完全彈性碰撞

§3—7完全彈性碰撞完全非彈性碰撞一、碰撞（Collision）基本概念：碰撞，一般是指兩個(gè)或兩個(gè)以上物體在運(yùn)動(dòng)中相互靠近，或發(fā)生接觸時(shí)，在相對(duì)較短的時(shí)間內(nèi)發(fā)生強(qiáng)烈相互作用的過程。碰撞會(huì)使兩個(gè)物體或其中的一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生明顯的變化。碰撞過程一般都非常復(fù)雜，難于對(duì)過程進(jìn)行仔細(xì)分析。但由于我們通常只需要了解物體在碰撞前后運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化，而對(duì)發(fā)生碰撞的物體系來說，外力的作用又往往可以忽略，因而可以利用動(dòng)量、角動(dòng)量以及能量守恒定律對(duì)有關(guān)問題求解。特點(diǎn)：1）碰撞時(shí)間極短2）碰撞力很大，外力可以忽略不計(jì)，系統(tǒng)動(dòng)量守恒3）速度要發(fā)生有限的改變，位移在碰撞前后可以忽略不計(jì)碰撞過程的分析：討論兩個(gè)球的碰撞過程。碰撞過程可分為兩個(gè)過程。開始碰撞時(shí)，兩球相互擠壓，發(fā)生形變，由形變產(chǎn)生的彈性恢復(fù)力使兩球的速度發(fā)生變化，直到兩球的速度變得相等為止。這時(shí)形變得到最大。這是碰撞的第一階段，稱為壓縮階段。此后，由于形變?nèi)匀淮嬖?，彈性恢?fù)力繼續(xù)作用，使兩球速度改變而有相互脫離接觸的趨勢(shì)，兩球壓縮逐漸減小，直到兩球脫離接觸時(shí)為止。這是碰撞的第二階段，稱為恢復(fù)階段。整個(gè)碰撞過程到此結(jié)束。分類：根據(jù)碰撞過程能量是否守恒1）完全彈性碰撞：碰撞前后系統(tǒng)動(dòng)能守恒（能完全恢復(fù)原狀）；2）非彈性碰撞：碰撞前后系統(tǒng)動(dòng)能不守恒（部分恢復(fù)原狀）；3）完全非彈性碰撞：碰撞后系統(tǒng)以相同的速度運(yùn)動(dòng)（完全不能恢復(fù)原狀）。在碰撞后，兩物體的動(dòng)能之和（即二、完全彈性碰撞(PerfectElasticCollision)在碰撞后，兩物體的動(dòng)能之和（即總動(dòng)能）完全沒有損失，這種碰撞叫做完全彈性碰撞。解題要點(diǎn)：動(dòng)量、動(dòng)能守恒。速度分別為Vio,V20，碰撞后速度變?yōu)閂速度分別為Vio,V20，碰撞后速度變?yōu)閂i,V2動(dòng)量守恒動(dòng)能守恒由（1）由（2）由⑷/⑶動(dòng)能守恒由（1）由（2）由⑷/⑶mv+mv=mv+mv11221102201111mv2+mv2=mv2+mv221122221102220m1m(v-v)=m(1t—v，)=m2(11102202(1)(2)(3)(4)v+v=v+v110220或v—v=v—v（5）102021即碰撞前兩球相互趨近的相對(duì)速度v10-v20等于碰撞后兩球相互分開的相對(duì)速度v2-V］。由（3）、（5）式可以解出：\m—m人+2mvTOC\o"1-5"\h\zv=——12_10220m+m（m—m丄+2mvv=——21_20m+m12討論：m=m，則v二v，v二v，兩球碰撞時(shí)交換速度12210120v二0，m<<m則v沁—v，v=0，m反彈，即質(zhì)量很大且原來201211021靜止的物體，在碰撞后仍保持不動(dòng)，質(zhì)量小的物體碰撞后速度等值反向。若m2<<m1，且v20=0，則v1^v10，v2^2v10，即一個(gè)質(zhì)量很大的球體，當(dāng)它的與質(zhì)量很小的球體相碰時(shí)，它的速度不發(fā)生顯著的改變，但是質(zhì)量很小的球卻以近似于兩倍于大球體的速度運(yùn)動(dòng)。三、完全非彈性碰撞（PerfectInelasticCollision如兩物體在碰撞后以同一速度運(yùn)動(dòng)（即它們相碰后不再分開），這種碰撞叫做完全非彈性碰撞。解題要點(diǎn)：動(dòng)量守恒。碰撞后系統(tǒng)以相同的速度運(yùn)動(dòng)v=v2=vmv+碰撞后系統(tǒng)以相同的速度運(yùn)動(dòng)v=v2=vmv+mv=(m+m)11022012mv+mvv=—1-^0220m+m12動(dòng)量守恒所以動(dòng)能損失為AE=(1—mv2I21101)+—mv22220丿——(m+m)v2212mm(二_\\v—v2屁+m丿102012四、非完全彈性碰撞兩物體碰撞時(shí)，由于非保守力作用，致使機(jī)械能轉(zhuǎn)換為熱能、聲能、化學(xué)能等其他形式的能量，或者其他形式的能量轉(zhuǎn)換為機(jī)械能，這種碰撞就叫做非彈性碰撞。解題要點(diǎn)：動(dòng)量守恒、能量守恒。由于壓縮后的物體不能完全恢復(fù)原狀而有部分形變被保留下來，因此系統(tǒng)的動(dòng)量守恒而動(dòng)能不守恒。實(shí)驗(yàn)表明，壓縮后的恢復(fù)程度取決于碰撞物體的材料。牛頓總結(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，提出碰撞定律：碰撞后兩球的分離速度v2-v1與碰撞前兩球的接近速度v10-v20之比為以定值，比值由兩球材料的性質(zhì)決定。該比值稱為恢復(fù)系數(shù)（CoefficientofRestitution），用e表示，即v一ve二一21-v一v1020由上式可見：e=0，v2=v1，為完全非彈性碰撞；e=1，v2=v1=v10-v20，為完全彈性碰撞；0<e<1，為非完全彈性碰撞。(8)(8)(m一emL+(1+e)mvv=1210荃』0m+m(m一emL+(1+e)mvv=2+3010m+m12例題：如圖所示，質(zhì)量為1kg的鋼球，系在長為上的繩子的一端，繩子的另端固定。把繩子拉至水平位置后將球由靜止釋放，球在最低點(diǎn)與質(zhì)量為5kg的鋼塊作完全彈性碰撞。求碰撞后鋼球升高的高度。解：本題分三個(gè)過程：第一過程：鋼球下落到最低點(diǎn)。以鋼球和地球?yàn)橄到y(tǒng)，機(jī)械能守恒。以鋼球在最低點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)mv2=mgl2o第二過程：恒。1mv22omv0(1)鋼球與鋼塊作完全彈性碰撞，以鋼球和鋼塊為系統(tǒng)，動(dòng)能和動(dòng)量守=丄mv2+MV222=mv+MV(3)第三過程：鋼球上升。以鋼球和地球?yàn)橄到y(tǒng)，機(jī)械能守恒。以鋼球在最低點(diǎn)為(2)重力勢(shì)能零點(diǎn)。mv2=mgh2由(2)、((3)可得)

mv2-v2厶MV2

mC-v)=MV0得v+v=Vmv=mv+MC+v)00(m一M'm+M丿(6)/(5)，代入(2)因而v0(4)(5)(6)(7)(4)/(1)，得v2=hv2l

0(7)代入(8)h=代入數(shù)據(jù)，得h=x0.8=0.356m§3-8能量守恒定律一、內(nèi)容：如果系統(tǒng)內(nèi)除了萬有引力、彈性力等保守力作功以外，還有摩擦力或其他非保守內(nèi)力作功，那么這系統(tǒng)的機(jī)械能就要發(fā)生變化，但它總是轉(zhuǎn)換為其他形式的能量，這是由大量的實(shí)驗(yàn)所證明的。對(duì)于一個(gè)孤立系統(tǒng)來說，系統(tǒng)內(nèi)各種形式的能量是可以相互轉(zhuǎn)換的，但是不論如何轉(zhuǎn)換，能量既不能產(chǎn)生，也不能消滅，能量的總和是不變的。這就是能量守恒定律。該定律是自然界的基本定律之一，是物理學(xué)中最具普遍性的定律之一，可適用于任何變化過程，不論是機(jī)械的、熱的、電磁的、原子和原子核內(nèi)的，以及化學(xué)的、生物的等等，其意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了機(jī)械能守恒定律的范圍，后者只不過是前者的一個(gè)特例。二、說明：能量守恒定律是19世紀(jì)，經(jīng)過，和Helmholtz等人的努力建立起來的。Engels把能量守恒定律同生物進(jìn)化論、細(xì)胞的發(fā)現(xiàn)相提并論，譽(yù)為19世紀(jì)的三個(gè)最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)。因?yàn)槟芰渴歉鞣N運(yùn)動(dòng)的一般量度，所以能量守恒定律所闡明的實(shí)質(zhì)就是各種物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)可以相互轉(zhuǎn)換。三、能量守恒定律的重要性：自然界一切已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的過程無一例外遵守能量守恒定律。凡是違反能量守恒定律的過程都是不可能實(shí)現(xiàn)的，例如“永動(dòng)機(jī)”只能以失敗而告終。利用能量守恒定律研究物體系統(tǒng)，可以不管系統(tǒng)內(nèi)各物體的相互作用如何復(fù)雜，也可以不問過程的細(xì)節(jié)如何，而直截了當(dāng)?shù)貙?duì)系統(tǒng)的始末狀態(tài)的某些特征下結(jié)論，為解決問題另辟新路子。這也是守恒定律的特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn)。四、守恒定律的意義自然界中許多物理量，如動(dòng)量、角動(dòng)量、機(jī)械能、電荷、質(zhì)量、宇稱、粒子反應(yīng)中的重子數(shù)、輕子數(shù)等等，都具有相應(yīng)的守恒定律。物理學(xué)特別注意守恒量和守恒定律的研究，這是因?yàn)椋旱谝?，從方法論上看：利用守恒定律可避開過程細(xì)節(jié)而對(duì)系統(tǒng)始、末態(tài)下結(jié)論(特點(diǎn)、優(yōu)點(diǎn))。第二，從適用性來看：守恒定律適用范圍廣，宏觀、微觀、高速、低速均適用(牛頓定律只適用于宏觀、低速，但由它導(dǎo)出的動(dòng)量守恒定律的適用范圍遠(yuǎn)它廣泛，迄今為止沒發(fā)現(xiàn)它不對(duì)過)。第三，從認(rèn)識(shí)世界來看：守恒定律是認(rèn)識(shí)世界的有力武器。在新現(xiàn)象研究中，當(dāng)發(fā)現(xiàn)某個(gè)守恒定律不成立時(shí)，往往作以下考慮：尋找被忽略的因素，從而恢復(fù)守恒定律的應(yīng)用。引入新概念，使守恒定律更普遍化。⑶無法"補(bǔ)救”時(shí)，宣布該守恒定律失效。例：中微子的發(fā)現(xiàn)問題的提出:B衰變：核a一核B+e如果核A靜止，則由動(dòng)量守恒應(yīng)有PB+Pe=0；但B衰變?cè)剖艺掌砻?，B、e的徑跡并不在一條直線上。6問題何在是動(dòng)量守恒有問題還是有其它未知粒子參與

物理學(xué)家堅(jiān)信動(dòng)量守恒。1930年泡利提出中微子假說，以解釋B衰變各種現(xiàn)象。1956年(26年后)終于在實(shí)驗(yàn)上直接找到中微子。1962實(shí)驗(yàn)上正式確定有兩種中微子：電子中微子ve、卩子中微子veh第四，從本質(zhì)上看：換不變性)：動(dòng)量守恒換不變性)：動(dòng)量守恒能量守恒角動(dòng)量守恒相應(yīng)于空間平移的對(duì)稱性相應(yīng)于時(shí)間平移的對(duì)稱性相應(yīng)于空間轉(zhuǎn)動(dòng)的對(duì)稱性*功與能量的聯(lián)系和區(qū)別能量守恒定律能使我們更深刻地理解功的意義。按能量守恒定律，一個(gè)物體或系統(tǒng)的能量變化時(shí)，必然有另一個(gè)物體或系統(tǒng)的能量同時(shí)發(fā)生變化。所以當(dāng)我們用作功的方法(以及用傳遞熱量等其他方法)使一個(gè)系統(tǒng)的能量變化時(shí)，在本質(zhì)上是這個(gè)系統(tǒng)與另一個(gè)系統(tǒng)之間發(fā)生了能量的交換。而這個(gè)能量的交換在量值上就用功來描述。所以說，功總是和能量的變化與轉(zhuǎn)換過程相聯(lián)系。功是能量交換或變化的一種量度。能量是代表物體系統(tǒng)在一定狀態(tài)下所具有的作功本領(lǐng)，它和物體系統(tǒng)的狀態(tài)有關(guān)，是系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)。內(nèi)容：1質(zhì)心的概念；2?質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律。F等于質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力F，即yF內(nèi)容：1質(zhì)心的概念；2?質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律。F等于質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力F，即yF=F，而iicicd2rd2y(-\yd2乙匕r丿mi=mr=mL~L-idt2dt2iiidt2mi因而可引入質(zhì)心ymriir=-4=1cymii=1在直角坐標(biāo)系中，質(zhì)心位置矢量各分量的表達(dá)式為：ymzii-4=1ymii=1工mxii4=1工mii=1對(duì)于連續(xù)分布的物體,r=Jrdm

cM分量形式為x=丄Jxdm，cMymyii=-4=1ymii=1質(zhì)心的計(jì)算公式為:=丄Jydm,zM=丄JzdmM*§3—9質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律一、質(zhì)心(CenterofMass)的概念1.例子：水平上拋三角板；運(yùn)動(dòng)員跳水2?質(zhì)心一一代表質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布的平均位置，質(zhì)心可以代表質(zhì)點(diǎn)系的平動(dòng)。推導(dǎo)：N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m.，位置矢量為r，所受的合一1一1力為F=f+仁，其中f為系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)TOC\o"1-5"\h\ziii外I點(diǎn)對(duì)它作用的內(nèi)力，/乩為系統(tǒng)外質(zhì)點(diǎn)對(duì)它i外作用的外力。根據(jù)牛頓第二定律得d2rm十=F=f+fidt2iii外對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系中的所有質(zhì)點(diǎn)求和y云yd2rF=厶miiidt2由于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用滿足牛頓第三定律，這些相互作用力的和為零(yf=0)，所以y

例題：試計(jì)算如圖所示的面密度為恒量的直角三角形的質(zhì)心的位置。解：取如圖所示的坐標(biāo)系。由于質(zhì)量面密度b為恒量，取微元ds=dxdy的質(zhì)量為dm=gds=gdxdy所以質(zhì)心的例題：試計(jì)算如圖所示的面密度為恒量的直角三角形的質(zhì)心的位置。解：取如圖所示的坐標(biāo)系。由于質(zhì)量面密度b為恒量，取微元ds=dxdy的質(zhì)量為dm=gds=gdxdy所以質(zhì)心的x坐標(biāo)為JJxbdxdygdxdya從圖中可以看出，三角形斜邊的方程為y=a-xb積分得xxgdxdyxc00ab2

g—

_6_

ab

g-2同樣可以求得質(zhì)心的y坐標(biāo)ycJJyGdxdygdxdy積分yc00厶一「（ba'因而質(zhì)心的坐標(biāo)為l33丿說明：1）坐標(biāo)系的選擇不同，質(zhì)心的坐標(biāo)也不同；2）對(duì)于密度均勻，形狀對(duì)稱的物體，其質(zhì)心在物體的幾何中心處；3）質(zhì)心不一定在物體上，例如圓環(huán)的質(zhì)心在圓環(huán)的軸心上；4）質(zhì)心和重心（CenterofGravity）是兩個(gè)不同的概念質(zhì)心是有由質(zhì)量分布決定的特殊的點(diǎn)；重心是地球?qū)ξ矬w各部分引力的合力的作用點(diǎn)。當(dāng)物體遠(yuǎn)離地球時(shí)，重力不存在，重心的概念失去意義，但是質(zhì)心還是存在的。二、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律（TheoremofMotionofCenter-of-Mass1.系統(tǒng)的動(dòng)量drdt把質(zhì)心公式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)drdtdrm—iidt因而上式為TOC\o"1-5"\h\zdrdr因而上式為*為質(zhì)心的速度v，丄為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度為v，dtdtiMv=乙mv=乙pciii

即，系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和等于系統(tǒng)質(zhì)心的速度與系統(tǒng)質(zhì)量的乘積。2．質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理引入系統(tǒng)動(dòng)量以后，系統(tǒng)所受的合外力可以寫成dvF=M-=Macdtc即，作用在系統(tǒng)上的合外力等于系統(tǒng)的總質(zhì)量與系統(tǒng)質(zhì)心加速度的乘積。它與牛頓第二定律在形式上完全相同，相對(duì)于系統(tǒng)的質(zhì)量全部集中于系統(tǒng)的質(zhì)心，在合外力的作用下，質(zhì)心以加速度a運(yùn)動(dòng)。c說明：無論系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)任何復(fù)雜，但是質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)可能相當(dāng)簡單，只由作用在系統(tǒng)上的外力決定；內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。大力士不能自舉其身就是一例。質(zhì)心是質(zhì)點(diǎn)系平動(dòng)的代表點(diǎn)，各質(zhì)點(diǎn)追隨質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，表現(xiàn)出系統(tǒng)的整體運(yùn)動(dòng)。3克尼希(KonigTheorem)定理質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)能，等于相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能，加上隨質(zhì)點(diǎn)系整體平動(dòng)的動(dòng)能，即E=E'+mv2kk2c例題：設(shè)有一個(gè)質(zhì)量為2m的彈丸，從地面斜拋出去，它飛行到最高點(diǎn)處爆炸成質(zhì)量相TOC\o"1-5"\h\z等的