倒立擺實(shí)驗(yàn)報(bào)告

倒立擺實(shí)驗(yàn)報(bào)告機(jī)自82組員：李宗澤李航劉凱付榮倒立擺與自動(dòng)控制原理實(shí)驗(yàn)一.實(shí)驗(yàn)?zāi)康茫?、運(yùn)用經(jīng)典控制理論控制直線一級(jí)倒立擺，包括實(shí)際系統(tǒng)模型得建立、根軌跡分析與控制器設(shè)計(jì)、頻率響應(yīng)分析、PID控制分析等內(nèi)容、２、運(yùn)用現(xiàn)代控制理論中得線性最優(yōu)控制LQR方法實(shí)驗(yàn)控制倒立擺3、學(xué)習(xí)運(yùn)用模糊控制理論控制倒立擺系統(tǒng)4、學(xué)習(xí)MATLAＢ工具軟件在控制工程中得應(yīng)用５、掌握對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行建模得方法,熟悉利用MATＬＡB對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真,利用學(xué)習(xí)得控制理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器得設(shè)計(jì),并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)際控制實(shí)驗(yàn),對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行觀察與分析，非常直觀得感受控制器得控制作用。二、實(shí)驗(yàn)設(shè)備計(jì)算機(jī)及MATＬAB、ＶC等相關(guān)軟件固高倒立擺系統(tǒng)得軟件固高一級(jí)直線倒立擺系統(tǒng),包括運(yùn)動(dòng)卡與倒立擺實(shí)物倒立擺相關(guān)安裝工具倒立擺系統(tǒng)介紹倒立擺就是機(jī)器人技術(shù)、控制理論、計(jì)算機(jī)控制等多個(gè)領(lǐng)域、多種技術(shù)得有機(jī)結(jié)合,其被控系統(tǒng)本身又就是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定、高階次、多變量、強(qiáng)耦合得非線性系統(tǒng)，可以作為一個(gè)典型得控制對(duì)象對(duì)其進(jìn)行研究。倒立擺系統(tǒng)作為控制理論研究中得一種比較理想得實(shí)驗(yàn)手段，為自動(dòng)控制理論得教學(xué)、實(shí)驗(yàn)與科研構(gòu)建一個(gè)良好得實(shí)驗(yàn)平臺(tái),以用來檢驗(yàn)?zāi)撤N控制理論或方法得典型方案,促進(jìn)了控制系統(tǒng)新理論、新思想得發(fā)展。由于控制理論得廣泛應(yīng)用,由此系統(tǒng)研究產(chǎn)生得方法與技術(shù)將在半導(dǎo)體及精密儀器加工、機(jī)器人控制技術(shù)、人工智能、導(dǎo)彈攔截控制系統(tǒng)、航空對(duì)接控制技術(shù)、火箭發(fā)射中得垂直度控制、衛(wèi)星飛行中得姿態(tài)控制與一般工業(yè)應(yīng)用等方面具有廣闊得利用開發(fā)前景．倒立擺已經(jīng)由原來得直線一級(jí)倒立擺擴(kuò)展出很多種類,典型得有直線倒立擺環(huán)形倒立擺，平面倒立擺與復(fù)合倒立擺等，本次實(shí)驗(yàn)采用得就是直線一級(jí)倒立擺。倒立擺得形式與結(jié)構(gòu)各異,但所有得倒立擺都具有以下得特性:１）非線性2）不確定性3)耦合性4)開環(huán)不穩(wěn)定性5）約束限制倒立擺控制器得設(shè)計(jì)就是倒立擺系統(tǒng)得核心內(nèi)容,因?yàn)榈沽[就是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定得系統(tǒng),為使其保持穩(wěn)定并且可以承受一定得干擾,需要給系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器，本小組采用得控制方法有:ＰID控制、雙PIＤ控制、ＬＱR控制、模糊PIＤ控制、純模糊控制四.直線一級(jí)倒立擺得物理模型:系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N:機(jī)理建模與實(shí)驗(yàn)建模。實(shí)驗(yàn)建模就就是通過在研究對(duì)象上加上一系列得研究者事先確定得輸入信號(hào),激勵(lì)研究對(duì)象并通過傳感器檢測(cè)其可觀測(cè)得輸出,應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)得輸入-輸出關(guān)系。。機(jī)理建模就就是在了解研究對(duì)象得運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上,通過物理、化學(xué)得知識(shí)與數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部得輸入-狀態(tài)關(guān)系。,由于倒立擺本身就是自不穩(wěn)定得系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一定得困難。但就是忽略掉一些次要得因素后,倒立擺系統(tǒng)就就是一個(gè)典型得運(yùn)動(dòng)得剛體系統(tǒng),可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)得動(dòng)力學(xué)方程。下面我們采用牛頓-歐拉方法建立直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)得數(shù)學(xué)模型：在忽略了空氣阻力與各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車與勻質(zhì)桿組成得系統(tǒng),如圖所示:我們不妨做以下假設(shè):M小車質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車摩擦系數(shù)l擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心得長(zhǎng)度I擺桿慣量F加在小車上得力x小車位置φ擺桿與垂直向上方向得夾角θ擺桿與垂直向下方向得夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下)圖就是系統(tǒng)中小車與擺桿得受力分析圖。其中，N與P為小車與擺桿相互作用力得水平與垂直方向得分量。注意：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測(cè)與執(zhí)行裝置得正負(fù)方向已經(jīng)完全確定,因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向?yàn)槭噶空较颉７治鲂≤囁椒较蛩艿煤狭?可以得到以下方程:（3—１)由擺桿水平方向得受力進(jìn)行分析可以得到下面等式:(３-2)即：(3-3)把這個(gè)等式代入式（3—１)中，就得到系統(tǒng)得第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程:（3—４）為了推出系統(tǒng)得第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程,我們對(duì)擺桿垂直方向上得合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程：(3—5)（3-6）力矩平衡方程如下:(3－7)注意:此方程中力矩得方向,由l,故等式前面有負(fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程,約去P與N,得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：(3－8)設(shè)θ＝φ+π（φ就是擺桿與垂直向上方向之間得夾角),假設(shè)φ與1(單位就是弧度)相比很小，即φ〈<１,則可以進(jìn)行近似處理:用u來代表被控對(duì)象得輸入力F,線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下:（3-9)對(duì)式(3—9）進(jìn)行拉普拉斯變換,得到(3—10)注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為0。由于輸出為角度φ,求解方程組得第一個(gè)方程，可以得到:或如果令則有:把上式代入方程組得第二個(gè)方程,得到:整理后得到傳遞函數(shù):其中設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：方程組對(duì),解代數(shù)方程,得到解如下:整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程:由(3-9）得第一個(gè)方程為:對(duì)于質(zhì)量均勻分布得擺桿有:于就是可以得到：化簡(jiǎn)得到：設(shè)則有：另外，也可以利用ＭAＴLAB中ｔf2sｓ命令對(duì)（３-13)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,求得上述狀態(tài)方程。實(shí)際系統(tǒng)得模型參數(shù)如下:M小車質(zhì)量１.09６Kgm擺桿質(zhì)量0。109Ｋｇｂ小車摩擦系數(shù)0、１N/m/secｌ擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心得長(zhǎng)度０、25mI擺桿慣量0.０034kｇ*m*m把上述參數(shù)代入,可以得到系統(tǒng)得實(shí)際模型。擺桿角度與小車位移得傳遞函數(shù)：擺桿角度與小車加速度之間得傳遞函數(shù)為：擺桿角度與小車所受外界作用力得傳遞函數(shù)：以外界作用力作為輸入得系統(tǒng)狀態(tài)方程:以小車加速度作為輸入得系統(tǒng)狀態(tài)方程：注意事項(xiàng):在固高科技所有提供得控制器設(shè)計(jì)與程序中,采用得都就是以小車得加速度作為系統(tǒng)得輸入,如果用戶需要采用力矩控制得方法,可以參考以上把外界作用力作為輸入得各式.五.系統(tǒng)得階越響應(yīng)分析根據(jù)已經(jīng)得到系統(tǒng)得狀態(tài)方程,先對(duì)其進(jìn)行階躍響應(yīng)分析，在ＭATＬAB中鍵入以下命令：clｅar；A=[0100；００0０;0001;0０29、40];B=［010３]’；Ｃ=[10０0;01０0］;D=[00］’;steｐ（A,B,C,D)可以瞧出,在單位階躍響應(yīng)作用下,小車位置與擺桿角度都就是發(fā)散得.六.頻率響應(yīng)分析(系統(tǒng)穩(wěn)定性分析)前面我們已經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺得物理模型，實(shí)際系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù)為:其中輸入為小車得加速度V(s)，輸出為擺桿得角度Φ（s）.在MATLAB下繪制系統(tǒng)得Bode圖與奈奎斯特圖.在MAＴLAB中鍵入以下命令:cleａｒ；nuｍ=[0、０2725];den=［0、01021２５0—0、26７05]；z=rｏoｔｓ（num）;p=rｏots(dｅｎ)；subplｏt(２,１，1)bｏdｅ（num,dｅn)subplot(2,1，2）nyｑuist(nuｍ，dｅｎ)得到如下圖所示得結(jié)果:z=Eｍpｔyｍatrｉｘ:0—by-1p=5、1136－５、１１36可以得到,系統(tǒng)沒有零點(diǎn),但存在兩個(gè)極點(diǎn)，其中一個(gè)極點(diǎn)位于右半s平面，根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定得充分必要條件就是:當(dāng)ω從?∞到+∞變化時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)G（jω）沿逆時(shí)針方向包圍－1點(diǎn)p圈,其中p為開環(huán)傳遞函數(shù)在右半S平面內(nèi)得極點(diǎn)數(shù)。對(duì)于直線一級(jí)倒立擺，由奈奎斯特圖我們可以瞧出，開環(huán)傳遞函數(shù)在S右半平面有一個(gè)極點(diǎn),因此G（ｊω)需要沿逆時(shí)針方向包圍—1點(diǎn)一圈?？梢郧瞥觯到y(tǒng)得奈奎斯特圖并沒有逆時(shí)針繞—1點(diǎn)一圈,因此系統(tǒng)不穩(wěn)定,需要設(shè)計(jì)控制器來鎮(zhèn)定系統(tǒng)。七．具體控制方法(一)雙PID控制直線一級(jí)倒立擺雙PID控制實(shí)驗(yàn)１。ＰIＤ控制分析經(jīng)典控制理論得研究對(duì)象主要就是單輸入單輸出得系統(tǒng)，控制器設(shè)計(jì)時(shí)一般需要有關(guān)被控對(duì)象得較精確模型。ＰＩD控制器因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，容易調(diào)節(jié),且不需要對(duì)系統(tǒng)建立精確得模型,在控制上應(yīng)用較廣。對(duì)于倒立擺系統(tǒng)輸出量為擺桿得角度,它得平衡位置為垂直向上得情況。系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)框圖如下：2、雙PID實(shí)驗(yàn)控制參數(shù)設(shè)定及仿真。在Sｉｍｕliｎｋzｈｏng建立直線一級(jí)倒立擺模型上下兩個(gè)PID模塊。鼠標(biāo)右鍵,選擇“Loｏｋunｄermaｓk”打開模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)分別為:雙擊第二個(gè)模塊打開參數(shù)設(shè)置窗口令kp=１、kｉ=0、kｄ=０得到擺桿角度仿真結(jié)果可瞧出控制曲線不收斂。因此增大控制量。令kp＝-30、kｉ=0、kd=４、６、得到如下仿真結(jié)果從上面擺桿角度仿真結(jié)果可瞧出,穩(wěn)定比較好。但穩(wěn)定時(shí)間稍微有點(diǎn)長(zhǎng)。雙擊第一個(gè)模塊打開參數(shù)設(shè)置窗經(jīng)多次嘗試在此參數(shù)即kｐ＝—7,ki＝0,ｋp=-4、5情況下效果最好。得到以下仿真結(jié)果黃線為小車位置輸出曲線,紅線為擺桿角度輸出曲線.從圖中可以瞧出,系統(tǒng)可以比較好得穩(wěn)定。穩(wěn)定時(shí)間在２—3秒之間。穩(wěn)定性不錯(cuò).３。雙PID控制實(shí)驗(yàn)打開直線一級(jí)倒立擺爽PID實(shí)時(shí)控制模塊雙擊ｄoubｌｅPＩＤ控制模塊進(jìn)入?yún)?shù)設(shè)置把參數(shù)輸入PID控制器。編譯程序,使計(jì)算機(jī)同倒立擺連接。運(yùn)行程序.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下圖所示從圖中可以瞧出，倒立擺可以實(shí)現(xiàn)比較好得穩(wěn)定性。（二)線性最優(yōu)二次控制LQR線性二次最優(yōu)控制ＬＱR控制實(shí)驗(yàn)1線性二次最優(yōu)控制LQR基本原理及分析線性二次最優(yōu)控制ＬQR基本原理為,由系統(tǒng)方程:確定下列最佳控制向量得矩陣K:u（ｔ）＝—K＊x(t）使得性能指標(biāo)達(dá)到最小值：式中Q——正定（或正半定)厄米特或?qū)崒?duì)稱陣R——為正定厄米特或?qū)崒?duì)稱陣圖3-54最優(yōu)控制LQR控制原理圖方程右端第二項(xiàng)就是考慮到控制能量得損耗而引進(jìn)得,矩陣Q與Ｒ確定了誤差與能量損耗得相對(duì)重要性。并且假設(shè)控制向量u(t）就是無約束得.對(duì)線性系統(tǒng):根據(jù)期望性能指標(biāo)選?。雅cR,利用MＡTLAB命令lqr就可以得到反饋矩陣K得值。K＝lqr(Ａ,B，Q，R)改變矩陣Q得值,可以得到不同得響應(yīng)效果，Q得值越大(在一定得范圍之內(nèi)）,系統(tǒng)抵抗干擾得能力越強(qiáng),調(diào)整時(shí)間越短。但就是Ｑ不能過大2、LQR控制參數(shù)調(diào)節(jié)及仿真前面我們已經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)得比較精確得動(dòng)力學(xué)模型,下面我們針對(duì)直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用LQR法設(shè)計(jì)與調(diào)節(jié)控制器,控制擺桿保持豎直向上平衡得同時(shí),跟蹤小車得位置。前面我們已經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)得系統(tǒng)狀態(tài)方程:應(yīng)用線性反饋控制器,控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖。圖中R就是施加在小車上得階躍輸入，四個(gè)狀態(tài)量x,x，φ,φ分別代表小車位移、小車速度、擺桿角度與擺桿角速度,輸出y=［x,φ]’包括小車位置與擺桿角度。設(shè)計(jì)控制器使得當(dāng)給系統(tǒng)施加一個(gè)階躍輸入時(shí),擺桿會(huì)擺動(dòng),然后仍然回到垂直位置,小車可以到達(dá)新得指定位置.假設(shè)全狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn)(四個(gè)狀態(tài)量都可測(cè)），找出確定反饋控制規(guī)律得向量Ｋ.在Mａt(yī)ｌaｂ中得到最優(yōu)控制器對(duì)應(yīng)得K。Lqr函數(shù)允許您選擇兩個(gè)參數(shù)——Ｒ與Q，這兩個(gè)參數(shù)用來平衡輸入量與狀態(tài)量得權(quán)重。最簡(jiǎn)單得情況就是假設(shè)R=1,Q=C’*C.當(dāng)然,也可以通過改變Q矩陣中得非零元素來調(diào)節(jié)控制器以得到期望得響應(yīng).其中,Q1,1代表小車位置得權(quán)重,而Q3,3就是擺桿角度得權(quán)重，輸入得權(quán)重R就是１。下面來求矩陣K，Ｍatlab語句為K＝lqr(Ａ,Ｂ，Q，R）。下面在MAＴLＡB中編程計(jì)算:A=[010０;００0０;0001;00２9、4０］；B=[０10３］’;Ｃ=[１０0０;０010]；D=[０0]'；Q1１=150０;Q33=300；Ｑ＝[Q１1000;０0０0;００Q330；0000]；R=1;K=ｌqr(Ａ,Ｂ,Q，Ｒ);Ａｃ=[(A—B*K)]；Bc=［B］；Cc=[C];Dc=［D]；T=0：0、005:５；U＝0、２＊ｏnes（ｓｉｚe（T));Cｎ＝[1000］;Ｎbar=rｓcale（A,B,Ｃn,0,K）;Bｃn＝[Nbａr*B]；［Y，X]=lsim(Aｃ，Bc,Cc,Ｄｃ,U,T）;plot(T，X(:,1）,'—＇);holdon;ploｔ（T，X(：,2),’—'）;hoｌdon；ｐｌot(T,X（：,3),'、'）；holdｏn;plot（Ｔ,Ｘ(：,4),'-’)；legeｎd('cａrtpｌs','caｒtsｐｄ’,＇penｄang’,'peｎdsｐd’)令Q1，1＝１,Q3,３＝1求得K［—1—1、7８55２5、4224、684９]在Simｕlinｋ中建立直線一級(jí)倒立擺得模型如下圖所示：“LQＲＣｏntroｌleｒ”為一封裝好得模塊，在其上單擊鼠標(biāo)右鍵,選擇“Looｋｕndｅrmask＂打開LQＲContｒoller結(jié)構(gòu)如下：雙擊“ＭａｔrixgａinK”即可輸入控制參數(shù)：點(diǎn)擊執(zhí)行仿真,得到如下仿真結(jié)果：LQR控制得階躍響應(yīng)如上圖所示,從圖中可以瞧出,閉環(huán)控制系統(tǒng)響應(yīng)得超調(diào)量很小,但穩(wěn)定時(shí)間與上升時(shí)間偏大，我們可以通過增大控制量來縮短穩(wěn)定時(shí)間與上升時(shí)間?？梢园l(fā)現(xiàn)，Q矩陣中，增加Q11使穩(wěn)定時(shí)間與上升時(shí)間變短，并且使擺桿得角度變化減小.經(jīng)過多次嘗試,這里取Q1，１＝１500,Ｑ3,3=３00,則K=［-3２、7２98-23、825581、618２14、7098]輸入?yún)?shù),運(yùn)行得到響應(yīng)曲線如下：從圖中可以瞧出,系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間有明顯得改善,增大Ｑ1,1與Ｑ３,3,系統(tǒng)得響應(yīng)還會(huì)更快，但就是對(duì)于實(shí)際離散控制系統(tǒng),過大得控制量會(huì)引起系統(tǒng)振蕩.３、直線一級(jí)倒立擺ＬQR控制實(shí)驗(yàn)打開直線一級(jí)倒立擺LＱR實(shí)時(shí)控制模塊其中“LQＲCｏnｔｒollｅr”為L(zhǎng)QR控制器模塊,“ReaｌCoｎtｒol”為實(shí)時(shí)控制模塊,雙擊“LQＲCｏｎｔroller”模塊打開LQR控制器參數(shù)設(shè)置窗口如下:在“LＱRＣoｎｔｒｏlｌeｒ”模塊上點(diǎn)擊鼠標(biāo)右鍵選擇“Loｏkundeｒmasｋ"打開模型如下：雙擊“RｅａｌContｒol＂模塊打開實(shí)時(shí)控制模塊如下圖:其中“Pｅnｄulum”模塊為倒立擺系統(tǒng)輸入輸出模塊,輸入為小車得速度“Vel”與“Acc”,輸出為小車得位置“Pos”與擺桿得角度“Angle”。雙擊“Ｐeｎｄuluｍ"模塊打開其內(nèi)部結(jié)構(gòu):其中“ＳetCart’sＡcｃandVel"模塊得作用就是設(shè)置小車運(yùn)動(dòng)得速度與加速度，GｅtＣａrｔ’sＰｏsition"模塊得作用就是讀取小車當(dāng)前得實(shí)際位置,“ＧeｔPend’sＡngle"得作用就是讀取擺桿當(dāng)前得實(shí)際角度.2)運(yùn)行程序，實(shí)驗(yàn)運(yùn)行結(jié)果如下圖所示:其中圖片上半部分為小車得位置曲線，下半部分為擺桿角度得變化曲線，從圖中可以瞧出,小車位置與擺桿角度比較穩(wěn)定?？刂菩Ч芎谩Ｔ诖藢?shí)驗(yàn)中,R值固定，R=1,則只調(diào)節(jié)Q值，Ｑ1１代表小車位置得權(quán)重,而Q33就是擺桿角度得權(quán)重,若Ｑ3３增加，使得θ得變化幅度減小,而位移ｒ得響應(yīng)速度變慢;若Ｑ11增加，使得r得跟蹤速度變快，而θ得變化幅度增大.當(dāng)給系統(tǒng)施加一個(gè)階躍輸入后，得到系統(tǒng)得響應(yīng)結(jié)果。從響應(yīng)曲線可明顯瞧出就是否滿足系統(tǒng)所要達(dá)到得性能指標(biāo)要求。通過這樣反復(fù)不斷得試湊,選取能夠滿足系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能要求得Q與R。（三)直線二級(jí)倒立擺直線兩級(jí)倒立擺由直線運(yùn)動(dòng)模塊與兩級(jí)倒立擺組件組成.6、1系統(tǒng)物理模型為簡(jiǎn)化系統(tǒng)，我們?cè)诮r(shí)忽略了空氣阻力與各種摩擦，并認(rèn)為擺桿為剛體。二級(jí)倒立擺得組成如圖6—1所示:圖6—1直線兩級(jí)倒立擺物理模型倒立擺參數(shù)定義如下：M小車質(zhì)量m1擺桿１得質(zhì)量m2擺桿2得質(zhì)量ｍ3質(zhì)量塊得質(zhì)量l1擺桿1中心到轉(zhuǎn)動(dòng)中心得距離l2擺桿2中心到轉(zhuǎn)動(dòng)中心得距離θ1擺桿1與豎直方向得夾角θ２擺桿2與豎直方向得夾角Ｆ作用在系統(tǒng)上得外力利用拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：拉格朗日方程為:L(q，q）=Ｔ（q,ｑ）—V(q,ｑ）其中L為拉格朗日算子,q為系統(tǒng)得廣義坐標(biāo),T為系統(tǒng)得動(dòng)能,Ｖ為系統(tǒng)得勢(shì)能。其中ｉ=1，2,3……n，fi為系統(tǒng)在第i個(gè)廣義坐標(biāo)上得外力,在二級(jí)倒立擺系統(tǒng)中,系統(tǒng)得廣義坐標(biāo)有三個(gè)廣義坐標(biāo),分別為x,θ1，θ2。首先計(jì)算系統(tǒng)得動(dòng)能:其中Tm,Ｔｍ1,Tｍ2，Tm３分別為小車得動(dòng)能，擺桿１得動(dòng)能，擺桿2得動(dòng)能與質(zhì)量塊得動(dòng)能。小車得動(dòng)能：Tm1=Tm1'＋Tm２’＇其中Tm1'，Tm2’分別為擺桿1得平動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。Ｔｍ2=Tm2'+Tm２’’其中Tm2',Tm2’分別為擺桿2得平動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能.對(duì)于系統(tǒng)，設(shè)以下變量:xｐend1擺桿１質(zhì)心橫坐標(biāo);yangle1擺桿1質(zhì)心縱坐標(biāo);xpend2擺桿2質(zhì)心橫坐標(biāo)；yanglｅ2擺桿2質(zhì)心縱坐標(biāo);xmaｓｓ質(zhì)量塊質(zhì)心橫坐標(biāo);ymass質(zhì)量塊質(zhì)心縱坐標(biāo);又有：由于系統(tǒng)在θ1,θ2廣義坐標(biāo)下沒有外力作用，所以有：在Ｍaｔｈemaｔicｓ中計(jì)算以上各式。因其余各項(xiàng)為0，所以這里僅列舉了k12、k13、ｋ１７、k22、k23、ｋ27等7項(xiàng),得到結(jié)果如下：６、２系統(tǒng)可控性分析系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A,Ｂ，Ｃ,D如下:利用MＡＴLAB計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)可控性矩陣與輸出可控性矩陣得秩：得到結(jié)果如下:或就是通過MＡTLAB命令ctrb與obsv直接得到系統(tǒng)得可控性與可觀測(cè)性。運(yùn)行得到:可以得到,系統(tǒng)狀態(tài)與輸出都可控，且系統(tǒng)具有可觀測(cè)性.6、3直線兩級(jí)倒立擺ＭAＴLＡＢ仿真在MAＴLABSimｕlink中建立直線兩級(jí)倒立擺得模型:其中“Ｓｔａt(yī)e－Spaｃe”模塊為直線兩級(jí)倒立擺得狀態(tài)方程,雙擊模塊打開模型:“Contrｏlleｒ”模塊為控制器模塊,在“Coｎtroller”模塊上單擊鼠標(biāo)右鍵，選擇“Lookundermask”打開模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)：其中“ＭaｔrｉxGａinK”為反饋矩陣。雙擊“Ｃontrolｌer"模塊打開其參數(shù)設(shè)置窗口:先設(shè)置參數(shù)為“1"。“Ｄisturbanｃe”模塊為外界干擾模塊，其作用就是給系統(tǒng)施加一個(gè)階躍信號(hào)，點(diǎn)擊“”運(yùn)行模型進(jìn)行開環(huán)系統(tǒng)仿真.得到運(yùn)行結(jié)果如下:從仿真結(jié)果可以瞧出,系統(tǒng)發(fā)散,為使系統(tǒng)穩(wěn)定,需要對(duì)其添加控制器。6、４ＬQＲ控制器設(shè)計(jì)及仿真給系統(tǒng)添加LＱR控制器,添加控制器后得系統(tǒng)閉環(huán)圖如下圖所示:下面利用線性二次最優(yōu)控制LＱR方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器得設(shè)計(jì)

cｌear;clc;?k1２＝86、6９；k13=-２1、6２；k１7=6、６4;?k2２=—４0、31;ｋ２3=39、45；k2７=-0、088;

a=［0

0

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ｑ１1=１；ｑ２２＝1;q3３=1;?ｑ＝[q1１

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r=１;?k=lqr(ａ,b,q，r)?aa=ａ—b*k;

ｂ=b*k（１)；?ｓｙs=ss(aa,b,c，ｄ);

t=0:0、０１：5;

[y，ｔ,ｘ］=sｔep(ｓys,ｔ）;

plot(t,y(:，1)，’g’,t,y（:,2)，＇r',t,y（：,3));?ｇrid

oｎ運(yùn)行得到以下結(jié)果:LＱR控制參數(shù)為：K=［１7３、8１８—83、９4１２、016２4、2７91-１3、036]得到仿真結(jié)果如下：可以瞧出,系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間過長(zhǎng)，因此增加權(quán)重Q得值。設(shè)Q11=３00;Ｑ２２＝500；Q33=50０；運(yùn)行得到仿真結(jié)果：ＬＱR控制參數(shù)為：K=[17、32１11０、８7-1９7、5７18、46８2、706１—３２、142]從圖中可以瞧出,系統(tǒng)可以很好得穩(wěn)定,在給定倒立擺干擾后,系統(tǒng)在2、5秒內(nèi)可以恢復(fù)到平衡點(diǎn)附近。把以上仿真參數(shù)輸入Sｉmulｉnk模型中得到運(yùn)行結(jié)果從圖中可知，系統(tǒng)穩(wěn)定性還不錯(cuò)。但這未必就是最好得參數(shù)。所以,下面改變LＱR參數(shù)，比較結(jié)果變化。確定最合適參數(shù)。１、設(shè)Q１１=１000;Q22=50０;Q３３=5００;運(yùn)行得到仿真結(jié)果:LQR控制參數(shù)為：ｋ＝31、62２8116、7093－2３8、１74２29、1０411、2221-39、3596可瞧出位置在2秒左右就可恢復(fù)到平衡點(diǎn)位置。而角度依然就是在2、5秒內(nèi)恢復(fù)到平衡位置.2、設(shè)Q１1=15０0；Q2２=５00；Q３3=５0０；運(yùn)行得到仿真結(jié)果:LQR控制參數(shù)為：k＝38、7２9811９、2０83—257、06713４、161２0、5092－４2、７166可瞧出位置在１、５—2、０秒內(nèi)就可恢復(fù)到平衡點(diǎn)位置．而角度依然就是在2、5秒內(nèi)恢復(fù)到平衡位置。3、設(shè)Ｑ11＝150０;Ｑ22=500;Ｑ33=５０0；運(yùn)行得到仿真結(jié)果:LＱR控制參數(shù)為:k=44、７２1４121、183４—2７2、59343８、356２—0、0849—45、4７５1可瞧出位置依然在1、５秒就可恢復(fù)到平衡點(diǎn)位置。而角度依然就是在2、5秒內(nèi)恢復(fù)到平衡位置.4、設(shè)Q１1=1500；Q22=1000;Q33=10０0;運(yùn)行得到仿真結(jié)果:ＬQＲ控制參數(shù)為:ｋ=３8、7298129、4996-２81、３１18３5、738９0、4７21—4６、5９05可瞧出位置在1、5—２、０內(nèi)就可恢復(fù)到平衡點(diǎn)位置。而角度就是在2、5秒內(nèi)恢復(fù)到平衡位置.5、設(shè)Q１1=１500;Q22=100;Q33=10０;運(yùn)行得到仿真結(jié)果:LQR控制參數(shù)為：ｋ＝3８、７2９８10８、6175-２3２、14873２、46160、5479-38、７17０可瞧出位置在1、５內(nèi)就可恢復(fù)到平衡點(diǎn)位置．而角度就是在2秒內(nèi)恢復(fù)到平衡位置.通過對(duì)比,第5個(gè)參數(shù)最合適。LQR控制參數(shù)為:k=38、7298１08、617５-２32、148732、４6160、５4７９-38、7１７0把其輸入到Ｓimuｌｉnk模型中。得到運(yùn)行結(jié)果。此結(jié)果最好,系統(tǒng)不僅可以很好得穩(wěn)定,而且在給定倒立擺干擾后,系統(tǒng)可在2秒內(nèi)恢復(fù)到平衡點(diǎn)附近.八.個(gè)人小結(jié)。倒立擺實(shí)驗(yàn)個(gè)人小結(jié)李航080１1041大三上學(xué)期得第一次機(jī)械工程實(shí)驗(yàn)，我們接觸與學(xué)習(xí)了減速器,維持一個(gè)學(xué)期得實(shí)驗(yàn),我們從結(jié)構(gòu),運(yùn)動(dòng)等方面，對(duì)機(jī)械有了更深得認(rèn)識(shí),而這個(gè)學(xué)期,我們要更進(jìn)一步，從機(jī)械控制理論,來讓自己對(duì)機(jī)械得理解，有一個(gè)新得高度。我們接觸得倒立擺就是機(jī)器人技術(shù)、控制理論、計(jì)算機(jī)控制等多個(gè)領(lǐng)域、多種技術(shù)得有機(jī)結(jié)合，其被控系統(tǒng)本身又就是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定、高階次、多變量、強(qiáng)耦合得非線性系統(tǒng)，可以作為一個(gè)典型得控制對(duì)象對(duì)其進(jìn)行研究。倒立擺數(shù)學(xué)模型:通過對(duì)倒立擺系統(tǒng)得物理模型與實(shí)際模型得認(rèn)知,以及對(duì)該系統(tǒng)得階躍響應(yīng)，可控性分析與頻率響應(yīng)分析,我們可以知道倒立擺系統(tǒng)就是不穩(wěn)定得,可控得,所以就有了我們得課題：具體得控制方法。在前半個(gè)學(xué)期,我們學(xué)習(xí)了機(jī)械控制理論,了解了伯德圖與奈奎斯特圖,而在大一得高數(shù)學(xué)習(xí)中,我們初步學(xué)習(xí)了MＡTＬAＢ,通過在圖書館以及網(wǎng)上查找資料，我們學(xué)習(xí)了SIＭULINＫ仿真,為這次實(shí)驗(yàn)打下了一定得基礎(chǔ)。對(duì)于一級(jí)倒立擺線性系統(tǒng)，我們實(shí)驗(yàn)了兩種控制方法：分別就是雙PID控制與LQR控制。常規(guī)得PＩＤ控制,就是最早得也就是最經(jīng)典得一種控制方式,由于其算法簡(jiǎn)單、魯棒性好、可靠性高,因而至今仍廣泛應(yīng)用于工業(yè)過程控制中。它有三個(gè)控制環(huán)節(jié),分別就是比例、積分與微分，實(shí)驗(yàn)中使用得控制器得傳遞函數(shù)就是其中Ｋp、Ｋｉ、Kｄ分別為比例系數(shù)、積分系數(shù)與微分系數(shù)。各個(gè)系數(shù)功能如下:1、比例系數(shù)Kp增大,閉環(huán)系統(tǒng)得靈敏度增加,穩(wěn)態(tài)誤差減小,系統(tǒng)振蕩增強(qiáng);比例系數(shù)超過某個(gè)值時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)可能變得不穩(wěn)定。2、積分系數(shù)Ki增大,可以提高系統(tǒng)得型別,使系統(tǒng)由有差變?yōu)闊o差；積分作用太強(qiáng)會(huì)導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。3、微分系數(shù)Kd增大,預(yù)測(cè)系統(tǒng)變化趨勢(shì)得作用增強(qiáng)，會(huì)使系統(tǒng)得超調(diào)量減小,響應(yīng)時(shí)間變快.但就是上述得各個(gè)參數(shù)在調(diào)節(jié)過程中并不就是相互獨(dú)立得,而就是會(huì)相互影響。ＰID控制得快速性較差,而且只能對(duì)擺角進(jìn)行控制,無法控制位移。雙PＩD控制,則解決了傳統(tǒng)得ＰＩD控制只能控制擺角得缺陷,但就是對(duì)于雙ＰＩD控制，如何使擺角角度與小車位置達(dá)到協(xié)調(diào)，使系統(tǒng)響應(yīng)收斂,就是個(gè)難題,而且PＩD控制就是單控制量,外部擾動(dòng)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果得影響會(huì)比較大,所以我們學(xué)習(xí)了線性二次型控制,也就就是LQR控制。LQR控制就是通過最小化性能指標(biāo),得到系統(tǒng)得控制量U=-KX,其中Q，Ｒ，分別就是狀態(tài)變量與輸入向量得加權(quán)矩陣,Ｘ就是狀態(tài)量，Ｕ就是控制量，K就是狀態(tài)矩陣.根據(jù)期望性能指標(biāo)選?。雅cR,利用MATLAB命令ｌqr就可以得到反饋矩陣K得值。Ｋ=lqr(Ａ，Ｂ，Q,R）改變矩陣Q得值，可以得到不同得響應(yīng)效果,Ｑ得值越大(在一定得范圍之內(nèi)），系統(tǒng)抵抗干擾得能力越強(qiáng),調(diào)整時(shí)間越短。利用ＭＡTLAB自帶得函數(shù),可以很快算出反饋矩陣各參數(shù)得值.通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)LQR控制作為多變量得控制,穩(wěn)定性，快速性與抗干擾性都很好,,ＬＱR控制可得到狀態(tài)線性反饋得最優(yōu)控制規(guī)律,易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制就是現(xiàn)代控制理論中發(fā)展最早也最為成熟得一種狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法。實(shí)驗(yàn)心得:比較這三種控制方法，經(jīng)典PID控制方法得效果就是最不理想得，因?yàn)镻ＩD這類單輸入輸出得線性控制器,對(duì)于倒立擺這種非線性,很不穩(wěn)定得系統(tǒng)，雖然能使其穩(wěn)定,但就是快速性與抗干擾性都很差,相比較而言，LＱR得效果就要好很多。這次得倒立擺實(shí)驗(yàn),可以說就是我做過得最難得一個(gè)實(shí)驗(yàn)了,不僅涉及面十分廣,而且涉及得知識(shí)也都很難。通過這次實(shí)驗(yàn)，我們對(duì)機(jī)械控制理論有了更深一步得了解,也把書上學(xué)得知識(shí),應(yīng)用到了實(shí)際中．在實(shí)驗(yàn)過程中,我們認(rèn)識(shí)了倒立擺這個(gè)經(jīng)典得控制系統(tǒng)，也接觸了PID與LQR等多種控制方法,讓我們對(duì)機(jī)械,這個(gè)詞得概念,也更加深入得有了自己得理解。而且作為一個(gè)分組實(shí)驗(yàn),我充分感受到了團(tuán)隊(duì)力量得強(qiáng)大,也體會(huì)到了克服困難得艱辛,學(xué)會(huì)了用多種得途徑去解決難題。通過預(yù)習(xí),借閱書籍，上網(wǎng)等多種途徑，也為將來得學(xué)習(xí)打下良好得基礎(chǔ)。而且通過這個(gè)控制領(lǐng)域得經(jīng)典基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn),為將來考研以及科研都就是很有幫助得。同時(shí)要感謝同學(xué)與老師對(duì)自己得幫助，讓自己能順利得完成這次實(shí)驗(yàn).但就是在實(shí)驗(yàn)中，我個(gè)人也有一些建議。首先這個(gè)實(shí)驗(yàn)得基礎(chǔ)就是機(jī)械控制理論基礎(chǔ)這門課，但就是這么課我們?cè)趯?shí)驗(yàn)開始得時(shí)候壓根就沒學(xué)，所以前幾周只能靠自學(xué)或者毫無進(jìn)展，但就是自學(xué)不能保證效率,所以實(shí)驗(yàn)得時(shí)間安排感覺不就是很好。倒立擺實(shí)驗(yàn)小結(jié)李宗澤我就是這次倒立擺實(shí)驗(yàn)我們小組得組長(zhǎng),由于分組得關(guān)系，我們組得組員平時(shí)成績(jī)都不就是特別理想,但就是從一開始，我們就有信心能把這次實(shí)驗(yàn)完成。這次實(shí)驗(yàn)要求我們運(yùn)用經(jīng)典控制理論控制直線一級(jí)倒立擺,包括實(shí)際系統(tǒng)模型得建立、控制器設(shè)計(jì)、頻率響應(yīng)分析、ＰID控制分析等內(nèi)容。運(yùn)用現(xiàn)代控制理論中得線性最優(yōu)控制ＬQR方法實(shí)驗(yàn)控制倒立擺.并且能熟練得運(yùn)用matlab解決實(shí)際問題，了解ＳIMULＩＮK仿真。倒立擺就是一種典型得快速、多變量、非線性、絕對(duì)不穩(wěn)定、非最小相位系統(tǒng).就是進(jìn)行控制理論研究得典型實(shí)驗(yàn)平臺(tái),倒立擺實(shí)驗(yàn)就是運(yùn)用古典控制理論，結(jié)合現(xiàn)代應(yīng)用軟件MAＴLAB里得ＳIMＵLＩＮK對(duì)其進(jìn)行仿真,最后在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中對(duì)擺桿進(jìn)行快速性,準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性控制，達(dá)到理想得效果。因此,研究倒立擺具有重要得理論與實(shí)踐意義。實(shí)驗(yàn)得初期，也就就是前幾周，我們主要先大致預(yù)習(xí)了控制理論里得頻率響應(yīng)與時(shí)域響應(yīng)得內(nèi)容,了解了伯德圖與奈奎斯特圖得含義。并且到圖書館里借閱了相關(guān)書籍，到網(wǎng)上查找有關(guān)資料,并且結(jié)合大一時(shí)得高數(shù)課，復(fù)習(xí)了ｍａt(yī)ｌab得基本操作。這次實(shí)驗(yàn)得主要內(nèi)容就是利用三種控制方法,使倒立擺系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定，并且比較三種控制方法得優(yōu)劣。我們首先做得就是經(jīng)典PID控制，經(jīng)典PＩＤ控制就是最早發(fā)展起來得一種控制方法，由于其算法簡(jiǎn)單、魯棒性好、可靠性高,因而至今仍廣泛應(yīng)用于工業(yè)過程控制中。該方法得主要思想就是:根據(jù)給定值r與系統(tǒng)得實(shí)際輸出值c構(gòu)成控制偏差e，然后將偏差得比例（Ｐ)、積分(I）與微分(D）三項(xiàng)通過線性組合構(gòu)成控制量,對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制,故稱為PIＤ控制。比例環(huán)節(jié)P得作用,就是對(duì)當(dāng)前時(shí)刻得偏差信號(hào)進(jìn)行放大或衰減后作為控制信號(hào)輸出。積分環(huán)節(jié)I可以累計(jì)從零時(shí)刻起到當(dāng)前得輸入信號(hào)得全部值。微分環(huán)節(jié)Ｄ得輸出正比于輸入得當(dāng)前變化率,作用就是有偏差信號(hào)得當(dāng)前變化率來預(yù)見隨后得偏差將就是增大還就是減小,增減幅度如何。PID控制通過調(diào)節(jié)KＰ,ＫI，ＫＤ三個(gè)基本參數(shù),來實(shí)現(xiàn)仿真，達(dá)到預(yù)期得控制效果,但就是ＰＩD控制就是一個(gè)單輸入輸出得控制，它只能搖桿得角度,而不能控制小車得位移。雙PID控制就是利用兩個(gè)PＩD來同時(shí)控制倒立擺系統(tǒng),雙PID得模型如下:雙PID控制雖然能控制小車得位移,但就是我們?cè)趯?shí)際操作過程中,發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果得曲線很難達(dá)到收斂，往往都就是發(fā)散得。ＬＱR控制:線性二次型調(diào)節(jié)器(LinearQｕaｄraticRegulaｔor—ＬＱR）問題在現(xiàn)代控制理論中占有非常重要得位置，受到控制界得普遍重視,應(yīng)用十分廣泛，就是現(xiàn)代控制理論得中最重要得成果之一。線性二次型（LQ）性能指標(biāo)易于分析、處理與計(jì)算，而且通過線性二次型最優(yōu)設(shè)計(jì)方法得到得倒立擺系統(tǒng)控制方法，具好較好得魯棒性與動(dòng)態(tài)特性以及能夠獲得線性反饋結(jié)構(gòu)等優(yōu)點(diǎn),因而在實(shí)際得倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中,得到了廣泛得應(yīng)用。LQR控制通過mａt(yī)ｌaｂ得程序，根據(jù)期望性能指標(biāo)選取Q與R,就可以得到反饋矩陣K得值。改變矩陣Q得值，可以得到不同得響應(yīng)結(jié)果,Ｑ得值越大,系統(tǒng)抵抗干擾能力越強(qiáng)，調(diào)整時(shí)間越短。從實(shí)驗(yàn)得結(jié)果來瞧,LQR控制在快速性與抗干擾性上，都要強(qiáng)于PＩD控制，這就是因?yàn)長(zhǎng)QR就是多變量控制.經(jīng)過了這次實(shí)驗(yàn),我有了很多收獲：作為一個(gè)小組得組長(zhǎng),我體會(huì)到了自己身上得責(zé)任與壓力,從分配任務(wù)到實(shí)驗(yàn)進(jìn)行,實(shí)驗(yàn)報(bào)告,對(duì)我自己都就是一