第八章-歐氏空間

第八章歐式空間基礎(chǔ)訓(xùn)練題(1);(2),＝、[提示:根據(jù)向量?jī)?nèi)積得定義及向量模得定義易證、]2、在歐氏空間R4中,求一個(gè)單位向量與1＝(1,1,0,0),2＝(1,1,－1,－1),3＝(1,－1,1,－1)都正交、解:=、3、設(shè)a1,a2,…,an就是n個(gè)實(shí)數(shù),證明:、證明:令=(1,1,,1),=(|a1|,|a2|,|an|)||·||=、4、試證,歐氏空間中兩個(gè)向量,正交得充分必要條件就是:對(duì)任意得實(shí)數(shù)t,都有|＋t|||、證明:所以|＋t|||、=0當(dāng)≠0時(shí),取t0=,5、在歐氏空間R4中,求基{1,2,3,4}得度量矩陣,其中1＝(1,1,1,1),2＝(1,1,1,0),3＝(1,1,0,0),4＝(1,0,0,0)、解:度量矩陣為、6、在歐氏空間R3中,已知基1＝(1,1,1),2＝(1,1,0),3＝(1,0,0)得度量矩陣為B＝求基1＝(1,0,0),2＝(0,1,0),3＝(0,0,1)得度量矩陣、解:度量矩陣為、7、證明1＝,2＝3＝,4＝就是歐氏空間R4得一個(gè)規(guī)范正交基、[提示:令u=(1,2,3,4),計(jì)算uuT即可、]8、設(shè){1,2,3}就是歐氏空間V得一個(gè)基,1＝1＋2,且基{1,2,3}得度量矩陣就是A＝、(1)證明1就是一個(gè)單位向量;(2)求k,使1與1＝1＋2＋k3正交、證明:(1)111222111112221(2)k=、9、證明,如果{1,2,…,n}就是歐氏空間V得一個(gè)規(guī)范正交基,n階實(shí)方陣A＝(aij)就是正交矩陣,令(1,2,…,n)＝(1,2,…,n)A,那么{1,2,…,n}就是V得規(guī)范正交基、證明:i,j10、設(shè)A就是n階正交矩陣,證明:(1)若detA＝1,則－1就是得一個(gè)特征根;(2)若n就是奇數(shù),且detA＝1,則1就是A得一個(gè)特征根、證明:(1)det(－I－A)=det(－AAT－A)=detA·det(－AT－A)=detA·det(－I－A)=－det(－I－A)所以det(－I－A)=0,即－1就是得一個(gè)特征根、(2)=det(AAT－A)=detA·det(AT－A)=detA·(1)n·det(I－A)=－det(I－A)所以det(I－A)=0,即1就是A得一個(gè)特征根、10、證明,n維歐氏空間V得兩個(gè)正交變換得乘積就是一個(gè)正交變換;一個(gè)正交變換得逆變換還就是一個(gè)正交變換、[提示:根據(jù)正交矩陣得乘積就是正交矩陣,正交矩陣得逆矩陣就是正交矩陣,結(jié)論易證、]11、證明,兩個(gè)對(duì)稱變換得與還就是對(duì)稱變換、兩個(gè)對(duì)稱變換得乘積就是不就是對(duì)稱變換？找出兩個(gè)對(duì)稱變換得乘積就是對(duì)稱變換得一個(gè)充要條件、證明:兩個(gè)對(duì)稱變換得與還就是對(duì)稱變換易證、兩個(gè)對(duì)稱變換得乘積不一定就是、例如:令12就是R2得一個(gè)規(guī)范正交基,分別取R2得兩個(gè)對(duì)稱線性變換,使得＝(12),＝(12),可以驗(yàn)證不就是對(duì)稱變換、兩個(gè)對(duì)稱變換得乘積就是對(duì)稱變換得一個(gè)充要條件就是它們可換、12、設(shè)就是n維歐氏空間V得一個(gè)線性變換,證明,如果滿足下列三個(gè)條件中得任意兩個(gè),那么它必然滿足第三個(gè):(1)就是正交變換;(2)就是變換;(3)2＝(就是恒等變換)、[提示:根據(jù)就是正交變換當(dāng)且僅當(dāng)在一個(gè)規(guī)范正交基下得矩陣就是正交矩陣,就是對(duì)稱變換當(dāng)且僅當(dāng)在一個(gè)規(guī)范正交基下得矩陣就是對(duì)稱矩陣,結(jié)論易證、]13、設(shè)就是n維歐氏空間V得線性變換,若對(duì)于任意,V,有(),＝－,(),則說就是斜對(duì)稱得、證明(1)斜對(duì)稱變換關(guān)于V得任意規(guī)范正交基得矩陣都就是斜對(duì)稱實(shí)矩陣;(2)若線性變換關(guān)于V得某一規(guī)范正交基得矩陣就是斜對(duì)稱得,則就是斜對(duì)稱線性變換、[提示:證明過程與第八章第三節(jié)定理8、3、2(p、349)得證明過程完全類似、]14、設(shè)就是歐氏空間V到V得一個(gè)同構(gòu)映射,證明,如果{1,2,…,n}就是V得一個(gè)規(guī)范正交基,則{(1),(2),…,(n)}就是V得一個(gè)規(guī)范正交基、證明:由(p、253)定理5、5、3可知,{(1),(2),…,(n)}就是V得一個(gè)基、由歐氏空間同構(gòu)映射得定義可知,(i),(j)i,j15、設(shè)就是n維歐氏空間V得一個(gè)正交變換、證明,如果V得一個(gè)子空間W在之下不變,那么W得正交補(bǔ)也在之下不變、證明:因?yàn)檎蛔儞Q就是可逆線性變換,由(p、331)習(xí)題七得第13題得結(jié)論得:V=、因?yàn)?且就是正交變換,所以、由已知條件知,,且可逆,因而從而,即、規(guī)范1＝1＋3,2＝21－2＋4、(1)求W得一個(gè)規(guī)范正交基;(2)求W得一個(gè)規(guī)范正交基、解:取3=2,4=3,將3,4先正交化,然后規(guī)范化后得一個(gè)規(guī)范正交基:＝＝＝＝則{{W與W得一個(gè)規(guī)范正交基、17、求齊次線性方程組、得解空間W得一個(gè)規(guī)范正交基,并求W、解:經(jīng)計(jì)算,得空間W得一個(gè)基礎(chǔ)解系為1=,2=將1,2擴(kuò)充為R4得一個(gè)基1,2,3=,4=將1,2,、3,4規(guī)范正交化后得W得一個(gè)規(guī)范正交基1=,2=,3=,4=那么{{W與W得一個(gè)規(guī)范正交基且W=￡(18、已知R4得子空間W得一個(gè)基1＝(1,－1,1,－1),2＝(0,1,1,0)求向量＝(1,－3,1,－3)在W上得內(nèi)射影、解:易求得W得一個(gè)基3=(1,0,0,1),4=(－2,－1