第八講 課堂教學(xué)重難點(diǎn)及其處理

中學(xué)數(shù)學(xué)教材分析（三）一數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)二數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)四作業(yè)三數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)（一）數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)的含義與形成數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)——指課堂教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，課堂教學(xué)中需要解決的主要矛盾，是教學(xué)的重心。教學(xué)重點(diǎn)形成有三個方面：從學(xué)科知識系統(tǒng)而言，重點(diǎn)是指那些與前面知識聯(lián)系緊密，對后續(xù)學(xué)習(xí)具有重大影響的知識、技能，即重點(diǎn)是學(xué)科知識體系中具有重要地位和作用的知識、技能；從文化教育功能而言，重點(diǎn)是指那些對學(xué)生具有深遠(yuǎn)教育意義和功能的內(nèi)容，主要指對學(xué)生終生受益的學(xué)科思想、、精神和方法；從學(xué)生的學(xué)習(xí)需要而言，重點(diǎn)是指學(xué)生學(xué)習(xí)遇到困難，需要及時得到幫助解決的疑難問題。一、數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)的意義：教學(xué)重點(diǎn)對于學(xué)生學(xué)習(xí)的好壞和教學(xué)質(zhì)量的提高具有重要作用，教學(xué)中對重點(diǎn)內(nèi)容不僅要求學(xué)生理解，還要求學(xué)生掌握和靈活運(yùn)用，即重點(diǎn)對于教學(xué)具有突出的地位，教學(xué)設(shè)計時不論是教學(xué)目標(biāo)的確定，教學(xué)活動的安排（包括教師的分析講解，學(xué)生的交流討論與鞏固練習(xí)等），學(xué)生練習(xí)題的設(shè)計都應(yīng)圍繞重點(diǎn)進(jìn)行。對重點(diǎn)內(nèi)容練習(xí)的設(shè)計必須給出一定數(shù)量和不同層次的練習(xí)題，既要單項練習(xí)，還要變式練習(xí)和綜合練習(xí)，這樣才能對重點(diǎn)內(nèi)容的鞏固、理解和靈活運(yùn)用。（二）如何確立教學(xué)重點(diǎn)1.地位作用分析法教材體系中具有重要地位和作用的知識、技能是教學(xué)重點(diǎn)。(1)“函數(shù)單調(diào)性”是函數(shù)的重要性質(zhì)，在各種函數(shù)的研究中都會涉及到，而且也是比較函數(shù)值大小，求函數(shù)極值、最值以及證明不等式的重要工具，盡管大綱和考綱都把它列為了解層次，但由于它的獨(dú)特地位與作用，因而必須是重點(diǎn)。（2）“基本函數(shù)的圖像”，它既是初等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具和手段，也是數(shù)學(xué)解題中“數(shù)形結(jié)合”的重要思想方法，所以它是教學(xué)重點(diǎn)。（3）“向量”由于其具有數(shù)與形的雙重特征，利用它處理數(shù)學(xué)中的許多問題，如長度，角度，平行和垂直比傳統(tǒng)方法快捷、方便、有效，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究的重要工具，因而是教學(xué)重點(diǎn)。2、課題分析法即根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的標(biāo)題來確定教學(xué)重點(diǎn)。如“反函數(shù)的概念”，課標(biāo)和考綱只要求了解，因而它不是章節(jié)重點(diǎn)，但在學(xué)習(xí)“反函數(shù)概念”一節(jié)課時它就是教學(xué)重點(diǎn)3、例、習(xí)題分析法重點(diǎn)內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求學(xué)生達(dá)到理解、掌握，靈活運(yùn)用，因而教材一般都配備了一定數(shù)量的例、習(xí)題供學(xué)生練習(xí)和鞏固并形成技能與能力。因此分析教材中例習(xí)題的配置可以確定教學(xué)重點(diǎn)。如大綱教材“兩角和與差的正弦、余弦、正切”教材安排了兩個例題，一個是倒用公式，一個是順用和綜合運(yùn)用公式解題，課后練習(xí)和習(xí)題一共配有18個順用、逆用，變用公式的習(xí)題。教材這樣的配備就是要求學(xué)習(xí)者不但要能推導(dǎo)公式，了解公式的來龍去脈，而且要掌握公式的結(jié)構(gòu)和特征，形成熟練運(yùn)用的技能并形成能力。4.理論分析法根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于理解，只有真正理解了意義，才能感悟和體會實(shí)質(zhì)，因而對數(shù)學(xué)公式、定理課的教學(xué)之前應(yīng)把概念含義的理解作為教學(xué)重點(diǎn)。（三）突出重點(diǎn)的基本方法現(xiàn)代教學(xué)理論認(rèn)為,為了使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)和發(fā)展數(shù)學(xué)能力,培養(yǎng)良好的個性品質(zhì),數(shù)學(xué)課堂必須遵循展現(xiàn)思維過程的原則,其中包括概念的發(fā)生、發(fā)展過程，命題的形成過程，解題思路的探索過程和解題方法的概括過程。因此數(shù)學(xué)教學(xué)要突出的重點(diǎn)就必須通過思維過程的充分暴露加以實(shí)現(xiàn)。即實(shí)施過程教學(xué)，追求過程與結(jié)果統(tǒng)一。1.讓學(xué)生充分的參與設(shè)計合理的產(chǎn)生形成過程，讓學(xué)生參與歸納與概括，參與發(fā)現(xiàn)與探索，做知識的研究者和發(fā)現(xiàn)者，通過再創(chuàng)造，讓學(xué)生獲得知識和能力。正如荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所說:“科學(xué)的頂峰總是創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn).學(xué)習(xí)的過程也必須含有直接創(chuàng)造的側(cè)面,即從學(xué)生的觀點(diǎn)看是創(chuàng)造,通過再創(chuàng)造獲得的知識與能力,要比以被動方式獲得的,理解得更好,也更容易保持.”

案例：“虛數(shù)i開方運(yùn)算”教學(xué)課例

師：我們對-1進(jìn)行開平方運(yùn)算時，引入了新數(shù)i，從而將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集?，F(xiàn)在要對虛數(shù)i開平方，①是否又會出現(xiàn)別的新數(shù)呢？②如何對i開方呢？我們先解決問題②，如何對i開方？回到定義去，求i的平方根的意義是什么？生：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求平方為i的數(shù)師：請把這個問題用一個數(shù)學(xué)式表達(dá)出來（數(shù)學(xué)化）生：設(shè)z=x+iy為i的平方根，其中x+iy∈C，那么有師：這就回到我們熟悉的問題了，這是用代數(shù)形式的表述，如果用復(fù)數(shù)的三角形式又該如何表達(dá)這個問題呢？…注意：讓學(xué)生充分參與，就不應(yīng)是老師包辦，教師要通過精心設(shè)計的問題鏈來實(shí)現(xiàn)。2.有步驟的引入在體現(xiàn)必要性的前提下，逐步引入新知識，揭示引入的合理性，使之與學(xué)生的認(rèn)知水平同步進(jìn)行。即“知其然，知其所以然”。注入式教學(xué)正是忽視了這一環(huán)節(jié)，縮減了由感性到理性的過程如：“反正弦函數(shù)的引入”若上課一開始就講反函數(shù)的定義，并引入“arcsin”，學(xué)生會毫無心理準(zhǔn)備，感覺太突然，理解也不會透徹。參考設(shè)計：1、函數(shù)有反函數(shù)嗎？能否縮小其定義域使其具有反函數(shù)？2、函數(shù)在其定義域內(nèi)有反函數(shù)嗎？在怎樣的區(qū)間上可使其有反函數(shù)？3、正弦函數(shù)在的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)若記反正弦函數(shù)為，則問：它們存在嗎？等于多少，在此基礎(chǔ)上自然引出記號“”3.全方位的審視要使學(xué)生深刻理解，掌握重點(diǎn)知識，就必須引導(dǎo)學(xué)生從各個側(cè)面對其進(jìn)行深入認(rèn)識。案例：“反函數(shù)”審視1：反函數(shù)是函數(shù)，應(yīng)滿足函數(shù)的定義與特征要素審視2：反函數(shù)中的“反”如何體現(xiàn)：表達(dá)式；定義域；值域?qū)徱?：如何求一個函數(shù)的反函數(shù)？審視4：兩個都是函數(shù)，函數(shù)有圖象，圖象有什么關(guān)系？審視5：兩個都是函數(shù)，函數(shù)有性質(zhì)，性質(zhì)有什么關(guān)系？案例2：函數(shù)的單調(diào)性審視1：增函數(shù)與減函數(shù)的定義差別？審視2：增函數(shù)與減函數(shù)的定義中關(guān)鍵字：任意、區(qū)間審視3：增函數(shù)與減函數(shù)的圖象特點(diǎn)？審視4：如何判斷一個函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？審視5：如何證明一個函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？（4）多層次的練習(xí)對既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)的概念、定理等教學(xué)內(nèi)容，不僅要重視其形成、發(fā)現(xiàn)過程的教學(xué)，也要通過循環(huán)反復(fù)的螺旋遞進(jìn)的方式進(jìn)行練習(xí)，使學(xué)生充分地領(lǐng)會，并學(xué)會應(yīng)用。案例：“反函數(shù)”當(dāng)看似孤立的問題運(yùn)用“知識的重點(diǎn)”加以串聯(lián)以后，就形成了具有密切聯(lián)系的問題鏈，隨著逐層深入的思考，對重點(diǎn)知識的認(rèn)識就越加透徹，對知識的運(yùn)用就更加靈活。（5）變式運(yùn)用

重要公式的教學(xué)，可以通過公式的正用、逆用、變用、連用等方式，在加強(qiáng)記憶同時增強(qiáng)思維的靈活性。案例：“兩角和與差的正切公式”重要例題的講授，可以通過對例題條件增減、或條件與結(jié)論的交換、或特殊到一般的推廣、或幾個例題的共性分析，促進(jìn)思維的深刻性。（6）多角度的聯(lián)系通過知識內(nèi)在聯(lián)系的揭示，在拓展思維空間的同時進(jìn)一步強(qiáng)化對新知識的認(rèn)識。如：數(shù)列通項的理解——函數(shù)理解對概率古典概型的理解——集合理解指數(shù)與對數(shù)關(guān)系的理解——加與減、乘與除直線與圓的關(guān)系理解——幾何（距離）、代數(shù)（方程組的解）數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系廣泛存在于數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)之中，重視其挖掘，在促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的同時，有利于培養(yǎng)思維的廣闊性。（7）適度的引申引申作為一種教學(xué)手段，能有效促進(jìn)對重點(diǎn)知識的理解。例如正弦、余弦函數(shù)的奇偶性是該界教學(xué)的重點(diǎn)，如果蜻蜓點(diǎn)水般的得到結(jié)果，難以對三角函數(shù)圖象形成充分的認(rèn)識，應(yīng)更深入揭示其一般規(guī)律：①函數(shù)奇偶性的實(shí)質(zhì)是反映函數(shù)圖象的對稱性。②正弦、余弦函數(shù)的奇偶性分別說明它們是中心對稱圖形和軸對稱圖形?？稍O(shè)置以下問題：①正弦還有別的對稱中心嗎？②余弦函數(shù)還有別的對稱軸嗎？③正弦函數(shù)的圖形是軸對稱圖形嗎？④余弦函數(shù)的圖形中心對稱圖形嗎？需要指出的是：重點(diǎn)內(nèi)容的挖掘不是越深越好，要弄清教學(xué)要求的層次，有時挖掘得過深學(xué)生難以理解，反而削弱或淡化了重點(diǎn)。（8）分階段鞏固對于重點(diǎn)的教學(xué)內(nèi)容，不能“畢其功于一役”，應(yīng)該分階段完成。如立體幾何公理2（如果兩個面有一個公共點(diǎn)……）就可以分成4個階段完成：——首先用它指導(dǎo)作面面的交線和證明點(diǎn)共線——在講空間直線位置關(guān)系時指導(dǎo)畫線面的交點(diǎn)問題——在講面面位置關(guān)系時介紹證明線共點(diǎn)問題——在講多面體時用它指導(dǎo)作多面體的截面分階段鞏固還表現(xiàn)為對重點(diǎn)內(nèi)容的一種定期檢測、訓(xùn)練。二、關(guān)于教學(xué)難點(diǎn)(一)對教學(xué)難點(diǎn)的認(rèn)識1.教學(xué)難點(diǎn)的含義：難點(diǎn)是指那些太抽象、離學(xué)生生活實(shí)際太遠(yuǎn)的、過程太復(fù)雜的、學(xué)生難以理解和掌握的知識、技能與方法。難點(diǎn)形成原因：一是該知識遠(yuǎn)離學(xué)生生活實(shí)際，學(xué)生缺乏相應(yīng)的感性知識；二是該知識較為抽象，學(xué)生難以理解；三是該知識包含多個知識點(diǎn)，知識點(diǎn)過于集中；四是該知識與舊知識聯(lián)系不大，舊知識掌握不牢或因大多數(shù)學(xué)生對舊知識遺忘所致。集合概念是難點(diǎn)：一是集合是原始概念，它不是由已有的其它概念來定義，因而學(xué)生頭腦缺乏幫助其理解集合的其它概念；二是集合涉及的知識面廣，所涉及的初中數(shù)學(xué)知識學(xué)生已有所遺忘；三是集合有關(guān)的新概念相應(yīng)的符號、術(shù)語較多，這些新概念、新符號學(xué)生容易混淆，接受和理解都要困難?；静呗裕簩τ谠蛞唬瑧?yīng)通過利用學(xué)生生活經(jīng)驗，充實(shí)感性知識得以突破；對于原因二，則應(yīng)利用直觀手段，盡量使知識直觀化、形象化，讓學(xué)生看得見摸得著。如數(shù)學(xué)歸納法理解用多米諾排骨形象化；對于原因三，則應(yīng)分散知識點(diǎn)，各個擊破；對于原因四，則應(yīng)查漏補(bǔ)缺，加強(qiáng)舊知識的復(fù)習(xí)。（二）正確的估計難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)因人而異，教師必須在研究教學(xué)對象的基礎(chǔ)上正確估計難點(diǎn)。一般可以從以下幾個方面去認(rèn)識與估計難點(diǎn)：1.教學(xué)內(nèi)容的抽象性與學(xué)生思維形象性之間的矛盾產(chǎn)生難點(diǎn)案例1：初二代數(shù)“無理數(shù)”一節(jié)無理數(shù)的概念是本節(jié)教學(xué)難點(diǎn)。主要原因是：無理數(shù)的概念十分抽象，需要有一定的抽象思維能力和初步的極限思想。而初中學(xué)生的抽象思維能力弱，主要還是以經(jīng)驗型的形象思維為主。案例2：高中“函數(shù)”一節(jié)。本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)是函數(shù)的概念。主要原因是：由于函數(shù)的概念涉及集合語言，其實(shí)質(zhì)是集合之間元素的對應(yīng)。教材采用了映射語言進(jìn)行敘述，但在本節(jié)之前卻沒有先講映射作為鋪墊。因此需要學(xué)生具備一定的抽象思維與辨證思維能力。同時學(xué)生還要注意初高中函數(shù)概念的整合，這些特點(diǎn)對抽象思維能力較弱的高一學(xué)生而言確實(shí)較難理解。案例3：高中“雙曲線的幾何性質(zhì)”一節(jié)。本節(jié)教學(xué)難點(diǎn)是雙曲線的漸進(jìn)線。主要原因：雙曲線的漸進(jìn)線看似形，卻難以用形來描述，同時漸進(jìn)線概念包含著極限思想。案例4：高中“極限的定義”一節(jié)。本節(jié)教學(xué)難點(diǎn)是極限的定義。主要原因：極限概念中ε—N的辨證關(guān)系難以讓人理解，其次有限與無限的關(guān)系讓人難以捉摸。2.教學(xué)內(nèi)容的深化和學(xué)生思維定勢之間的矛盾案例1：初中“一元一次方程的應(yīng)用”一節(jié)。受小學(xué)定勢思維——算術(shù)法解方程的影響，因而常想到列算式而忽視建立等量關(guān)系，從而成為教學(xué)難點(diǎn)。案例2：初中“不等式的性質(zhì)”一節(jié)。受方程解法的影響，忽視不等號的變向而成為教學(xué)難點(diǎn)。案例3：高中“邏輯連接詞”一節(jié)。難點(diǎn)為：對“或”的含義的理解。主要是容易與日常用語中“或”的含義混淆。3.教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系復(fù)雜案例1：“交集并集”一節(jié)。本節(jié)教學(xué)難點(diǎn)是交集并集的概念及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系。因為邏輯中的“且”與“或”只是一字之差，關(guān)系卻很復(fù)雜。而且這種理解與日常理解有別。案例2：“一元二次不等式的解法”一節(jié)。本節(jié)教學(xué)難點(diǎn)是三個二次之間的關(guān)系。三個二次緊密聯(lián)系，相輔相成，而且運(yùn)用中又需要靈活處理4.問題的解決途徑難以探索案例1:“函數(shù)的單調(diào)性”.本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)是利用單調(diào)性的概念證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性.因為證明中需要通分、提取公因式等變形技巧，還需要分類討論等思想方法，靈活性強(qiáng)。案例2:“四種命題”.本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)是反證法的理解與應(yīng)用。因為反證法的理解雖說與逆否命題有密切聯(lián)系，但也僅僅是淺層理解，而且推導(dǎo)矛盾的方式、方法多種多樣，靈活性強(qiáng)。案例3:“兩角和與差的余弦”.本節(jié)教學(xué)難點(diǎn)有2：其一是余弦和角公式的推導(dǎo)——證明思路難以探索；其二是和與差余弦公式的靈活應(yīng)用——應(yīng)用的方法、技巧很多。案例4:“正弦定理”.本節(jié)教學(xué)難點(diǎn)有2：其一是正弦定理的推導(dǎo)——證明思路難以探索；其二是正弦定理公式的靈活應(yīng)用。（三）突破難點(diǎn)的策略1.發(fā)現(xiàn)性策略即將克服難點(diǎn)的過程組織成教師引導(dǎo)下的學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的過程,這樣能較好發(fā)揮難點(diǎn)促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)