若（1）每次試驗(yàn)結(jié)果只出現(xiàn)對(duì)立事件A與A之一；P(x)=Cnxpxqn-x（3.14）（2）在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)A的概率是P，則出現(xiàn)A的概率為1-p

，記為q=1-p，求在n次獨(dú)立試驗(yàn)下，A出現(xiàn)次數(shù)為x的概率分布（x=0,1,2,…,n）。x的概率函數(shù)：

21E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第二節(jié)二項(xiàng)分布例3-8有10道是非題，若考生完全不懂，全憑猜測(cè)回答，問(wèn)分別回答對(duì)5題、6題、7題、8題、9題、10題的概率各為多少？至少答對(duì)5題的概率又是多少？解：每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果，答對(duì)記為p，答錯(cuò)為q，則p=q=1/2猜中5題的概率為

P(x=5)=C510p5q5

=0.24609

猜中6題的概率為P(x=6)=C610p6q4=0.2050822E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第二節(jié)二項(xiàng)分布猜中7題的概率為P(x=7)=C710p7q3=0.11719猜中8題的概率為P(x=8)=C810p8q2=0.04395猜中9題的概率為P(x=9)=C910p9q1=0.00977猜中10題的概率為P(x=10)=C1010p10=0.00098至少猜中5題的概率為

P=C510p5q5+C610p6q4+C710p7q3+C810p8q2+C910p9q+C1010p10=0.024609+0.20508+0.11719+0.04395+0.00977+0.00098=0.6230623E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第二節(jié)二項(xiàng)分布例3-9有一份10道四選一的多項(xiàng)選擇題的試卷，若考生對(duì)試題完全猜測(cè)，問(wèn)考生完全猜中8題、9題、10題的概率各有多大？至少猜中1道的概率又有多大？解：四選一的多項(xiàng)選擇題，猜中的概率記為p=1/4，猜錯(cuò)的概率記為q=3/4，由公式(4.14)得：猜中8題的概率為P(x=8)=C810p8q2

=0.00039猜中9題的概率為P(x=9)=C910p9q

=0.00003猜中10題的概率為P(x=10)=C1010p10=0.000000924E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第二節(jié)二項(xiàng)分布P(至少答對(duì)一題)=1-P(10題全部答錯(cuò))=1-P(x=0)=1-(3/4)10=0.9437優(yōu)點(diǎn):能簡(jiǎn)便的決定任何既定的或大于任何既定分?jǐn)?shù)的概率。從例3-9可知，若學(xué)生完全憑猜測(cè)答對(duì)至少9題的概率為：

P(至少9題)=C910(1/4)9(3/4)+C1010(1/4)10

=0.00003+0.000009=0.0000325E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第二節(jié)二項(xiàng)分布二、二項(xiàng)分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

例如：

n=5，p=1/2時(shí)，μ=2.5，σ2=1.25，σ=1.12n=10，p=1/4時(shí)，μ=2.5，σ2=1.875，σ=1.37n=20，p=1/8時(shí)，μ=2.5，σ2=2.1875，σ=1.48均值方差標(biāo)準(zhǔn)差（3.15）（3.16）（3.17）26E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第二節(jié)二項(xiàng)分布例3-10一份試卷有100道四選一的單項(xiàng)選擇題，(每題1分)，考生答對(duì)了其中80道，有20道不能回答，因而對(duì)這20道作猜測(cè)，則猜測(cè)得分的范圍有大?解：

=1.945±1.96*1.94=5±3.8=527E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第二節(jié)二項(xiàng)分布三、應(yīng)用條件1、每次試驗(yàn)只有兩類(lèi)對(duì)立的結(jié)果；2、n次事件相互獨(dú)立；3、每次試驗(yàn)?zāi)愁?lèi)結(jié)果的發(fā)生概率是一個(gè)常數(shù)。四、二項(xiàng)分布的圖形（p71）1、二項(xiàng)分布圖形的形狀取決于p和n的大??；2、當(dāng)p=0.5時(shí)，無(wú)論n的大小，均為對(duì)稱(chēng)分布；3、當(dāng)p＜或＞0.5時(shí)，n較小時(shí)為偏態(tài)分布，n較大時(shí)為逼近于正態(tài)分布。28E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川圖3-8(p+q)6的概率分布圖第二節(jié)二項(xiàng)分布29E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布正態(tài)分布也稱(chēng)常態(tài)分布或常態(tài)分配，是連續(xù)隨機(jī)變量概率分布的一種，是在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論與實(shí)際應(yīng)用中占有重要地位的一種理論分布。正態(tài)分布由亞伯拉罕·德莫弗爾1733年發(fā)現(xiàn)。拉普拉斯、高斯對(duì)正態(tài)分布的研究也作出了貢獻(xiàn)，故有時(shí)稱(chēng)正態(tài)分布為高斯分布。一、正態(tài)分布的性質(zhì)（3.19a）(σ>0,-∞<x<+∞)30E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布31E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布正態(tài)曲線正態(tài)曲線位于x軸的上方，以直線x=μ為對(duì)稱(chēng)軸，μ為正態(tài)分布的均值，它向左向右對(duì)稱(chēng)的無(wú)限延伸，且以x軸為漸近線。當(dāng)x=μ時(shí)，曲線處于最高點(diǎn)，即當(dāng)x=μ時(shí)，f(μ)取最大值；x=μ±σ兩點(diǎn)是拐點(diǎn)，當(dāng)正態(tài)曲線由中央向兩側(cè)逐漸下降時(shí)，到拐點(diǎn)改變了彎曲方向，整條曲線呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀。32E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布正態(tài)曲線與x軸所圍成的區(qū)域面積為1。

服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量x在xl到x2間的變化的概率(xl≤x2)就是概率P{x1<x≤x2}為圖中陰影部分的面積。正態(tài)分布是由均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ唯一確定的分布。μ決定曲線的位置σ決定曲線的形狀33E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)均值μ=0，標(biāo)準(zhǔn)差σ=1時(shí)的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作X～N(0,1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)為若X～N(μ,σ2)，令（3.19b）（3.20）則Z～N(0,1)34E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布35E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布三、正態(tài)分布表(p466）的使用表示曲線底線即橫軸上的位置，用Z表示縱高Y，即曲線的高度，對(duì)于某Z0值縱高Y由（3.19b）式計(jì)算。在均值這點(diǎn)上，Z=0，Y=f(0)=0.3989圖中陰影部分面積，用P表示P{0＜Z≤Z0}

Z=1時(shí)，P=0.3413；Z=2時(shí)，P=0.4772;Z=2.5時(shí)，P=0.4938；Z=3時(shí)，P=0.498736E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布（一）應(yīng)注意的兩個(gè)問(wèn)題正態(tài)分布表只列出Z≥0所對(duì)應(yīng)的縱高和面積。當(dāng)Z≤0，可根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性，在正態(tài)分布表中查出-Z所對(duì)應(yīng)的面積和縱高即可。對(duì)服從正態(tài)分布X～N(μ,σ2)的變量x，先通過(guò)(x-μ)/σ化為Z值，即以標(biāo)準(zhǔn)差σ為單位的離均差后，才能查表。37E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布（二）使用舉例1、基本使用例3-11設(shè)x服從正態(tài)分布X～N(μ,σ2)，求以下的概率。

(1)

P{μ-σ＜x＜μ+σ}(2)P{μ-3σ＜x＜μ+3σ}(3)P{μ-1.84σ＜x≤μ+1.84σ}(4)P{μ-2.79σ＜x≤μ+2.79σ}38E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布解:首先將一般的正態(tài)分布化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,再根據(jù)正態(tài)分布表以及上面兩個(gè)原則進(jìn)行計(jì)算。

P{μ-σ＜x＜μ+σ}=P{-σ＜x-μ≤σ}=P{-1＜(x-μ)/σ≤1}=P{-1＜Z≤1}=2P{0＜Z≤1}=2*0.3413=0.6826(2)P{μ-3σ＜x＜μ+3σ}=P{-3＜Z≤3}=2P{0＜Z≤3}=2*0.4987=0.997439E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布40E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布

P{μ-1.84σ＜x≤μ+1.84σ}=P{-1.84＜Z≤1.84}=2P{0＜Z≤1.84}=0.9342(4)P{μ-2.79σ＜x≤μ+2.79σ}=P{-2.79＜Z≤2.79}=2*0.4987=0.994741E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布2、擴(kuò)展使用（1）已知Z1和Z2，求P{Z1＜Z＜Z2}

例3-12隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，求以下概率A:(a)P{0＜Z＜1.96}(b)P{-1.96＜Z≤0}B:(a)P{1＜Z≤1.96}(b)P{-1.96＜Z≤-1}C:P{-1.96＜Z≤1.96}D:P{Z＞1.96}E:P{Z≤1}解：從正態(tài)分布表中查得，當(dāng)Z=1時(shí)，Z=1.96時(shí)所對(duì)應(yīng)的P值分別為：P{0＜Z＜1}=0.3413P{0＜Z＜1.96}=0.47542E-mail:ydflsh@主講、制作：符永川第三節(jié)正態(tài)分布

A:(a)P{0＜Z＜1.96}=0.475(b)P{-1.96＜Z≤0}=P{0＜Z＜1.96}=0.475B:(a)P{1＜Z≤1.96}