《一次函數(shù)及幾何圖形綜合》專題

./《一次函數(shù)與幾何圖形綜合》專題總論：函數(shù)與幾何是初中數(shù)學(xué)中的重點內(nèi)容,是中考命題重點考查的內(nèi)容之一；函數(shù)中的幾何問題,能使代數(shù)知識圖形化,而幾何中的函數(shù)問題,能使圖形性質(zhì)代數(shù)化；由于函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題的形式靈活、立意新穎,能更好地考查學(xué)生的思維水平和數(shù)學(xué)思想方法,因而成為近幾年各地中考的一類熱門試題；函數(shù)知識與幾何知識有機結(jié)合的綜合題,根據(jù)構(gòu)成命題的主要要素可分為以下兩類：一類是幾何元素間的函數(shù)關(guān)系問題〔這類問題不妨稱簡稱為"幾函"問題,這類問題的特點是：根據(jù)已知幾何圖形間的位置和數(shù)量關(guān)系〔如平行、全等、相似,特別是成比例建立自變量與函數(shù)所表示的幾何元素間的等量關(guān)系,求出函數(shù)關(guān)系式,運用函數(shù)的性質(zhì)解決幾何圖形中的問題；另一類是函數(shù)圖像中的幾何圖形的問題〔如三角形、四邊形,特別是圓〔這類問題不妨簡稱為"函幾"問題,這類問題的特點是：根據(jù)已知函數(shù)圖像中的幾何圖形的位置特征,運用數(shù)形結(jié)合方法解決有關(guān)函數(shù)、幾何問題。一次函數(shù)與幾何綜合題是八年級學(xué)生初次接觸一種用代幾綜合解決問題的方法,這種方法和能力是九年級解決中考壓軸題所必須具備的。1.代數(shù)〔1表達什么函數(shù)〔包括其系數(shù)的代數(shù)意義、幾何意義、物理意義〔2顯現(xiàn)怎樣的圖形〔自身、與坐軸、與其他圖形〔3既是一個方程,也是一個坐標(biāo)4藏有那些數(shù)據(jù),含有什么些關(guān)系〔5要建立某種代數(shù)關(guān)系缺少那些數(shù)據(jù)2.幾何〔1基本圖象有幾個〔2圖象之間有怎樣關(guān)系〔3圖象與所要證明〔求解的結(jié)論怎樣的關(guān)聯(lián)〔4要建立圖象與圖象之間的關(guān)系缺少那些數(shù)據(jù)3.代數(shù)與幾何〔1代數(shù)〔幾何在那些地方為幾何〔代數(shù)提供了怎樣的數(shù)據(jù)〔2幾何〔代數(shù)通過什么方式為幾何〔代數(shù)提供關(guān)系式〔3怎樣設(shè)數(shù)據(jù)〔坐標(biāo)或線段長函數(shù)與幾何綜合題的解題思想方法："函幾問題"與"幾函問題"涉及的知識面廣、知識跨度大、綜合性強,應(yīng)用數(shù)學(xué)方法多、縱橫聯(lián)系較復(fù)雜、結(jié)構(gòu)新穎靈活、注重基礎(chǔ)能力、探索創(chuàng)新和數(shù)學(xué)思想方法,它要求學(xué)生有良好的心理素質(zhì)和過硬的數(shù)學(xué)基本功,能從已知所提供的信息中提煉出數(shù)學(xué)問題,從而靈活地運用所學(xué)知識和掌握的基本技能創(chuàng)造性的解決問題,正因如此,解決這類問題時,要注意解決問題的策略,常用的解題策略一般有以下幾種：綜合使用分析法和綜合法。就是從條件與結(jié)論出發(fā)進行聯(lián)想、推理,"由已知得可知","從要求到需求",通過對問題的"兩邊夾擊",使它們在中間的某個環(huán)節(jié)上產(chǎn)生聯(lián)系,從而使問題得以解決。運用方程的思想。就是尋找要解決的問題中量與量之間的等量關(guān)系,建立已知量與未知量間的方程,通過解方程從而使問題得到解決；在運用這種思想時,要注意充分挖掘問題的的隱藏條件,尋找等量關(guān)系建立方程或方程組；3.注意使用分類討論的思想〔函數(shù)方法。函數(shù)方法就是用運動、變化的觀點來分析題中的數(shù)量關(guān)系,抽象、升華為函數(shù)的模型,進而解決有關(guān)問題的方法．函數(shù)的實質(zhì)是研究兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系,靈活運用函數(shù)方法可以解決許多數(shù)學(xué)問題．函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題中往往注意考查學(xué)生的分類討論的數(shù)學(xué)思想,因此在解決這類問題時,一定要多一個心眼兒,多從側(cè)面進行縝密地思考,用分類討論的思想探討出現(xiàn)結(jié)論的一切可能性,從而使問題的解答完整無遺。4.用數(shù)形結(jié)合的思想。數(shù)形結(jié)合法是指將數(shù)與形結(jié)合,分析、研究、解決問題的一種思想方法,數(shù)形結(jié)合法在解決與函數(shù)有關(guān)的問題時,能起到事半功倍的作用．在中學(xué)數(shù)學(xué)中,"數(shù)"與"形"不是孤立的,它們的辯證統(tǒng)一表現(xiàn)在："數(shù)"可以準(zhǔn)確地澄清"形"的模糊,而"形"能直觀地啟迪"數(shù)"的計算；使用數(shù)形結(jié)合的思想來解5.運用轉(zhuǎn)化的思想。轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問題的核心思想,由于函數(shù)與幾何結(jié)合的問題都具有較強的綜合性,因此在解決這類問題時,要善于把"新知識"轉(zhuǎn)化為"舊知識",把"未知"化為"已知",把"抽象"的問題轉(zhuǎn)化為"具體"的問題,把"復(fù)雜"的問題轉(zhuǎn)化為"簡單"的問題,可以大膽地說,不掌握轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,就很難正確而全面地解決函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合問題。知識規(guī)律小結(jié)：〔1常數(shù)k,b對直線y=kx+b<k≠0位置的影響．①當(dāng)b＞0時,直線與y軸的正半軸相交；當(dāng)b=0時,直線經(jīng)過原點；當(dāng)b﹤0時,直線與y軸的負半軸相交．②當(dāng)k,b異號時,即-＞0時,直線與x軸正半軸相交；當(dāng)b=0時,即-=0時,直線經(jīng)過原點；當(dāng)k,b同號時,即-﹤0時,直線與x軸負半軸相交．③當(dāng)k＞O,b＞O時,圖象經(jīng)過第一、二、三象限；當(dāng)k＞0,b=0時,圖象經(jīng)過第一、三象限；當(dāng)b＞O,b＜O時,圖象經(jīng)過第一、三、四象限；當(dāng)k﹤O,b＞0時,圖象經(jīng)過第一、二、四象限；當(dāng)k﹤O,b=0時,圖象經(jīng)過第二、四象限；當(dāng)b＜O,b＜O時,圖象經(jīng)過第二、三、四象限．〔2直線y=kx+b〔k≠0與直線y=kx<k≠0>的位置關(guān)系．直線y=kx+b<k≠0>平行于直線y=kx<k≠0>當(dāng)b＞0時,把直線y=kx向上平移b個單位,可得直線y=kx+b；當(dāng)b﹤O時,把直線y=kx向下平移|b|個單位,可得直線y=kx+b．〔3直線b1=k1x+b1與直線y2=k2x+b2〔k1≠0,k2≠0的位置關(guān)系．①k1≠k2y1與y2相交；②y1與y2相交于y軸上同一點〔0,b1或〔0,b2；③y1與y2平行；④y1與y2重合.例題精講：1.已知,如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),點A的坐標(biāo)為〔0,24,經(jīng)過原點的直線l1與經(jīng)過點A的直線l2相交于點B,點B坐標(biāo)為〔18,6．

〔1求直線l1,l2的表達式；

〔2點C為線段OB上一動點〔點C不與點O,B重合,作CD∥y軸交直線l2于點D,過點C,D分別向y軸作垂線,垂足分別為F,E,得到矩形CDEF．

①設(shè)點C的縱坐標(biāo)為a,求點D的坐標(biāo)〔用含a的代數(shù)式表示；

②若矩形CDEF的面積為108,求出點C的坐標(biāo)．解：〔1設(shè)直線l1的表達式為y=k1x∵點〔18,6在直線l1上∴6=18k1∴k1=∴y=x

設(shè)直線l2的表達式為y=k2x+b∵點A〔0,24,B〔18,6在l2上待定系數(shù)法可得直線l2的解析式為：y=-x+24

〔2①∵點C在直線l1上,且點C的縱坐標(biāo)為a∴x=3a,

∴點C的坐標(biāo)為〔3a,a∵CD∥y軸

∴點D的橫坐標(biāo)為3a∵點D在直線l2上,

∴y=-3a+24

∴D〔3a,-3a+24

②∵C〔3a,a,D〔3a,-3a+24

∴CF=3a,CD=-3a+24-a=-4a+24

∵矩形CDEF的面積為108

∴S矩形CDEF=CF?CD=3a×〔-4a+24=108,解得a=3

當(dāng)a=3時,3a=9

∴C點坐標(biāo)為〔9,32．如圖①所示,直線L：與軸負半軸、軸正半軸分別交于A、B兩點。〔1當(dāng)OA=OB時,試確定直線L的解析式；〔2在<1>的條件下,如圖②所示,設(shè)Q為AB延長線上一點,作直線OQ,過A、B兩點分別作AM⊥OQ于M,BN⊥OQ于N,若AM=4,BN=3,求MN的長。<3>當(dāng)取不同的值時,點B在軸正半軸上運動,分別以O(shè)B、AB為邊,點B為直角頂點在第一、二象限內(nèi)作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE,連EF交軸于P點,如圖③。問：當(dāng)點B在y軸正半軸上運動時,試猜想PB的長是否為定值,若是,請求出其值,若不是,說明理由。第2題圖第2題圖①第2題圖第2題圖②第2題圖第2題圖③考點：一次函數(shù)綜合題；直角三角形全等的判定．專題：代數(shù)幾何綜合題．分析：〔1是求直線解析式的運用,會把點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長度；

〔2由OA=OB得到啟發(fā),證明∴△AMO≌△ONB,用對應(yīng)線段相等求長度；

〔3通過兩次全等,尋找相等線段,并進行轉(zhuǎn)化,求PB的長．解答：解：〔1∵直線L：y=mx+5m,

∴A〔-5,0,B〔0,5m,

由OA=OB得5m=5,m=1,

∴直線解析式為：y=x+5．

〔2在△AMO和△OBN中OA=OB,∠OAM=∠BON,∠AMO=∠BNO,

∴△AMO≌△ONB．

∴AM=ON=4,

∴BN=OM=3．

〔3如圖,作EK⊥y軸于K點．

先證△ABO≌△BEK,

∴OA=BK,EK=OB．

再證△PBF≌△PKE,

∴PK=PB．

∴PB=BK=OA=．點評：本題重點考查了直角坐標(biāo)系里的全等關(guān)系,充分運用坐標(biāo)系里的垂直關(guān)系證明全等,本題也涉及一次函數(shù)圖象的實際應(yīng)用問題．3.如圖,直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點,直線與直線關(guān)于x軸對稱,已知直線的解析式為〔1求直線的解析式；〔3分〔2過A點在△ABC的外部作一條直線,過點B作BE⊥于E,過點C作CF⊥于F分別,請畫出圖形并求證：BE＋CF＝EF〔3△ABC沿y軸向下平移,AB邊交x軸于點P,過P點的直線與AC邊的延長線相交于點Q,與y軸相交與點M,且BP＝CQ,在△ABC平移的過程中,①OM為定值；②MC為定值。在這兩個結(jié)論中,有且只有一個是正確的,請找出正確的結(jié)論,并求出其值?！?分考點：軸對稱的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．分析：〔1根據(jù)題意先求直線l1與x軸、y軸的交點A、B的坐標(biāo),再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求直線l2的上點C的坐標(biāo),用待定系數(shù)法求直線l2的解析式；

〔2根據(jù)題意結(jié)合軸對稱的性質(zhì),先證明△BEA≌△AFC,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì),結(jié)合圖形證明BE+CF=EF；

〔3首先過Q點作QH⊥y軸于H,證明△QCH≌△PBO,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和△QHM≌△POM,從而得HM=OM,根據(jù)線段的和差進行計算OM的值．解答：解：〔1∵直線l1與x軸、y軸分別交于A、B兩點,

∴A〔-3,0,B〔0,3,

∵直線l2與直線l1關(guān)于x軸對稱,

∴C〔0,-3

∴直線l2的解析式為：y=-x-3；

〔2如圖1．

答：BE+CF=EF．

∵直線l2與直線l1關(guān)于x軸對稱,

∴AB=BC,∠EBA=∠FAC,

∵BE⊥l3,CF⊥l3∴∠BEA=∠AFC=90°

∴△BEA≌△AFC

∴BE=AF,EA=FC,

∴BE+CF=AF+EA=EF；

〔3①對,OM=3

過Q點作QH⊥y軸于H,直線l2與直線l1關(guān)于x軸對稱

∵∠POB=∠QHC=90°,BP=CQ,

又AB=AC,

∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ,

則△QCH≌△PBO〔AAS,

∴QH=PO=OB=CH

∴△QHM≌△POM

∴HM=OM

∴OM=BC-〔OB+CM=BC-〔CH+CM=BC-OM

∴OM=BC=3．4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A<a,0>,B<0,b>,且a、b滿足.<1>求直線AB的解析式；<2>若點M為直線y=mx上一點,且△ABM是以AB為底的等腰直角三角形,求m值；<3>過A點的直線交y軸于負半軸于P,N點的橫坐標(biāo)為-1,過N點的直線交AP于點M,試證明的值為定值．考點：一次函數(shù)綜合題；二次根式的性質(zhì)與化簡；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．分析：〔1求出a、b的值得到A、B的坐標(biāo),設(shè)直線AB的解析式y(tǒng)=kx+b,代入得到方程組,求出即可；

〔2當(dāng)BM⊥BA,且BM=BA時,過M作MN⊥Y軸于N,證△BMN≌△ABO〔AAS,求出M的坐標(biāo)即可；②當(dāng)AM⊥BA,且AM=BA時,過M作MN⊥X軸于N,同法求出M的坐標(biāo)；③當(dāng)AM⊥BM,且AM=BM時,過M作MN⊥X軸于N,MH⊥Y軸于H,證△BHM≌△AMN,求出M的坐標(biāo)即可．

〔3設(shè)NM與x軸的交點為H,分別過M、H作x軸的垂線垂足為G,HD交MP于D點,求出H、G的坐標(biāo),證△AMG≌△ADH,△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC,推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案．解答：解：〔1要使有意義,

必須〔a-22=0,=0,

∴a=2,b=4,

∴A〔2,0,B〔0,4,

設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,

代入得：0=2k+b,4=b,

解得：k=-2,b=4,

∴函數(shù)解析式為：y=-2x+4,

答：直線AB的解析式是y=-2x+4．

〔2如圖2,分三種情況：

①如圖〔1當(dāng)BM⊥BA,且BM=BA時,過M作MN⊥Y軸于N,

△BMN≌△ABO〔AAS,

MN=OB=4,BN=OA=2,

∴ON=2+4=6,

∴M的坐標(biāo)為〔4,6

,

代入y=mx得：m=,

②如圖〔2當(dāng)AM⊥BA,且AM=BA時,過M作MN⊥X軸于N,△BOA≌△ANM〔AAS,同理求出M的坐標(biāo)為〔6,2,m=,

③當(dāng)AM⊥BM,且AM=BM時,過M作MN⊥X軸于N,MH⊥Y軸于H,則△BHM≌△AMN,

∴MN=MH,

設(shè)M〔x,x代入y=mx得：x=mx,〔2

∴m=1,

答：m的值是或或1．

〔3解：如圖3,結(jié)論2是正確的且定值為2,

設(shè)NM與x軸的交點為H,分別過M、H作x軸的垂線垂足為G,HD交MP于D點,

由y=x-與x軸交于H點,

∴H〔1,0,

由y=x-與y=kx-2k交于M點,

∴M〔3,K,

而A〔2,0,

∴A為HG的中點,

∴△AMG≌△ADH〔ASA,

又因為N點的橫坐標(biāo)為-1,且在y=x-上,∴可得N

的縱坐標(biāo)為-K,同理P的縱坐標(biāo)為-2K,

∴ND平行于x軸且N、D的橫坐標(biāo)分別為-1、1

∴N與D關(guān)于y軸對稱,

∵△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC,∴PN=PD=AD=AM,

∴=2．點評：本題主要考查對一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,等腰直角三角形性質(zhì),用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式,全等三角形的性質(zhì)和判定,二次根式的性質(zhì)等知識點的理解和掌握,綜合運用這些性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．5.如圖,直線AB交X軸負半軸于B〔m,0,交Y軸負半軸于A〔0,m,OC⊥AB于C〔-2,-2。<1求m的值；<2直線AD交OC于D,交X軸于E,過B作BF⊥AD于F,若OD=OE,求的值；<3如圖,P為x軸上B點左側(cè)任一點,以AP為邊作等腰直角△APM,其中PA=PM,直線MB交y軸于Q,當(dāng)P在x軸上運動時,線段OQ長是否發(fā)生變化？若不變,求其值；若變化,說明理由。解答：〔1設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,將點〔m,0代入方程得k=-1,則方程可寫為y=-x+m再將點C<-2,2>代入方程得-2＝<-1>×<-2>+m,即m=-4〔2直線AD交OC于D,交X軸于E,過B作BF⊥AD于F,若OD=OE,求的值；〔3如圖,P為x軸上B點左側(cè)任一點,以AP為邊作等腰直角△APM,其中PA=PM,直線MB交y軸于Q,當(dāng)P在x軸上運動時,線段OQ長是否發(fā)生變化？若不變,求其值；若變化,說明理由。線段OQ的長度不變?nèi)鐖D,過P作x軸的垂線交AB的延長線為N,PM=PA,PB=PN,∠NPA=∠BPM,△NPA≌△BPM〔邊角邊,則有∠PMB=∠PAN=∠PAB,由題意可知∠OAB=∠ABO=45°,∠OAP+∠APO=∠OAB+∠PAB+∠APB=90°＝∠MPA,在△PMB中∠PMB+∠MBP+∠MPB=∠PMB+∠MBP+∠MPA+∠APB=180°∠PMB+∠MBP+∠APB=180°-∠MPA=90°∠MBP=90°-∠PMB-∠APB=90°-∠PAB-∠APB=90°-<90°-∠OAB>＝45°所以∠MBA=180°-∠ABO-∠MBP=180°-45°-45°=90°故直線MB與直線AB互相垂直,所以線段OQ值不變〔直線AB固定。向左轉(zhuǎn)|向右轉(zhuǎn)6.在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=ax+b的圖像過點B〔-1,,與x軸交于點A〔4,0,與y軸交于點C,與直線y=kx交于點P,且PO=PA求a+b的值；〔2求k的值；〔3D為PC上一點,DF⊥x軸于點F,交OP于點E,若DE=2EF,求D點坐標(biāo).考點：一次函數(shù)與二元一次方程〔組．專題：計算題；數(shù)形結(jié)合；待定系數(shù)法．分析：〔1根據(jù)題意知,一次函數(shù)y=ax+b的圖象過點B〔-1,和點A〔4,0,把A、B代入求值即可；

〔2設(shè)P〔x,y,根據(jù)PO=PA,列出方程,并與y=kx組成方程組,解方程組；

〔3設(shè)點D〔x,-x+2,因為點E在直線y=x上,所以E〔x,x,F〔x,0,再根據(jù)等量關(guān)系DE=2EF列方程求解．解答：解：〔1根據(jù)題意得：=-a+b0=4a+b

解方程組得：a=,b=2

∴a+b=-+2=,即a+b=；

〔2設(shè)P〔x,y,則點P即在一次函數(shù)y=ax+b上,又在直線y=kx上,

由〔1得：一次函數(shù)y=ax+b的解析式是y=-x+2,

又∵PO=PA,

∴x2+y2=<4-x>2+y2y=kxy=x+2,

解方程組得：x=2,y=1,k=∴k的值是；

〔3設(shè)點D〔x,-x+2,則E〔x,x,F〔x,0,

∵DE=2EF,

∴-x+2-x=2×x,

解得：x=1,

則-x+2=-×1+2=,∴D〔1,．點評：本題要求利用圖象求解各問題,要認真體會點的坐標(biāo),一次函數(shù)與一元一次方程組之間的內(nèi)在聯(lián)系．7.在直角坐標(biāo)系中,B、A分別在x,y軸上,B的坐標(biāo)為〔3,0,∠ABO=30°,AC平分∠OAB交x軸于C；<1>求C的坐標(biāo)<2若D為AB中點,∠EDF=60°,證明：CE+CF=OC<3>若D為AB上一點,以D作△DEC,使DC=DE,∠EDC=120°,連BE,試問∠EBC的度數(shù)是否發(fā)生變化；若不變,請求值。.在直角坐標(biāo)系中,B、A分別在x,y軸上,B的坐標(biāo)為〔3,0,∠ABO=30°,AC平分∠OAB交x軸于C；解：∵∠AOB=90°∠ABO=30°∴∠OAB=30°又∵AC是∠OAB的角平分線∴∠OAC=∠CAB=30°∵OB=3∴OA=OC=1即C<1,0>若D為AB中點,∠EDF=60°,證明：CE+CF=OC證明：取CB中點H,連CD,DH∵AO=CO=1∴AC=2又∵D,H分別是AB,CD中點∴DH=AB=2∵DB=AB=BC=2∠ABC=30°∴BC=2CD=2∠CDB=60°CD=1=DH∵∠EOF=∠EDC+∠CDF=60°∠CDB=∠CDF+∠FDH=60°∴∠EDC=∠FDH∵AC=BC=2∴CD⊥ABADC=90°∵∠CBA=30°∴∠ECD=60°∵HD=HB=1∴∠DHF=60°在△DCE和△DHF中∠EDC=∠FDH∠DCE=∠DHFDC=DH∴△DCE≌△DHF<AAS>∴CE=HF∴CH=CF+FH=CF+CE=1OC=1∴CH=OC∴OC=CE+CF若D為AB上一點,以D作△DEC,使DC=DE,∠EDC=120°,連BE,試問∠EBC的度數(shù)是否發(fā)生變化；若不變,請求值。解：不變∠EBC=60°設(shè)DB與CE交與點GDC=DE∠EDC=120°∴∠DEC=∠DCE=30°在△DGC和△DCB中∠CDG=∠BDC∠DCG=∠DBC=30∴△DGC∽△DCB∴=DC=DE∴=在EDG和BDE中=∠EDG=∠BDE∴△EDG∽△BDE∴∠DEG=∠DBE=30°∴∠EBD=∠DBE+∠DBC=60°8.如圖,直線AB交x軸正半軸于點A〔a,0,交y軸正半軸于點B〔0,b,且a、b滿足+|4－b|=0〔1求A、B兩點的坐標(biāo)；〔2D為OA的中點,連接BD,過點O作OE⊥BD于F,交AB于E,求證∠BDO=∠EDA；ABABOMPQxyABODEFyx〔3如圖,P為x軸上A點右側(cè)任意一點,以BP為邊作等腰Rt△PBM,其中PB=PM,直線MA交y軸于點Q,當(dāng)點P在x軸上運動時,線段OQ的長是否發(fā)生變化？若不變,求其值；若變化,求線段OQ的取值范圍.解答：解：①∵+|4-b|=0

∴a=4,b=4,

∴A〔4,0,B〔0,4；

〔2作∠AOB的角平分線,交BD于G,

∴∠BOG=∠OAE=45°,OB=OA,

∠OBG=∠AOE=90°-∠BOF,

∴△BOG≌△OAE,

∴OG=AE．

∵∠GOD=∠A=45°,OD=AD,

∴△GOD≌△EDA．

∴∠GDO=∠ADE．

〔3過M作MN⊥x軸,垂足為N．

∵∠BPM=90°,

∴∠BPO+∠MPN=90°．

∵∠AOB=∠MNP=90°,

∴∠BPO=∠PMN,∠PBO=∠MPN．

∵BP=MP,

∴△PBO≌△MPN,

MN=OP,PN=AO=BO,

OP=OA+AP=PN+AP=AN,

∴MN=AN,∠MAN=45°．

∵∠BAO=45°,

∴∠BAO+∠OAQ=90°

∴△BAQ是等腰直角三角形．

∴OB=OQ=4．

∴無論P點怎么動OQ的長不變．點評：〔1考查的是根式和絕對值的性質(zhì)．

〔2考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)．

〔3本題靈活考查的是全等三角形的判定與性質(zhì),還有特殊三角形的性質(zhì)．9.如圖,平面直角坐標(biāo)系中,點A、B分別在x、y軸上,點B的坐標(biāo)為<0,1>,∠BAO=30°．求AB的長度；〔2以AB為一邊作等邊△ABE,作OA的垂直平分線MN交AB的垂線AD于點D．求證：BD=OE．〔3在〔2的條件下,連結(jié)DE交AB于F．求證：F為DE的中點．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．專題：計算題；證明題．分析：〔1直接運用直角三角形30°角的性質(zhì)即可．

〔2連接OD,易證△ADO為等邊三角形,再證△ABD≌△AEO即可．

〔3作EH⊥AB于H,先證△ABO≌△AEH,得AO=EH,再證△AFD≌△EFH即可．解答：〔1解：∵在Rt△ABO中,∠BAO=30°,

∴AB=2BO=2；

〔2證明：連接OD,

∵△ABE為等邊三角形,

∴AB=AE,∠EAB=60°,

∵∠BAO=30°,作OA的垂直平分線MN交AB的垂線AD于點D,

∴∠DAO=60°．

∴∠EAO=∠NAB

又∵DO=DA,

∴△ADO為等邊三角形．

∴DA=AO．

在△ABD與△AEO中,

∵AB=AE,∠EAO=∠NAB,DA=AO∴△ABD≌△AEO．

∴BD=OE．

〔3證明：作EH⊥AB于H．

∵AE=BE,∴AH=AB,

∵BO=AB,∴AH=BO,

在Rt△AEH與Rt△BAO中,

AH=BO,AE=AB

∴Rt△AEH≌Rt△BAO,

∴EH=AO=AD．

又∵∠EHF=∠DAF=90°,

在△HFE與△AFD中,

∠EHF=∠DAF,∠EFH=∠DFA,EH=AD

∴△HFE≌△AFD,

∴EF=DF．

∴F為DE的中點．點評：本題主要考查全等三角形與等邊三角形的巧妙結(jié)合,來證明角相等和線段相等．10.如圖,直線y=x+1分別與坐標(biāo)軸交于A、B兩點,在y軸的負半軸上截取OC=OB.<1>求直線AC的解析式；<2>在x軸上取一點D〔-1,0,過點D做AB的垂線,垂足為E,交AC于點F,交y軸于點G,求F點的坐標(biāo)；<3過點B作AC的平行線BM,過點O作直線y=kx〔k＞0,分別交直線AC、BM于點H、I,試求的值。解：<1>∵直線y=x+1分別與坐標(biāo)軸交于A、B兩點∴ 可得點A坐標(biāo)為〔-3,0,點B坐標(biāo)為〔0,1∵OC=OB∴可得點C坐標(biāo)為〔0,-1設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b將A〔-3,0,C〔0,-1代入解析式-3k+b=0且b=-1可得k=-,b=-1∴直線AC的解析式為y=x-1<2>在x軸上取一點D〔-1,0,過點D做AB的垂線,垂足為E,交AC于點F,交y軸于點G,求F點的坐標(biāo)；解：∵GE⊥AB∴∴設(shè)直線GE的解析式為將點D坐標(biāo)〔-1,0代入,得∴∴直線GE的解析式為y=-3x-3聯(lián)立y=x-1與y=-3x-3,可求出,將其代入方程可得y=,∴F點的坐標(biāo)為〔,<3>過點B作AC的平行線BM,過點O作直線y=kx〔k＞0,分別交直線AC、BM于點H、I,試求的值。解：過點O作AC的平行線ON交AB于點N∵BM//AC∴∵OB=OC