2020-2021學(xué)年北京101中學(xué)高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

20202021學(xué)年北京101中學(xué)高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，集合，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求集合，再求.【詳解】由題意集合，故選:A.2．命題“”的否定是A． B．C． D．【答案】A【詳解】命題“”的否定是,所以選A.3．已知，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義，舉特例判斷可得；【詳解】解：當，時，，但；當，時，，但；綜上，“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D.【點睛】本題考查充分條件必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4．已知集合，，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式求得集合，由充分不必要條件定義可知，由此求得范圍.【詳解】由得：，即；是的充分不必要條件，，，即實數(shù)的取值范圍為.故選：A.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查根據(jù)充分條件和必要條件求解參數(shù)范圍，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（2）若是的充分不必要條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（3）若是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；（4）若是的既不充分又不必要條件，則對應(yīng)的集合與對應(yīng)集合互不包含．5．方程組的解集是（）A．{(1，﹣1),(﹣1，1)} B．{(1，1),(﹣1，﹣1)}C．{(2，﹣2),（﹣2，2)} D．{(2，2),(﹣2，﹣2)}【答案】A【分析】求出方程組的解，注意方程組的解是一對有序?qū)崝?shù)．【詳解】方程組的解為或，其解集為．故選：A．【點睛】本題考查集合的表示，二元二次方程組的解是一對有序?qū)崝?shù)，表示時用小括號括起來，表示有序，即代表元可表示為，一個解可表示為．6．已知，是方程的兩個實數(shù)根，則的值是A．2023 B．2021 C．2020 D．2019【答案】A【分析】根據(jù)題意可知，，，所求式子化為即可求解；【詳解】，是方程的兩個實數(shù)根，∴，，，∴；故選A．【點睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系將所求式子進行化簡代入是解題的關(guān)鍵．7．下列函數(shù)中，在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)的是（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合一次函數(shù)，二次函數(shù)及反比例函數(shù)的圖象及圖象變換分別進行判斷即可．【詳解】由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，y=3x1在區(qū)間(1，+∞)上為減函數(shù)，故A錯誤；由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，y=在區(qū)間(1，+∞)上為減函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，y=x24x+5在(∞，2)上單調(diào)遞減，在(2，+∞)上單調(diào)遞增，故C錯誤；由一次函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變換可知，y=|x1|+2在(1，+∞)上單調(diào)遞增．故選D．【點睛】本題主要考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)試題．8．若不等式|x3|+|x4|<a的解集不為空集，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)<1 D．a(chǎn)>1【答案】D【分析】不等式轉(zhuǎn)化為，求得函數(shù)的最小值后，即得的取值范圍.【詳解】由條件可知成立，即，，即.故選：D9．已知，，若，則A．有最小值 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值【答案】A【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求解有最小值，得到答案.【詳解】由題意，可知，，且，因為，則，即，所以，當且僅當時，等號成立，取得最小值，故選A．【點睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，其中解答中合理應(yīng)用基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10．設(shè)函數(shù)在（，+）上有意義，對任意的x，y∈R且x≠y，都有<|xy|，并且函數(shù)的對稱中心是（1，0），若函數(shù)=x，則不等式g+g<0的解集是（）A．（，1）（2，+） B．（1，2）C．（，1）（2，+） D．（1，2）【答案】A【分析】由已知條件可知為奇函數(shù)，從而可得也為奇函數(shù)，然后結(jié)合<|xy|，可得在上單調(diào)遞增，結(jié)合單調(diào)性和奇函數(shù)的定義可得，從而可求出不等式的解集【詳解】解：由函數(shù)的對稱中心是（1，0），可得函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，所以為奇函數(shù)，所以，因為，所以，所以，所以為奇函數(shù)，因為對任意的x，y∈R且x≠y，都有<|xy|，所以，所以，即，所以，所以對任意的x，y∈R且x≠y，，所以在上單調(diào)遞增，因為g+g<0，所以，所以，即，解得或故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查了利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性求解不等式，解題的關(guān)鍵是由已知條件判斷出的奇偶性和單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題二、填空題11．若函數(shù)，則的定義域為_________．【答案】【分析】由于根式在分母上，所以只要被開方數(shù)大于零，解不等式可得結(jié)果【詳解】解：由題意得，，解得，所以函數(shù)的定義域為，故答案為：12．已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，=，則=________．【答案】．【分析】由于函數(shù)是奇函數(shù)，所以，再由已知的解析式求出的值，可得答案【詳解】解：因為當x>0時，=，所以，因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，故答案為：13．寫出一個使得命題“，>0恒成立”是假命題的實數(shù)a的值________：【答案】（答案不唯一，只需）．【分析】求出命題“，>0恒成立”是真命題的范圍即可.【詳解】若命題“，>0恒成立”是真命題則當時成立，時有，解得，所以當時命題“，>0恒成立”是真命題所以當時，命題“，>0恒成立”為假命題故答案為：（答案不唯一，只需）14．某餐廳經(jīng)營盒飯生意，每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每盒盒飯的成本為15元，銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如下表：單價/元16171819202122日銷售量/盒480440400360320280240根據(jù)以上數(shù)據(jù)，當這個餐廳利潤（利潤=總收入總成本）最大時，每盒盒飯定價為________元．【答案】21.5．【分析】由表格中的信息可知，銷售單價為16元時，銷售量為480盒，銷售單價每增加1元時，銷售量則減少40個，設(shè)每盒盒飯定價為元，則銷售量為，再根據(jù)利潤=總收入總成本，即可求出利潤關(guān)于銷售單價的函數(shù)，則二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案【詳解】解：由表格中的信息可知，銷售單價為16元時，銷售量為480盒，銷售單價每增加1元時，銷售量則減少40個，設(shè)每盒盒飯定價為元，利潤為元，則由題意得所以當時，取得最大值，最大值為1690，即每盒盒飯定價為元時，利潤最大，最大為1690元，故答案為：15．函數(shù)，在區(qū)間上的增數(shù)，則實數(shù)t的取值范圍是________.【答案】【分析】作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】解:函數(shù)的圖像如圖.由圖像可知要使函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)，則.故答案為【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的圖象的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于簡單題目.16．幾位同學(xué)在研究函數(shù)時給出了下面幾個結(jié)論：①函數(shù)的值域為；②若，則一定有；③在是增函數(shù)；④若規(guī)定，且對任意正整數(shù)都有：，則對任意恒成立.上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號為__________.【答案】①②③④【分析】考慮時對應(yīng)函數(shù)的值域、單調(diào)性、奇偶性即可判斷出①②③是否正確，利用歸納推理的思想判斷是否正確.【詳解】的定義域為，當時且是單調(diào)遞增的，當時且是單調(diào)遞增的，當時，又因為，所以是奇函數(shù)，由此可判斷出①②③正確，因為，，，由歸納推理可得：，所以④正確.故答案為①②③④.【點睛】本題考查函數(shù)的值域、單調(diào)性、奇偶性的綜合運用，難度較難.（1）分段函數(shù)的值域可以采用分段求解，最后再取各段值域的并集；（2）分段函數(shù)在判斷單調(diào)性時，除了要考慮每一段函數(shù)單調(diào)性，還需要考慮到在分段點處各段函數(shù)的函數(shù)值的大小關(guān)系.三、解答題17．設(shè)全集U=R，集合A=（，1][4，+），B=（，1]．求：（1）；（2）記=M，N={x|a1≤x≤2a}，且，求a的取值范圍．【答案】（1）=（1，4）；（2）（，+）．【分析】（1）先求，再求；（2）由條件可知，分和兩種情況，列不等式求參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意知，AB=（，1][4，+），又全集U=R，所以=（1，4）．（2）由（1）得M=（1，4），由MN=N得NM．①當N=時，有a1>2a，所以a>；②當N≠時，有此不等式組無解．綜上，a的取值范圍是（，+）．18．定義在R上的函數(shù)(a∈R)．(1)若為偶函數(shù)且>，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若不是偶函數(shù)且在區(qū)間[1，2]上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(0，+)；(2)．【分析】(1)利用偶函數(shù)定義求得a，再討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并利用它求解；(2)利用二次函數(shù)不單調(diào)的充要條件，結(jié)合不是偶函數(shù)的條件解得.【詳解】(1)因為為偶函數(shù)，所以=恒成立，即恒成立，所以，所以=，其圖像是開口向上的拋物線且關(guān)于y軸對稱，因為>，所以，所以m>0．所以實數(shù)m的取值范圍是(0，+)．(2)依題意，所以或，所以實數(shù)a的取值范圍是．【點睛】解含有抽象法則“f”的偶函數(shù)不等式，利用偶函數(shù)性質(zhì)變形不等式，再利用單調(diào)性去法則求解.19．記關(guān)于x的方程在區(qū)間（0，3]上的解集為A，若A至多有2個不同的子集，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】【分析】原題等價于函數(shù)在區(qū)間（0，3]上至多有1個零點，分類討論的取值范圍即可得結(jié)果．【詳解】因為A至多有2個不同的子集，所以A至多有1個元素．因為，所以所以=0，所以原題等價于函數(shù)在區(qū)間（0，3]上至多有1個零點．①當a=0時，=1在區(qū)間（0，3]上無零點，符合題意；②當a>0時，拋物線=開口向上，對稱軸為x=1，=1，所以=1a≥0，所以0<a≤1；③當a<0時，拋物線=開口向下，對稱軸為x=1，=1=，所以在（0，3]上至多有一個零點，符合題意．綜上，實數(shù)a的取值范圍是．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵在于判斷原題等價于函數(shù)在區(qū)間（0，3]上至多有1個零點．20．已知不等式．（1）當時，解這個不等式；（2）若對恒成立，求實數(shù)的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)分式不等式的求解方法可直接求得結(jié)果；（2）將恒成立不等式化為，則，利用基本不等式可求得，由此可確定給結(jié)果.【詳解】（1）當時，原不等式可化為，解得：，不等式的解集為；（2）當時，，，即；（當且僅當，即時取等號），，，則實數(shù)的最大值為.21．已知是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，對任意實數(shù)m，n都有=．函數(shù)．定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（0,0）和點B(2,2)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（2）若，使得<0（m為常實數(shù)）成立，求m的取值范圍；（3）設(shè)，,，，（i=0，1，2…100）．若++…+（k=1，2，3），比較的大小并說明理由．【答案】（1）為奇函數(shù)；證明見解析；（2）；（3）；答案見解析．【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義進行證明即可；（2）根據(jù)奇函數(shù)將不等式轉(zhuǎn)化為<，再根據(jù)單調(diào)性將脫去，等價為，，最后轉(zhuǎn)化為最值問題解題即可；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊值分別計算，最后比較大小即可.【詳解】（1）是R上的奇函數(shù)．證明如下：因為任意實數(shù)m，n都有，所以，所以=0，從而對x∈R，恒有=，所以，所以，所以為奇函數(shù)．（2）由（1）知，為R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，由<0得<=，所以>8tm，>，．令，則．當時，．所以，使得+<0成立，等價于，使得成立，所以，所以m的取值范圍是．（3）依題意，易證F1(x)=x在R上單調(diào)遞減，所以++…+++…+．因為=2=2在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以++…+++…++++…+．由在R上單調(diào)遞增，易證在