愛提分七年級(jí)秋季 第06講-一元一次方程的概念及解法(教師版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名初一1班 年級(jí)初一輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師車勝男上課時(shí)間01-1412:00:00-12:30:00 知識(shí)圖譜從等式到方程知識(shí)精講等式等式用等號(hào)“＝”連接，表示相等關(guān)系的式子，叫做等式．在等式中，等號(hào)左、右兩邊的式子，分別叫做這個(gè)等式的左邊、右邊．如這樣有等號(hào)的式子是等式；如這樣不含等號(hào)的式子不是等式二．等式的性質(zhì)等式基本性質(zhì)等式兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），所得結(jié)果仍是等式．用字母表示為：如果，那么等式基本性質(zhì)等式兩邊同時(shí)乘以同一個(gè)數(shù)（或式子），或除以同一個(gè)不為零的數(shù)（或式子），所得結(jié)果仍是等式．用字母表示為：如果，那么；如果且，那么等式基本性質(zhì)等式具有傳遞性，果，，那么三．方程定義含有未知數(shù)的等式叫做方程定義中含有兩層含義：①方程必定是等式，即是用等號(hào)連接而成的式子；②方程中必定有一個(gè)（可以是多個(gè)）待確定的數(shù)，即未知數(shù)．二者缺一不可．方程的解*注意：方程一定是等式,等式卻不一定是方程等式有（1）、（2）、（3）、（5）、（6），其中（2）、（3）、（5）、（6）是方程方程的解方程的解使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解；求得方程的解的過程，叫做解方程．*注意：（1）方程中含有的未知數(shù)可以不止一個(gè)，對(duì)于只含有一個(gè)未知數(shù)的方程，它的解也叫方程的根．（2）解方程與方程的解是兩個(gè)不同的概念，后者是求得的結(jié)果，前者是求出這個(gè)結(jié)果的過程．（3）要驗(yàn)證某個(gè)數(shù)是不是一個(gè)方程的解，只需將這個(gè)數(shù)分別代入方程的左邊和右邊，如果左、右兩邊數(shù)值相等，那么這個(gè)數(shù)就是方程的解，否則就不是．方程相關(guān)概念已知數(shù)：一般是具體的數(shù)值，如中，和是已知數(shù)（的系數(shù)是，是已知數(shù)，但一般不說）．參數(shù)：有些情況下，方程的已知數(shù)需要用字母表示，習(xí)慣上常用等表示，這時(shí)等字母叫做參數(shù)．未知數(shù)是指要求的數(shù)，習(xí)慣上常用等字母表示．為了指明未知數(shù)，我們一般把方程稱為“關(guān)于的方程”，其中是參數(shù)．四．一元一次方程定義只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是，系數(shù)不等于的方程叫做一元一次方程．這里的“元”是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)，“次”是指含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)．形式一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：（，，是已知數(shù)）．一元一次方程的最簡形式：（，，是已知數(shù)）．三點(diǎn)剖析一．考點(diǎn)：等式的性質(zhì)及一元一次方程的概念．二．重難點(diǎn)：等式的性質(zhì)及一元一次方程的概念．三．易錯(cuò)點(diǎn)：1．在解方程的過程中，移項(xiàng)不變號(hào)；2．去括號(hào)時(shí)容易漏乘括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)或弄錯(cuò)符號(hào)．等式的性質(zhì)例題例題1、下列運(yùn)用等式的性質(zhì)，變形不正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】A、若，則，正確，不合題意；B、若，則，正確，不合題意；C、若，則，正確，不合題意；D、若，則，，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．例題2、下列說法正確的是（）A.在等式中，兩邊都除以，可得B.在等式兩邊都除以可得C.在等式兩邊都除以，可得D.在等式兩邊都除以2，可得【答案】B【解析】∵時(shí)，“在等式中，兩邊都除以，可得”這種說法不正確，∴選項(xiàng)A不正確；∵，∴在等式兩邊都除以可得，∴選項(xiàng)B正確；∵在等式兩邊都乘，可得，∴選項(xiàng)C不正確；∵在等式兩邊都除以2，可得，∴選項(xiàng)D不正確．例題3、下列等式變形正確的是（）A.如果，那么B.如果，那么x＝3C.如果x－3＝y(tǒng)－3，那么x－y＝0D.如果（a＋1）x＝a＋1，那么x＝1【答案】C例題4、下列運(yùn)用等式性質(zhì)正確的是（）A.如果a＝b，那么a＋c＝b－cB.如果a＝b，那么C.如果，那么a＝bD.如果a＝3，那么a2＝3a2【答案】C【解析】A、如果a＝b，那么a＋c＝b＋c，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、如果a＝b，那么（c≠0），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、如果，那么a＝b，正確；D、如果a＝3，那么a2＝3a，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．例題5、下列等式的變形正確的是（）A.如果s＝vt，那么B.如果，那么x＝3C.如果－x－1＝y(tǒng)－1，那么x＝y(tǒng)D.如果a＝b，那么a＋2＝2＋b【答案】D【解析】A、左邊乘以，右邊乘以，故A錯(cuò)誤；B、左邊乘以2，右邊乘以，故B錯(cuò)誤；C、左邊加（2x＋1），右邊加1，故C錯(cuò)誤；D、兩邊都加2，故D正確；隨練隨練1、下列運(yùn)用等式的性質(zhì)，變形不正確的是（）A.若x＝y(tǒng)，則x＋5＝y(tǒng)＋5B.若x＝y(tǒng)，則C.若a＝b，則ac＝bcD.若x＝y(tǒng)，則5－x＝5－y【答案】B【解析】A、若x＝y(tǒng)，則x＋5＝y(tǒng)＋5，正確，不合題意；B、若x＝y(tǒng)，則，a≠0，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；C、若a＝b，則ac＝bc，正確，不合題意；D、若x＝y(tǒng)，則5－x＝5－y，正確，不合題意．隨練2、根據(jù)等式的性質(zhì)，下列變形正確的是（）A.如果2x＝3，那么B.如果x＝y(tǒng)，那么x－5＝5－yC.如果x＝y(tǒng)，那么D.如果，那么x＝3【答案】C【解析】A、如果2x＝3，那么（a≠0），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、如果x＝y(tǒng)，那么x－5＝y(tǒng)－5，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、如果x＝y(tǒng)，那么－2x＝－2y，正確；D、如果，那么x＝12，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．隨練3、設(shè)x，y，c表示有理數(shù)，下列結(jié)論始終成立的是（）A.若x＝y(tǒng)，則x＋c＝y(tǒng)－cB.若x＝y(tǒng)，則xc＝y(tǒng)cC.若x＝y(tǒng)，則D.若，則2x＝3y【答案】B【解析】A、錯(cuò)誤．c≠0時(shí)，等式不成立；B、正確、C、錯(cuò)誤．c＝0時(shí)，不成立；D、錯(cuò)誤．應(yīng)該是：若，則3x＝2y．隨練4、下列方程的變形正確的個(gè)數(shù)有（）（1）由，得；（2）由，得；（3）由得；（4）由得．A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【答案】A【解析】（1）由；得不正確，因?yàn)橐祈?xiàng)時(shí)，符號(hào)沒有改變；（2）由，得正確；（3）由得不正確，系數(shù)化為1時(shí)，出現(xiàn)錯(cuò)誤；（4）由得不正確，因?yàn)橐祈?xiàng)時(shí)，符號(hào)沒有改變．隨練5、下列變形錯(cuò)誤的是（）A.若a=b，則﹣2a+c=﹣2b+cB.若6a=5a+4，則5a﹣6a=﹣4C.若ab=ac，則b=cD.若，則a=b【答案】C【解析】A、兩邊都乘以﹣2，兩邊都加c，故A正確；B、兩邊都減6a，加4，故B正確；C、a=0時(shí)，分式無意義，故C錯(cuò)誤；D、兩邊都乘以c，故D正確一元一次方程例題例題1、下列方程中，是一元一次方程的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】A、是一元二次方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是一元一次方程，故此選項(xiàng)正確；C、是二元一次方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、是二元二次方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．例題2、若是一元一次方程，則的值為________．【答案】－2【解析】∵是一元一次方程，∴，且．解得，．例題3、下列方程為一元一次方程的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】、正確；、含有2個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程，選項(xiàng)錯(cuò)誤；、最高次數(shù)是2次，不是一元一次方程，選項(xiàng)錯(cuò)誤；、不是整式方程，不是一元一次方程，選項(xiàng)錯(cuò)誤．例題4、若方程是關(guān)于的一元一次方程，則的值為（）A.0B.3C.－3D.±3【答案】C【解析】因?yàn)榉匠淌顷P(guān)于的一元一次方程，看到：，，解得：例題5、關(guān)于x的方程（k﹣1）x﹣3k=0是一元一次方程，則k滿足（）A.任意數(shù)B.k≠1C.k=1D.k＞1【答案】B【解析】由題意，得k﹣1≠0，解得k≠1。隨練隨練1、下列式子中，是一元一次方程的有（）A.B.C.D.【答案】A【解析】A、是一元一次方程，故A正確；B、不是方程，故B錯(cuò)誤；C、是多項(xiàng)式，故C錯(cuò)誤；D、二元一次方程，故D錯(cuò)誤；隨練2、已知是關(guān)于的一元一次方程，則、應(yīng)滿足的條件為________，________．【答案】；0【解析】是關(guān)于的一元一次方程，且，解得，．解一元一次方程知識(shí)精講一．一元一次方程的解法步驟具體做法依據(jù)注意事項(xiàng)去分母在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)等式性質(zhì)2=1\*GB3①不含分母的項(xiàng)不要漏乘②注意分?jǐn)?shù)線有括號(hào)作用，去掉分母后，如果分子是多項(xiàng)式，要加括號(hào)去括號(hào)由內(nèi)向外去括號(hào)，即先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)分配律，去括號(hào)法則=1\*GB3①運(yùn)用分配律去括號(hào)時(shí)，不要漏乘括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)②如果括號(hào)前是“－”號(hào)，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)移項(xiàng)把含未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊（通常是左邊），不含未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的另一邊等式性質(zhì)1①移項(xiàng)必須變號(hào)②一般把含未知數(shù)的項(xiàng)移到左邊，其他項(xiàng)移到右邊合并同類項(xiàng)把方程兩邊同類項(xiàng)分別合并，把方程化為的形式合并同類項(xiàng)法則合并同類項(xiàng)是同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變未知數(shù)系數(shù)化1在方程兩邊同除以未知數(shù)系數(shù)a，得到方程的解看不清楚解，不會(huì)調(diào)整等式性質(zhì)2應(yīng)注意系數(shù)a不能等于0注意：這五個(gè)步驟在解一元一次方程中，有時(shí)可能用不到，有時(shí)可能需重復(fù)用，使用時(shí)不一定嚴(yán)格按從（1）到（5）的順序進(jìn)行，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活運(yùn)用．例：解方程去分母：去括號(hào)：移項(xiàng)：合并同類項(xiàng)：未知數(shù)系數(shù)化1：三點(diǎn)剖析一．考點(diǎn)：解一元一次方程．二．重難點(diǎn)：解一元一次方程三．易錯(cuò)點(diǎn)：1．在解方程的過程中，移項(xiàng)不變號(hào)；2．去括號(hào)時(shí)容易漏乘括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)或弄錯(cuò)符號(hào)．一元一次方程的解法例題例題1、解下列方程：（1）2＋x＝－5（x－1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】（1）2＋x＝－5x＋5，x＋5x＝5－2，6x＝3，；（2）2x－5（3－2x）＝10x，2x－15＋10x＝10x，2x＋10x－10x＝15，2x＝15，．例題2、解下列方程（1）3（x﹣4）=12（2）．【答案】（1）8（2）【解析】（1）去括號(hào)得：3x﹣12=12，移項(xiàng)合并得：3x=24，解得：x=8；（2）去分母得：3x+3﹣2+3x=6，解得：x=．例題3、解方程（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】（1），去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，（2），方程兩邊同時(shí)乘以6得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：．例題4、解方程：（1）．（2）．【答案】（1）（2）【解析】（1）移項(xiàng)，得合并同類項(xiàng)，得系數(shù)化為1，得．（2）去分母，得去括號(hào)，得移項(xiàng)，得合并同類項(xiàng)，得系數(shù)化為1，得．例題5、解方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】（1）去括號(hào)得，移項(xiàng)得，合并得，系數(shù)化為1得，；（2）去分母得，去括號(hào)得，移項(xiàng)得，合并得，化系數(shù)為1得，．例題6、解下列方程：（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】（1）去分母得：，解得：；（2）去分母得：，移項(xiàng)合并得：，解得：．例題7、 以下是李明同學(xué)解方程的過程，請(qǐng)你仔細(xì)閱讀，解：去分母，得①移項(xiàng)，得②合并同類項(xiàng)，得③系數(shù)化為1，得④（1）以上解答過程是否正確，如有錯(cuò)誤請(qǐng)指出是第________幾步，并給出正確的解答過程；（2）如果上述解答過程是正確的，請(qǐng)你換一種方法再解答．【答案】（1）①，解答過程見解析（2）見解析【解析】（1）以上解答過程不正確，第①步錯(cuò)誤，正確解答過程為：去分母得：，移項(xiàng)合并得：，解得：；（2）整理得：，即，去括號(hào)得：，移項(xiàng)合并得：，解得：．例題8、小明解一元一次方程的過程如下：第一步：將原方程化為．第二步：將原方程化為．第三步：去分母……（1）第一步方程變形的依據(jù)是________；第二步方程變形的依據(jù)是________；第三步去分母的依據(jù)是________；（2）請(qǐng)把以上解方程的過程補(bǔ)充完整．【答案】（1）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)；等式的基本性質(zhì)；等式的基本性質(zhì)（2）見解析【解析】（1）第一步方程變形的依據(jù)是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)；第二步方程變形的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)；第三步去分母的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)；（2）去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并得：，系數(shù)化為1，得：．隨練隨練1、（1）解方程：x－2（5－x）＝3（2x－1）；（2）解方程：．【答案】（1）（2）x＝2【解析】（1）x－2（5－x）＝3（2x－1）去括號(hào)，得x－10＋2x＝6x－3移項(xiàng)及合并同類項(xiàng)，得－3x＝7系數(shù)化為1，得；（2）去分母，得3（2x＋1）－15＝5（x－2）去括號(hào)，得6x＋3－15＝5x－10移項(xiàng)及合并同類項(xiàng)，得x＝2．隨練2、（1）7x－4＝2x＋3（2）【答案】（1）（2）x＝－3【解析】（1）移項(xiàng)，得：7x－2x＝3＋4，合并同類項(xiàng)，得：5x＝7，系數(shù)化為1，得：；（2）去分母，得：2（2x＋1）－（5x－1）＝6，去括號(hào)，得：4x＋2－5x＋1＝6，移項(xiàng)，得：4x－5x＝6－2－1，合并同類項(xiàng)，得：－x＝3，系數(shù)化為1，得：x＝－3．隨練3、解下列方程：（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】（1）（2）隨練4、解方程：（1）（2）．【答案】（1）（2）【解析】（1），，；（2），，，，．隨練5、解下列方程：（1）4x﹣3（5﹣x）=6；（2）[x﹣（x﹣1）]=（x+2）．【答案】（1）x=3（2）x=﹣【解析】（1）去括號(hào)得：4x﹣15+3x=6，移項(xiàng)合并得：7x=21，解得：x=3；（2）去括號(hào)得：x﹣（x﹣1）=（x+2），去分母得：6x﹣3x+3=8x+16，移項(xiàng)合并得：5x=﹣13，解得：x=﹣．隨練6、解方程（1）4x－5＝3x＋2（2）（3）2x－3（6－x）＝3x－4（5－x）（4）【答案】（1）x＝7（2）x＝12（3）x＝1（4）x＝6.4【解析】（1）移項(xiàng)，得：4x－3x＝2＋5，合并同類項(xiàng)，得：x＝7；（2）去分母，得：3（x＋2）＝2（2x＋3）－12，去括號(hào)，得：3x＋6＝4x＋6－12，移項(xiàng)，得：3x－4x＝6－12－6，合并同類項(xiàng)，得：－x＝－12，系數(shù)化為1，得：x＝12；（3）去括號(hào)，得：2x－18＋3x＝3x－20＋4x，移項(xiàng)，得：2x＋3x－3x－4x＝－20＋18，合并同類項(xiàng)，得：－2x＝－2，系數(shù)化為1，得：x＝1；（4）去分母，得：5（x－1）－3（x＋2）＝1.8，去括號(hào)，得：5x－5－3x－6＝1.8，移項(xiàng)，得：5x－3x＝1.8＋5＋6，合并同類項(xiàng)，得：2x＝12.8，系數(shù)化為1，得：x＝6.4拓展拓展1、下列各組等式變形中，不一定成立的是（）A.如果x=y，那么B.如果x=y，那么a+bx=a+byC.如果，那么x=yD.如果x=y，那么【答案】A【解析】A、如果x=y，若a≠0，那么，所以A選項(xiàng)的變形不正確；B、如果x=y，那么a+bx=a+by，所以B選項(xiàng)的變形正確；C、如果，那么x=y，所以C選項(xiàng)的變形正確；D、如果x=y，則，所以D選項(xiàng)的變形正確．拓展2、下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.若a=b，則B.若，則a=bC.若x=3，則x2=3xD.若ax+2=bx+2，則a=b【答案】D【解析】A、在等式a=b的兩邊同時(shí)除以不為零的（m2+2）代數(shù)式，等式仍成立，故本選項(xiàng)不符合題意；B、在等式的兩邊同時(shí)乘以（m﹣1），等式仍成立，故本選項(xiàng)不符合題意；C、在等式x=3的兩邊同時(shí)乘以（m﹣1），等式仍成立，故本選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)x=0時(shí)，a=b不一定成立，故本選項(xiàng)符合題意．拓展3、把方程變形為，其依據(jù)是（）A.等式的兩邊同時(shí)乘以B.等式的兩邊同時(shí)除以C.等式的兩邊同時(shí)減去D.等式的兩邊同時(shí)加上【答案】B【解析】由方程變形為，得等式的兩邊都乘以2（除以），拓展4、下列等式的變形正確的是（）A.由1﹣2x＝6，得2x＝6﹣1B.由n﹣2＝m﹣2，得m﹣n＝0C.由，得x＝4D.由nx＝ny，得x＝y(tǒng)【答案】B【解析】A．由1﹣2x＝6，得2x＝1﹣6，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．由n﹣2＝m﹣2，得m﹣n＝﹣2＋2，則m﹣n═0，故本選項(xiàng)正確；C．由，得x＝16，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．由nx＝ny，得x＝y(tǒng)（n≠0），故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；拓展5、下列說法錯(cuò)誤的是A.若，則x＝y(tǒng)B.若x2＝y(tǒng)2，則－4x2＝－4y2C.若，則D.若6＝－x，則x＝－6【答案】C拓展6、已知方程－2x2－5m＋4m＝5是關(guān)于x的一元一次方程，那么x＝________．【答案】－2.1【解析】由題意得：2－5m＝1，解得：，方程可變?yōu)?，解得：x＝－2.1．拓展7、關(guān)于未知數(shù)x的方程（a＋2）x2＋5xm﹣3﹣2＝3是一元一次方程，則a＝________，m＝________．【答案】﹣2；4【解析】∵關(guān)于未知數(shù)x的方程（a＋2）x2＋5xm﹣3﹣2＝3是一元一次方程，∴a＋2＝0，m﹣3＝1，解得：a＝﹣2，m＝4．拓展8、若關(guān)于的方程是一元一次方程，則的值是________．【答案】1【解析】依題意得：，且，解得，則由原方程得到：，解得，所以．拓展9、若4x－1與7－2x的值互為相反數(shù)，則x＝________．【答案】－3【解析】根據(jù)題意得：4x－1＋7－2x＝0，移項(xiàng)合并得：2x＝－6，解得：x＝－3．拓展10、當(dāng)x＝________時(shí)，代數(shù)式2x＋1與5x﹣8的值相等．【答案】3【解析】根據(jù)題意得：2x＋1＝5x﹣8，∴2x﹣5x＝﹣8﹣1，∴﹣3x＝﹣9，∴x＝3．拓展11、解方程：（1）2x﹣（x+10）=6x（2）1﹣．【答案】（1）x=﹣2（2）x=1【解析】（1）去括號(hào)得：2x﹣x﹣10=6x，移項(xiàng)合并得：5x=﹣10，解得：x=﹣2；（2）去分母得：6﹣9x+15=2+10x，移項(xiàng)合并得：19x=19，解得：x=1．拓展12、解下列方程（1