近六年吉林中考數(shù)學(xué)第25題動態(tài)幾何與分段函數(shù)問題

．（10分）（2017?吉林）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊AB向終點B運(yùn)動．過點P作PQ⊥AB交折線ACB于點Q，D為PQ中點，以DQ為邊向右側(cè)作正方形DEFQ．設(shè)正方形DEFQ與△ABC重疊部分圖形的面積是y（cm2），點P的運(yùn)動時間為x（s）．（1）當(dāng)點Q在邊AC上時，正方形DEFQ的邊長為cm（用含x的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)點P不與點B重合時，求點F落在邊BC上時x的值；（3）當(dāng)0＜x＜2時，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（4）直接寫出邊BC的中點落在正方形DEFQ內(nèi)部時x的取值范圍．【考點】LO：四邊形綜合題．【分析】（1）國際已知條件得到∠AQP=45°，求得PQ=AP=2x，由于D為PQ中點，于是得到DQ=x；（2）如圖①，延長FE交AB于G，由題意得AP=2x，由于D為PQ中點，得到DQ=x，求得GP=2x，列方程于是得到結(jié)論；（3）如圖②，當(dāng)0＜x≤時，根據(jù)正方形的面積公式得到y(tǒng)=x2；如圖③，當(dāng)＜x≤1時，過C作CH⊥AB于H，交FQ于K，則CH=AB=2，根據(jù)正方形和三角形面積公式得到y(tǒng)=﹣x2+20x﹣8；如圖④，當(dāng)1＜x＜2時，PQ=4﹣2x，根據(jù)三角形的面積公式得到結(jié)論；（4）當(dāng)Q與C重合時，E為BC的中點，得到x=1，當(dāng)Q為BC的中點時，BQ=，得到x=，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=45°，PQ⊥AB，∴∠AQP=45°，∴PQ=AP=2x，∵D為PQ中點，∴DQ=x，故答案為：x；（2）如圖①，延長FE交AB于G，由題意得AP=2x，∵D為PQ中點，∴DQ=x，∴GP=2x，∴2x+x+2x=4，∴x=；（3）如圖②，當(dāng)0＜x≤時，y=S正方形DEFQ=DQ2=x2，∴y=x2；如圖③，當(dāng)＜x≤1時，過C作CH⊥AB于H，交FQ于K，則CH=AB=2，∵PQ=AP=2x，CK=2﹣2x，∴MQ=2CK=4﹣4x，F(xiàn)M=x﹣（4﹣4x）=5x﹣4，∴y=S正方形DEFQ﹣S△MNF=DQ2﹣FM2，∴y=x2﹣（5x﹣4）2=﹣x2+20x﹣8，∴y=﹣x2+20x﹣8；如圖④，當(dāng)1＜x＜2時，PQ=4﹣2x，∴DQ=2﹣x，∴y=S△DEQ=DQ2，∴y=（2﹣x）2，∴y=x2﹣2x+2；（4）當(dāng)Q與C重合時，E為BC的中點，即2x=2，∴x=1，考點：幾何變換綜合題．版權(quán)所有分析：（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得BG的長，根據(jù)線段的和差，可得GE的長，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得答案；（2）分類討論：①當(dāng)0≤t＜6時，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；②當(dāng)6≤t＜12時，③當(dāng)12＜t≤15時，根據(jù)面積的和差，可得答案；（3）根據(jù)點與直線上所有點的連線中垂線段最短，可得M在線段NG上，根據(jù)三角形的中位線，可得NG的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得MG的長，根據(jù)線段的和差，可得答案．解答：解：（1）如圖1所示：作CG⊥AB于G點．，在Rt△ABC中，由AC=6，∠ABC=30，得BC==6．在Rt△BCG中，BG=BC?cos30°=9．四邊形CGEH是矩形，CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，故答案為：15；（2）①當(dāng)0≤x＜6時，如圖2所示．，∠GDB=60°，∠GBD=30°，DB=x，得DG=x，BG=x，重疊部分的面積為y=DG?BG=×x×x=x2②當(dāng)6≤x＜12時，如圖3所示．，BD=x，DG=x，BG=x，BE=x﹣6，EH=（x﹣6）．重疊部分的面積為y=S△BDG﹣S△BEH=DG?BG﹣BE?EH，即y=×x×x﹣（x﹣6）（x﹣6）化簡，得y=﹣x2+2x﹣6；③當(dāng)12＜x≤15時，如圖4所示．，AC=6，BC=6，BD=x，BE=（x﹣6），EG=（x﹣6），重疊部分的面積為y=S△ABC﹣S△BEG=AC?BC﹣BE?EG，即y=×6×6﹣（x﹣6）（x﹣6），化簡，得y=18﹣（x2﹣12x+36）=﹣x2+2x+12；綜上所述：y=；（3）如圖5所示作NG⊥DE于G點．，點M在NG上時MN最短，NG是△DEF的中位線，NG=EF=．MB=CB=3，∠B=30°，MG=MB=，MN最小=3﹣=．點評：本題考查了幾何變換綜合題，（1）利用了銳角三角函數(shù)，矩形的性質(zhì)；（2）利用面積的和差，分類討論時解題關(guān)鍵，以防遺漏；（3）利用了垂線段最短的性質(zhì)，三角形的中位線定理，銳角三角函數(shù)．25．（10分）（2014?吉林）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC=6cm，BD=8cm，動點P，Q分別從點B，D同時出發(fā)，運(yùn)動速度均為1cm/s，點P沿B→C→D運(yùn)動，到點D停止，點Q沿D→O→B運(yùn)動，到點O停止1s后繼續(xù)運(yùn)動，到B停止，連接AP，AQ，PQ．設(shè)△APQ的面積為y（cm2）（這里規(guī)定：線段是面積0的幾何圖形），點P的運(yùn)動時間為x（s）．（1）填空：AB=cm，AB與CD之間的距離為cm；（2）當(dāng)4≤x≤10時，求y與x之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出在整個運(yùn)動過程中，使PQ與菱形ABCD一邊平行的所有x的值．考點：四邊形綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）根據(jù)勾股定理即可求得AB，根據(jù)面積公式求得AB與CD之間的距離．（2）當(dāng)4≤x≤10時，運(yùn)動過程分為三個階段，需要分類討論，避免漏解：①當(dāng)4≤x≤5時，如答圖1﹣1所示，此時點Q與點O重合，點P在線段BC上；②當(dāng)5＜x≤9時，如答圖1﹣2所示，此時點Q在線段OB上，點P在線段CD上；③當(dāng)9＜x≤10時，如答圖1﹣3所示，此時點Q與點B重合，點P在線段CD上．（3）有兩種情形，需要分類討論，分別計算：①若PQ∥CD，如答圖2﹣1所示；②若PQ∥BC，如答圖2﹣2所示．解答：解：（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，∴AC⊥BD，∴AB===5，設(shè)AB與CD間的距離為h，∴△ABC的面積S=AB?h，又∵△ABC的面積S=S菱形ABCD=×AC?BD=×6×8=12，∴AB?h=12，∴h==．（2）設(shè)∠CBD=∠CDB=θ，則易得：sinθ=，cosθ=．①當(dāng)4≤x≤5時，如答圖1﹣1所示，此時點Q與點O重合，點P在線段BC上．∵PB=x，∴PC=BC﹣PB=5﹣x．過點P作PH⊥AC于點H，則PH=PC?cosθ=（5﹣x）．∴y=S△APQ=QA?PH=×3×（5﹣x）=﹣x+6；②當(dāng)5＜x≤9時，如答圖1﹣2所示，此時點Q在線段OB上，點P在線段CD上．PC=x﹣5，PD=CD﹣PC=5﹣（x﹣5）=10﹣x．過點P作PH⊥BD于點H，則PH=PD?sinθ=（10﹣x）．∴y=S△APQ=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S四邊形BCPQ﹣S△APD=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣（S△BCD﹣S△PQD）﹣S△APD=AC?BD﹣BQ?OA﹣（BD?OC﹣QD?PH）﹣PD×h=×6×8﹣（9﹣x）×3﹣[×8×3﹣（x﹣1）?（10﹣x）]﹣（10﹣x）×=﹣x2+x﹣；③當(dāng)9＜x≤10時，如答圖1﹣3所示，此時點Q與點B重合，點P在線段CD上．y=S△APQ=AB×h=×5×=12．綜上所述，當(dāng)4≤x≤10時，y與x之間的函數(shù)解析式為：y=．（3）有兩種情況：①若PQ∥CD，如答圖2﹣1所示．此時BP=QD=x，則BQ=8﹣x．∵PQ∥CD，∴，即，∴x=；②若PQ∥BC，如答圖2﹣2所示．此時PD=10﹣x，QD=x﹣1．∵PQ∥BC，∴，即，∴x=．綜上所述，滿足條件的x的值為或．點評：本題是運(yùn)動型綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、圖形面積、相似等多個知識點，重點考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想．本題第（2）（3）問均需分類討論，這是解題的難點；另外，試題計算量較大，注意認(rèn)真計算．25.（2013?吉林）如圖，在Rt⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝.點D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點，連接DE、DF，動點P，Q分別從點A、B同時出發(fā)，運(yùn)動速度均為1㎝/s，點P沿A至F至D的方向運(yùn)動到點D停止；點Q沿B至C的方向運(yùn)動，當(dāng)點P停止運(yùn)動時，點Q也停止運(yùn)動.在運(yùn)動過程中，過點Q作BC的垂線交AB于點M，以點P，M，Q為頂點作平行四邊形PMQN.設(shè)平行四邊形邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分的面積為（㎝2）（這里規(guī)定線段是面積為0有幾何圖形），點P運(yùn)動的時間為（s）（1）當(dāng)點P運(yùn)動到點F時，CQ=㎝；（2）在點P從點F運(yùn)動到點D的過程中，某一時刻，點P落在MQ上，求此時BQ的長度；（3）當(dāng)點P在線段FD上運(yùn)動時，求與之間的函數(shù)關(guān)系式.（備用題）（備用題）（第（第25題）25（2012?吉林）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．動點P從點A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點B運(yùn)動，動點Q從點B同時出發(fā)，沿BA方向以1cm/s的速度向點A運(yùn)動．當(dāng)點P到達(dá)點B時，P，Q兩點同時停止運(yùn)動，以AP為一邊向上作正方形APDE，過點Q作QF∥BC，交AC于點F．設(shè)點P的運(yùn)動時間為ts，正方形和梯形重合部分的面積為Scm2．（1）當(dāng)t=s時，點P與點Q重合；（2）當(dāng)t=s時，點D在QF上；（3）當(dāng)點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．考點：相似形綜合題；勾股定理；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)。714585專題：動點型。分析：（1）當(dāng)點P與點Q重合時，此時AP=BQ=t，且AP+BQ=AC=2，由此列一元一次方程求出t的值；（2）當(dāng)點D在QF上時，如答圖1所示，此時AP=BQ=t．由相似三角形比例線段關(guān)系可得PQ=t，從而由關(guān)系式AP+PQ+BQ=AC=2，列一元一次方程求出t的值；（3）當(dāng)點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，運(yùn)動過程可以劃分為兩個階段：①當(dāng)1＜t≤時，如答圖3所示，此時重合部分為梯形PDGQ．先計算梯形各邊長，然后利用梯形面積公式求出S；②當(dāng)＜t＜2時，如答圖4所示，此時重合部分為一個多邊形．面積S由關(guān)系式“S=S正方形APDE﹣S△AQF﹣S△DMN”求出．\解：（1）當(dāng)點P與點Q重合時，AP=BQ=t，且AP+BQ=AC=2，∴t+t=2，解得t=1s，故填空答案：1．（2）當(dāng)點D在QF上時，如答圖1所示，此時AP=BQ=t．∵QF∥BC，APDE為正方形，∴△PQD∽△ABC，∴DP：PQ=AC：AB=2，則PQ=DP=AP=t．由AP+PQ+BQ=AC=2，得t+t+t=2，解得：t=，故填空答案：．（3）當(dāng)P、Q重合時，由（1）知，此時t=1；當(dāng)D點在BC上時，如答圖2所示，此時AP=BQ=t，BP=t，求得t=s，進(jìn)一步分析可知此時點E與點F重合；當(dāng)點P到達(dá)B點時，此時t=2．因此當(dāng)P點在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，其運(yùn)動過程可分析如下：①當(dāng)1＜t≤時，如答圖3所示，此時重合部分為梯形PDGQ．此時AP=BQ=t，∴AQ=2﹣t，PQ=AP﹣AQ=2t﹣2；易知△ABC∽△AQF∽△EGF，可得AF=2AQ，EF=2EG．∴EF=AF﹣AE=2（2﹣t）﹣t=4﹣3t，EG=EF=2﹣t，∴DG=DE﹣EG=t﹣（2﹣t）=t﹣2．S=S梯形PDGQ=（PQ+DG）?PD=[（2t﹣2）+（t﹣2）]?t=t2﹣2t；②當(dāng)＜t＜2時，如答圖4所示，此時重合部分為一個多邊形．此時AP=BQ=t，∴AQ=PB=2﹣t，易知△ABC∽△AQF∽△PBM△DNM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，∴AF=4﹣2t，PM=4﹣2t．又DM=DP﹣PM=t﹣（4﹣2t）=3t﹣4，∴DN=（3t﹣4）．S