第二章醫(yī)學(xué)圖像處理4-幾何變換

第二章圖像的灰度與幾何變換教學(xué)目標(biāo)基本要求：能夠說(shuō)出圖像幾何變換的基本原理和常用算法；使用位置變換、插值等算法對(duì)圖像進(jìn)行變換。重點(diǎn)：圖像的平移和旋轉(zhuǎn)、圖像的插值難點(diǎn)：雙線性插值法灰度變換與幾何變換圖像的幾何變換幾何變換的需求受成像系統(tǒng)拍攝角度及失真的影響幾何變換不改變像素值，而是改變像素所在的位置又稱幾何校正主要內(nèi)容及要點(diǎn)圖像的位置變換平移、鏡像、旋轉(zhuǎn)、插值等圖像的形狀變換縮小、放大、錯(cuò)切變換、幾何畸變的校正等圖像的幾何變換圖像幾何變換是指用數(shù)學(xué)建模的方法來(lái)描述圖像位置、大小、形狀等變化的方法，是通過(guò)數(shù)學(xué)建模實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行幾何變換的處理。圖像幾何運(yùn)算的一般定義為：一、圖像的位置變換圖像的平移（translation）：是將圖像中所有的點(diǎn)都按照指定的平移量水平、垂直移動(dòng)。

圖像的平移注意：平移后的景物與原圖像相同，但“畫(huà)布”（矩陣）一定要擴(kuò)大，否則就會(huì)丟失信息。下移1行，右移兩列思考：平移后，“畫(huà)布”應(yīng)怎樣擴(kuò)大才能保留原圖像的全部信息？示例示例圖像平移時(shí)，畫(huà)布未擴(kuò)大的效果。圖像的鏡像（reflectionormirrorimage）：（通俗地講，是指在鏡子中所成的像。其特點(diǎn)是左右顛倒或是上下顛倒）。水平鏡像垂直鏡像鏡像變換后圖像的高和寬都不變。設(shè)圖像的高度為H,寬度為W，原圖中坐標(biāo)為(x,y)的點(diǎn)經(jīng)過(guò)鏡像后，則點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo)為(x1,y1)。

圖像的鏡像圖像的鏡像水平鏡像：以原圖像的垂直中軸線為中心，將圖像分為左右兩部分進(jìn)行對(duì)稱變換。水平鏡像圖像的鏡像垂直鏡像：以原圖像的水平中軸線為中心，將圖像分為上下兩部分進(jìn)行對(duì)稱變換。垂直鏡像圖像的鏡像圖像的鏡像圖像的轉(zhuǎn)置圖像的轉(zhuǎn)置（transpose）：是將圖像像素的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)互換。轉(zhuǎn)置后圖像的高度和寬度將互換。圖像的旋轉(zhuǎn)圖像的旋轉(zhuǎn)（rotation)：是指以圖像中的某一點(diǎn)為原點(diǎn)以逆時(shí)針或順時(shí)針的方向旋轉(zhuǎn)一定的角度。注意：必須指明圖像繞著什么旋轉(zhuǎn)，一般以圖像的中心為原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)一定的角度。圖像的旋轉(zhuǎn)一般會(huì)改變圖像的大小。圖像旋轉(zhuǎn)的理論基礎(chǔ)注意：這個(gè)計(jì)算公式計(jì)算出的值為小數(shù)，而坐標(biāo)值為正整數(shù)。因此需要前期處理：擴(kuò)大畫(huà)布，取整處理，平移處理。圖像旋轉(zhuǎn)的前期處理之畫(huà)布擴(kuò)大圖像旋轉(zhuǎn)之前，為了避免丟失信息，畫(huà)布的擴(kuò)大是非常重要的。畫(huà)布擴(kuò)大的原則是：以最小的面積承載全部的畫(huà)面信息。圖像旋轉(zhuǎn)的前期處理之畫(huà)布擴(kuò)大畫(huà)布擴(kuò)大的簡(jiǎn)單方法是根據(jù)公式：計(jì)算機(jī)x’和y’的最大、最小值，即x’max、x’min和y’max、y’min。畫(huà)布大小為：

x’max-x’min、

y’max-y’min。圖像的旋轉(zhuǎn)

圖像的旋轉(zhuǎn)示例(a)原圖；(b)圖像旋轉(zhuǎn)時(shí)，畫(huà)布未擴(kuò)大的效果；(c)畫(huà)布擴(kuò)大時(shí)的效果。(a)(b)(c)圖像的旋轉(zhuǎn)注意：圖像旋轉(zhuǎn)之后，會(huì)出現(xiàn)許多的空洞點(diǎn)，對(duì)這些空洞點(diǎn)必須進(jìn)行填充處理，否則畫(huà)面效果不好，這種操作稱為插值處理。圖像的旋轉(zhuǎn)插值：interpolation最簡(jiǎn)單的方法：行插值或是列插值方法：找出當(dāng)前行的最小和最大的非空白點(diǎn)的坐標(biāo)，記作：(i,k1)、(i,k2)。圖像的插值在(k1,k2)范圍內(nèi)進(jìn)行插值，插值的方法是：空點(diǎn)的像素值等于前一點(diǎn)的像素值。同樣的操作重復(fù)到所有行。經(jīng)過(guò)插值處理之后，圖像效果就變得自然。其他插值方法：最近鄰域法，雙線性，三次樣條法等經(jīng)過(guò)插值處理之后，圖像效果就變得自然。圖像的插值插值前插值后灰度級(jí)插值1）向前映射法通過(guò)輸入圖像像素位置,計(jì)算輸出圖像對(duì)應(yīng)像素位置;將該位置像素的灰度值按某種方式分配到輸出圖像相鄰四個(gè)像素.灰度級(jí)插值2）向后映射法通過(guò)輸出圖像像素位置,計(jì)算輸入圖像對(duì)應(yīng)像素位置;根據(jù)輸入圖像相鄰四個(gè)像素的灰度值計(jì)算該位置像素的灰度值.灰度級(jí)插值兩種映射方法的對(duì)比對(duì)于向前映射：每個(gè)輸出圖像的灰度要經(jīng)過(guò)多次運(yùn)算；對(duì)于向后映射：每個(gè)輸出圖像的灰度只要經(jīng)過(guò)一次運(yùn)算。實(shí)際應(yīng)用中，更經(jīng)常采用向后映射法。最近鄰法：nearestneighborinterpolation最近鄰域法：像素都賦給輸入圖象中與其最鄰近的采樣點(diǎn)的值。這是最簡(jiǎn)單的一種插值方法，在待求像素的四鄰像素中，將距離待求像素最近的鄰象素灰度賦給待求像素。如下圖所示：最近鄰插值缺點(diǎn):灰度不連續(xù)，圖像有明顯鋸齒狀。優(yōu)點(diǎn):計(jì)算量小，計(jì)算速度快。線性插值線性插值是獲得兩個(gè)不同點(diǎn)之間數(shù)值的最簡(jiǎn)單的方法，它將不同的采樣點(diǎn)之間通過(guò)直線連接起來(lái)，并且假定位于這些點(diǎn)之間的所有點(diǎn)的灰度分布都滿足直線分布。對(duì)于圖像而言，空間上的點(diǎn)需要采用兩個(gè)坐標(biāo)來(lái)表示，因此需要采用雙線性插值法。雙線性插值雙線性法：bilinearinterpolation雙線性插值法：根據(jù)某像素周圍4個(gè)像素的灰度值在水平和垂直兩個(gè)方向上對(duì)其插值。雙線性插值雙線性插值法的計(jì)算比最鄰近點(diǎn)法復(fù)雜，計(jì)算量較大，但沒(méi)有灰度不連續(xù)性的缺點(diǎn)。具有低通濾波性質(zhì)，圖像輪廓有一定模糊。雙線性插值的平滑作用會(huì)使圖像細(xì)節(jié)退化。雙三次內(nèi)插法(bicubicinterpolation)該方法利用三次多項(xiàng)式S(x)來(lái)逼近理論上的最佳插值函數(shù)sin(x)/x。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：x定義為以被采樣點(diǎn)p為原點(diǎn)的鄰近像素x坐標(biāo)值，其像素間隔為1。三次內(nèi)插法計(jì)算過(guò)程：（1）首先確定輔助點(diǎn)位1p、2p、3p、4p各點(diǎn)上的灰度值。（3）利用同樣的方法計(jì)算I1p、I2p、I3p、I4p，即：（2）利用1p、2p、3p、4p各點(diǎn)的灰度值I1p、I2p、I3p、I4p，計(jì)算p點(diǎn)的灰度值，即：待求像素(x,y)的灰度值由其周圍十六個(gè)點(diǎn)的灰度值加權(quán)內(nèi)插得到?？赏茖?dǎo)出待求像素灰度的計(jì)算式如下：雙三次內(nèi)插法其中：該算法計(jì)算量最大，但內(nèi)插效果最好，精度最高。評(píng)斷插值結(jié)果的好壞第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：走樣現(xiàn)象的輕重。放大圖像的時(shí)候，要看邊緣是否產(chǎn)生了鋸齒，縮小圖像的時(shí)候，看看是否有干擾條紋，邊緣是否平順。第二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：邊緣是否清晰？第三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：過(guò)渡帶的層次感細(xì)節(jié)感怎么樣？原始影像灰度表面最近鄰內(nèi)插法雙線性內(nèi)插法雙三次插值法像素灰度內(nèi)插法效果比較不同插值方法效果比較最近鄰法 雙線性法雙三次插值法 不規(guī)則碎片形插值 (Fractalinterpolation)二、圖像的形狀變換圖像的縮小（

shrinkage）一般分為按比例縮小和不按比例縮小兩種圖像縮小后，因?yàn)槌休d的信息量小了，所以畫(huà)布（矩陣）可相應(yīng)縮小圖像按比例縮?。鹤詈?jiǎn)單的是減小一半，這樣只需取原圖的偶（奇）數(shù)行和偶（奇）數(shù)列構(gòu)成新的圖像。若圖像按任意比例縮小，則需要計(jì)算選擇的行列M*N大小的圖像縮小為：kM*kN大小，（k<1）：

設(shè)舊圖像是F(i,j)（i=1,2,…,M;j=1,2,…,N)，新圖像是I(x,y)(x=1,2,…,kM;y=1,2,…,KN)

則：I(x,y)=F(int(x/k),int(y/k))K=1/3圖像的縮小圖像不按比例縮小這種操作因?yàn)樵趚方向和y方向的縮小比例不同，一定會(huì)帶來(lái)圖像的幾何畸變圖像不按比例縮小方法：

若M*N大小的圖像縮小為：k1M*k2N，(k1,k2<1)

設(shè)舊圖像是F(i,j)（i=1,2,…,M;j=1,2,…,N)，新圖像是I(x,y)(x=1,2,…,k1M;y=1,2,…,K2N)

則有：I(x,y)=F(int(x/k1),int(y/k2))

圖像的縮小取：2，3，5，6列；2，4行示例圖像的放大（enlargement）圖像的縮小操作，是在現(xiàn)有的信息里如何挑選所需要的有用信息。圖像的放大操作中，則需對(duì)尺寸放大后所多出來(lái)的空格填入適當(dāng)?shù)闹?，這是信息的估計(jì)問(wèn)題，所以較圖像的縮小要困難一些同樣分為按比例放大和不按比例放大圖像的放大按比例放大圖像

如果需要將原圖像放大k倍，則將一個(gè)像素值添在新圖像的k*k的子塊中放大5倍圖像的放大思考：若放大倍數(shù)太大，按上述方法處理會(huì)出現(xiàn)馬賽克效應(yīng)？有沒(méi)有解決辦法？或者至少有所改善？圖像的任意不成比例放大：這種操作由于x方向和y方向的放大倍數(shù)不同，同樣會(huì)帶來(lái)圖像的幾何畸變。放大方法：將原圖像的一個(gè)像素添到新圖像的一個(gè)k1*k2的子塊中。若M*N大小的圖像放大為：k1M*k2N，(k1,k2>1)

設(shè)舊圖像是F(i,j)（i=1,2,…,M;j=1,2,…,N)，新圖像是I(x,y)(x=1,2,…,k1M;y=1,2,…,K2N)

則有：I(x,y)=F(int(x/k1),int(y/k2))圖像的放大示例i=[1,2],j=[1,3].x=[1,2*1.5]=[1,3],y=[1,4]=[1,3*1.2]=[1,4]x=[1/1.5,2/1.5,3/1.5=][i1,i1,i2],Y=[1/1.2,2/1.2,3/1.2,4/1.2]=[j1,j2,j3,j3].圖像的錯(cuò)切變換圖像的錯(cuò)切變換（sheartransform）圖像的錯(cuò)切變換實(shí)際上是景物在平面上的非垂直投影效果?？梢钥吹?，錯(cuò)切之后原圖像的像素排列方向改變。與前面旋轉(zhuǎn)不同的是，x方向與y方向獨(dú)立變化。圖像的錯(cuò)切變換幾何畸變（geometricdeformation）的校正

受到錯(cuò)切變換效果的啟發(fā)，將其進(jìn)行簡(jiǎn)單的延伸，當(dāng)景物在圖像上是非垂直投影時(shí)，可以通過(guò)幾何變換將其進(jìn)行矯正。常見(jiàn)幾何畸變?cè)颍合到y(tǒng)及非系統(tǒng)衛(wèi)星或航空?qǐng)D像中由傾斜的表面引起MR圖像中由于磁場(chǎng)的非均勻性引起圖像中物體的運(yùn)動(dòng)

鏡頭失真（魚(yú)眼失真）等等三、幾何畸變的校正幾何畸變的校正指按照一幅標(biāo)準(zhǔn)圖或一組基準(zhǔn)點(diǎn)去校正另一幅幾何失真圖。根據(jù)兩幅圖像的一些已知對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)（又稱控制點(diǎn)對(duì)），建立起函數(shù)關(guān)系式，將失真圖像的坐標(biāo)系(x，y)變換到標(biāo)準(zhǔn)圖像坐標(biāo)系(u，v)，從而實(shí)現(xiàn)失真圖像按標(biāo)準(zhǔn)圖像的幾何位置校正，使失真圖中的每一像點(diǎn)都可以在標(biāo)準(zhǔn)圖中找到對(duì)應(yīng)像點(diǎn)。幾何校正方法

基本方法：建立幾何校正的數(shù)學(xué)模型，利用已知條件確定模型參數(shù)，根據(jù)模型對(duì)圖像進(jìn)行幾何校正。通常分兩步：①圖像空間坐標(biāo)變換；首先建立圖像像點(diǎn)坐標(biāo)（行、列號(hào)）和參考圖對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)間的映射關(guān)系，解求映射關(guān)系中的未知參數(shù)，然后根據(jù)映射關(guān)系對(duì)像素坐標(biāo)進(jìn)行校正。②確定各像素的灰度值（灰度內(nèi)插）。幾何畸變的校正校正方法：有很多種，關(guān)鍵在于找出其中的變換

常用多項(xiàng)式變換其中變換參數(shù)可通過(guò)對(duì)應(yīng)點(diǎn)(tiepoints)的坐標(biāo)來(lái)確定有6個(gè)未知數(shù)，至少需要3個(gè)已知點(diǎn)來(lái)建立方程式，求解未知數(shù)。N=2時(shí)，包含多少個(gè)未知數(shù)？至少需要幾個(gè)已知點(diǎn)？幾何畸變的校正直接法：從畸變圖像出發(fā)，依次計(jì)算每個(gè)像素的校正坐標(biāo)，并把像素灰度值賦予對(duì)應(yīng)像素，生成校正圖像。間接法：1.推算出校正后圖像各格網(wǎng)點(diǎn)在已知畸變圖像上的坐標(biāo)(x‘,y’)2.通過(guò)內(nèi)插，求出該像素的灰度值缺點(diǎn)：像素分布不規(guī)則會(huì)出現(xiàn)像素?cái)D壓、疏密不均等現(xiàn)象幾種常見(jiàn)的幾何變換Conformal：等角投影Affine：仿射Pincushion：枕形失真是由鏡頭引起的畫(huà)面向中間“收縮”的現(xiàn)象。Projective：投影polynomial：多項(xiàng)式piecewiselinear：分段線性sinusoid：正弦變barrel：桶形失真幾種常見(jiàn)的幾何變換幾種常見(jiàn)的幾何變換本節(jié)內(nèi)容小結(jié)掌握?qǐng)D像的位置變換平移、鏡像、旋轉(zhuǎn)、插值等了解圖像的形狀變換熟悉縮小、放大等形狀變換了解錯(cuò)切變換、幾何畸變的校正掌握?qǐng)D像的常用插值算法掌握最近鄰法，雙線性插值法了解雙三次插值法思考設(shè)圖像為：1）請(qǐng)將它旋轉(zhuǎn)45度；2）請(qǐng)將它在x方向進(jìn)行45度錯(cuò)切。圖像的裁剪：im