zt9專題九-關(guān)于Gamma函數(shù)與Beta函數(shù)的關(guān)系及應(yīng)用

專題九關(guān)于函數(shù)與函數(shù)的關(guān)系及應(yīng)用問題1：歐拉函數(shù)是什么東西？如何定義的？答：歐拉函數(shù)是函數(shù)與函數(shù) 的統(tǒng)稱。其中若下面的含參變量廣義積分收斂，則分別稱為函數(shù)與函數(shù)。即：(1)(2)(1)式稱為伽馬函數(shù)，（2）式稱為貝塔函數(shù)，二者統(tǒng)稱為歐拉函數(shù)，函數(shù)與函數(shù)實質(zhì)上是含參變量廣義積分表示的兩個特殊函數(shù)．問題2：函數(shù)與函數(shù)的定義域是什么？答：（一）、函數(shù)的定義域：的定義域為.事實上，（1）當(dāng)時，不是被積函數(shù)的瑕點，因此取都有，由柯西判別法知（1）的積分是收斂． （2）當(dāng)時，是被積函數(shù)的瑕點，此時，有==其中對任何s都是收斂的，又，所以與在點是等價的，當(dāng)時，是收斂，當(dāng)時，是發(fā)散．所以當(dāng)時是收斂的． 綜上可知的定義域為.（二）、函數(shù)的定義域：。事實上，==而，在各自的區(qū)間內(nèi)只有一個瑕點。又∴在，與等價，∴當(dāng)時，收斂，所以時，在收斂．同理時，在時收斂．綜上可知當(dāng)且時收斂，所以的定義域為且。問題3：函數(shù)有些什么性質(zhì)？答：函數(shù)具有如下性質(zhì)：（1）函數(shù)的連續(xù)性在（0，+）上連續(xù)，由=,只證與在（0，+）內(nèi)連續(xù)即可．在任意閉區(qū)間()上對于函數(shù)當(dāng)有由于收斂由附錄中的定理5，知)在上一致收斂，對于當(dāng)時有在上連續(xù)，所以在連續(xù)，所以在上一致收斂，所以在（0，+）上內(nèi)閉一致收斂，由附錄中的定理2，知在（0，+）上連續(xù)．（2）函數(shù)的的可微性 首先考慮積分在任何閉區(qū)間()上一致收斂．考慮積分=+．當(dāng) ()而積分收斂,故積分當(dāng)時一致收斂．同樣，當(dāng)時，()故當(dāng)時一致收斂．因此積分當(dāng)時一致收斂．由此可知在上具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)且可在積分下求導(dǎo)= (3)由的任意性,可知在上連續(xù)且（3）式對一切皆成立.類似的數(shù)學(xué)歸納法可知，對任何正整數(shù)在上都存在且可在積分號下求導(dǎo)數(shù)，得=()．(3)遞推公式由此可知,任意,如果(其中是非負整數(shù))即有(4)特別地當(dāng)為正整數(shù)時可寫成=.(4)極值與凸性因為對一切，=>0，>0因此的圖形位于軸上方且凸的． 又因為=1，=1，所以，。因此在上有唯一的一個極小值點落在之間．問題4：函數(shù)還有其它的形式嗎？答：函數(shù)的其他形式：在（1）式中，令，則有（，）(6)在（1）式中，令，則有=。問題5：函數(shù)有些什么性質(zhì)？答：函數(shù)具有如下性質(zhì)：（1）函數(shù)的連續(xù)性事實上，對任何，有≦，而收斂，所以由附錄中的定理5，在，上一致連續(xù)，故而在×內(nèi)連續(xù)．（2）函數(shù)的可微性在×內(nèi)可微且存在任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)．考慮積分當(dāng)，時，恒有，（）而收斂，故積分當(dāng)，時一致收斂．因此當(dāng)，時可在積分下求導(dǎo)，得并且是，上的連續(xù)函數(shù)．同理是域上的二元函數(shù)，且當(dāng)可在積分下求導(dǎo)得。完全類似地用數(shù)學(xué)歸納法可證在域上存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且=。（3）函數(shù)的對稱性（4）遞推公式=（）（）（當(dāng)時）由對稱性可證特別對正整數(shù)，。問題6：函數(shù)還有其它的形式嗎？答：函數(shù)的其他形式：（令）（）進而將此積分拆成，兩段積分，后者作變換，仍把寫成，則有。問題7：函數(shù)與函數(shù)有怎樣的關(guān)系？答：函數(shù)與函數(shù)有下面的關(guān)系：（1）事實上，當(dāng)時，由（6）有，，從而，故有，。（2）（余元公式）（3）（倍元公式）﹙﹚問題8：能否舉一些函數(shù)與函數(shù)應(yīng)用的例子？答：下面是幾個關(guān)于函數(shù)與函數(shù)應(yīng)用的例子：（1）用余元公式計算的值：解：。（2）求﹙＜＜﹚。解：由公式，令，則，，令，則，令，（3）函數(shù)在積分不等式中的應(yīng)用：例1已知，正整數(shù)，證明：.證明：.例2求.解：令，則由于對一切自然數(shù)，有＜，又，故，即，而，由夾逼原則，可知，所以.思考題：一、你能否用復(fù)變函數(shù)的知識證明余元公式？二、你能否證明倍元公式嗎？三、你能否再舉一些Euler公式的應(yīng)用？思考題的一些提示：一、余元公式的證明。證：令，則.下面用復(fù)變函數(shù)有關(guān)知識給出證明構(gòu)造函數(shù)為輔助函數(shù)，為其奇點，且該函數(shù)又以（可去奇點）奇點取正實軸為支割線如圖。由殘數(shù)定理又（*）而上式左邊有（1）=∴.（2）∵，∴.（3）：（4），∴由（*）式得由復(fù)數(shù)相加的性質(zhì)得：∴二、倍元公式的證明。證明：﹙＞﹚，∴（令一式中，=2\*CHINESENUM3二式中）附錄：定理1（柯西判別法1）設(shè)是在任何有限區(qū)間上可積的正值函數(shù)，且．(1)若，，則收斂．（2）若,，則發(fā)散．定理2設(shè)為[a，b]×[c，+]上的連續(xù)函數(shù)，若含參變量非正常積分I（X）=在[a，b]上一致收斂，則I（x）在[a，b]上連續(xù)．定理3設(shè)f和均為[a，b]×[c，+]上連續(xù)函數(shù)，若I（x）=在[a，b]上收斂，y在[a，b]上一致收斂，則I（x）在[a，b]上可微，且（x）=．定理4設(shè)f（x，y）在[a，+]×[c,+]上連續(xù)，若 (1)關(guān)于y在任何閉區(qū)間[c,d]上一致收斂，關(guān)于x在任何閉區(qū)間[a,b]上一致連續(xù)． （2）設(shè)|f(x,y)|dy與|f(x,y)|dx中有一個收斂，則=．定理5設(shè)有函數(shù)g(x)使得|f(x,y)|g(x),axb,c＜y＜+，若收斂，則在[a,b]上一致收斂．參考文獻：[1]裴禮文數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法高等教育出版社