第十三章軸對稱-小結(jié)與復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)目標：

1．系統(tǒng)地把握全章的知識要點和基本技能。2．通過例題和練習(xí)，使學(xué)生能較好地運用本章知識和技能解決有關(guān)問題重點、難點

判斷圖形是否是軸對稱圖形，線段的垂直平分線、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定及其應(yīng)用是教學(xué)重點，而靈活運用上述性質(zhì)解決問題、軸對稱圖案的設(shè)計是教學(xué)難點。

第一頁第二頁，共37頁。（一）軸對稱觀察圖形的變換過程，回想什么是軸對稱圖形？它有什么性質(zhì)？知識要點要仔細觀察哦！┐這是對稱軸呀!這是一對對應(yīng)點!第二頁第三頁，共37頁。

定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸．這時，我們也說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．

性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．第三頁第四頁，共37頁。觀察圖形的變換過程，回想什么是兩個圖形關(guān)于一條直線對稱？它有什么性質(zhì)？A′A┐第四頁第五頁，共37頁。定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點．性質(zhì)：如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．第五頁第六頁，共37頁。1.把一圓形紙片兩次對折后，得到右圖，然后沿虛線剪開，得到兩部分，其中一部分展開后的平面圖形是()ABCDB跟蹤訓(xùn)練第六頁第七頁，共37頁。2.（福州·中考）下面四個中文藝術(shù)字中，不是軸對稱圖形的是（）3、（日照·中考）已知以下四個汽車標志圖案：其中是軸對稱圖形的圖案是

（只需填入圖案代號）.C(1),(3)第七頁第八頁，共37頁。二.線段的垂直平分線。看畫圖過程回想什么是線段的垂直平分線?線段的垂直平分線的性質(zhì)用數(shù)學(xué)語言敘述為什么?用符號語言表示為什么？ABC┐DP第八頁第九頁，共37頁。定義：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．

性質(zhì)：用數(shù)學(xué)語言敘述為：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等

用符號語言表示為：∵CA=CB，ＰＣ⊥AB，∴PA=PB．ABCP┐第九頁第十頁，共37頁?？串媹D過程回想線段的垂直平分線的判定用數(shù)學(xué)語言敘述為什么?用符號語言表示為什么？ABC┐DP第十頁第十一頁，共37頁。判定：用數(shù)學(xué)語言敘述為：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．用符號語言表示為：∵

PA=PB，∴點P在AB的垂直平分線上ABCP┐第十一頁第十二頁，共37頁。

１.如圖，△ABC中，邊AB，BC的垂直平分線交于點P.（1）求證：PA=PB=PC.（2）點P是否也在邊AC的垂直平分線上呢？由此你能得出什么結(jié)論？PACB跟蹤訓(xùn)練第十二頁第十三頁，共37頁。(1)證明：∵點P是邊AB垂直平分線上的點，∴PA=PB,∵點P是邊BC垂直平分線上的點，∴PB=PC,∴PA=PB=PC.(2)點P是在邊AC的垂直平分線上結(jié)論：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，這個點到三角形三個頂點的距離相等.ACBP第十三頁第十四頁，共37頁。2.如圖所示，在△ABC中，∠CAB的平分線AD和BC的垂直平分線DE交于點D，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。求證：ＢＭ＝ＣＮ。ＡＢＣＤＥＭＮ┐┐┐1。要證明ＢＭ＝ＣＮ需構(gòu)造什么？2.D是BC的垂直平分線上的點應(yīng)添加什么輔助線？3.點D是∠CAB的平分線上的點能得到什么結(jié)論？思路分析請自己分析后寫出證明過程第十四頁第十五頁，共37頁。證明：連接ＤＢ，DC，∵點D是∠CAB的平分線上的點，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，（）∵點D是ＢＣ的垂直平分線上的點，∴ＤＢ＝ＤＣ，（）在Ｒｔ△ＤＢＭ和Ｒｔ△ＤＣＮ中ＤＢ＝ＤＣ，DM=DN，∴Ｒｔ△ＤＢＭ≌Ｒｔ△ＤＣＮ（）∴ＢＭ＝ＣＮ()ＡＢＣＤＥＭＮ┐┐┐第十五頁第十六頁，共37頁。請你根據(jù)上面兩題的證明過程思考線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定在解題中有哪些作用？如果已知線段的垂直平分線一般如何添加輔助線？1.證明線段相等，2.證明垂直，3,。證明點在直線上。添加的輔助線是連接垂直平分線上的點到線段兩端點的線段。第十六頁第十七頁，共37頁?？串媹D過程回想線段的垂直平分線的尺規(guī)作法即對稱軸和線段的中點的作法，并口述作法。ABCD已知：線段AB.求作：線段AB的垂直平分線.作法：（1）分別以點A，B為圓心，以大于

AB的長為半徑作弧，兩弧交于C，D兩點.（2）作直線CD.CD即為所求.第十七頁第十八頁，共37頁?？串媹D過程回想過外一點作已知直線的垂線的方法。已知：直線AB和直線AB外一點C。求作：直線CF，使CF⊥AB。CABDKFE作法：（1）任意取一點K，使點K與點C在直線AB的兩旁。（2）以C點為圓心，以CK的長為半徑畫弧，交AB于點D，E.（3）分別以點D,E為圓心，以大于的長為半徑畫弧兩弧交于點F.

(4)作直線CF，直線CF就是所求作的垂線。第十八頁第十九頁，共37頁。1.如圖，A，B是路邊兩個新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個公共汽車站.使兩個小區(qū)到車站的路程一樣長，該公共汽車站應(yīng)建在什么地方？(用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）CDP【提示】連接AB，作AB的垂直平分線，則與公路的交點就是要建的公共汽車站.∴點P就是要建的公共汽車站的位置.跟蹤訓(xùn)練第十九頁第二十頁，共37頁。2.如圖電信部門要在s區(qū)修建一座電視信號發(fā)射塔，按設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A,B的距離相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？在圖上標出它的位置。(用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）mnOABP【提示】∠O的平分線和AB的垂直平分線在S區(qū)的交點就是要建的電視塔的位置.∴點P就是電視塔的位置。DEFMN第二十頁第二十一頁，共37頁。三：作軸對稱圖形?？串媹D過程回想作軸對稱圖形的一般步驟是什么？BACOlA′B′C′作已知圖形關(guān)于已知直線對稱的圖形的一般步驟:1.確定圖形中的一些特殊點.2.畫出特殊點關(guān)于已知直線的對稱點.3.連接對稱點.第二十一頁第二十二頁，共37頁?？串媹D過程回想作一個點關(guān)于一條直線對稱的點的畫法，并口述作法。lAAˊ┐過點A作直線l的垂線，垂足為點O,在垂線上截取OA′=OA，點A′就是點A關(guān)于直線l的對稱點；作法：第二十二頁第二十三頁，共37頁?？雌矫嬷苯亲鴺讼抵悬cA,B,C的位置關(guān)系回想平面直角坐標系中關(guān)于x軸，y軸對稱的點的坐標有什么關(guān)系？31425-2-4-1-312345-4-3-2-1yxABC(-3,2)(3,2)(-2,3)關(guān)于x軸對稱的每對對稱點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)即點（x，y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標為(-x，y).-關(guān)于y軸對稱的每對對稱點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等即點（x，y）關(guān)于y軸對稱的點的坐標為（x，-y）。第二十三頁第二十四頁，共37頁?！靖櫽?xùn)練】1.點P(-5,6)與點Q關(guān)于x軸對稱，則點Q的坐標為__________.2.點M(a,-5)與點N(-2,b)關(guān)于x軸對稱，則a=_____,b=_____.(-5,-6)-25第二十四頁第二十五頁，共37頁?？磮D回想等腰三角形的性質(zhì)（1）用數(shù)學(xué)語言敘述為什么?用符號語言表示為什么？AＢCD⌒⌒（1）等腰三角形的兩個底角相等；用數(shù)學(xué)語言敘述為：用符號語言表示為：∵在△ABC中，AB=AC．∴∠B=∠C。第二十五頁第二十六頁，共37頁?？磮D回想等腰三角形的性質(zhì)（2）用數(shù)學(xué)語言敘述為什么?用符號語言表示為什么？AＢCD⌒⌒┐（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合．用數(shù)學(xué)語言敘述為:用符號語言表示為：∵△ABC中，AB=AC，BD=CD.∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC．或∵△ABC中，AB=AC,AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD.或∵△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD.第二十六頁第二十七頁，共37頁。等腰三角形是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在直線就是它的對稱軸．第二十七頁第二十八頁，共37頁?？磮D回想等腰三角形的判定用數(shù)學(xué)語言敘述為什么?用符號語言表示為什么？ABC用數(shù)學(xué)語言敘述為：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．符號語言：∵在△ABC中，∠B=∠C，∴

AB=AC．⌒⌒第二十八頁第二十九頁，共37頁?？磮D回想等邊三角形的性質(zhì)用數(shù)學(xué)語言敘述為什么?用符號語言表示為什么？ABC用數(shù)學(xué)語言敘述為：

等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°.符號語言：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．⌒⌒⌒60°60°60°第二十九頁第三十頁，共37頁?？磮D回想等邊三角形的判定有哪些？用數(shù)學(xué)語言敘述為什么?用符號語言表示為什么？ABC用數(shù)學(xué)語言敘述為：

三個角都相等的三角形是等邊三角形.符號語言：在△ABC中，

∵∠A=∠B=∠C，

∴△ABC是等邊三角形．⌒⌒⌒第三十頁第三十一頁，共37頁。符號語言：在△ABC中，∵BC=AC，∠A=60°，∴△ABC是等邊三角形．用數(shù)學(xué)語言敘述為：

有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形．ABC⌒60°第三十一頁第三十二頁，共37頁。在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊與斜邊有什么大小關(guān)系？這個命題用符號語言如何表示？符號語言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴

BC=AB．

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.ABC第三十二頁第三十三頁，共37頁。跟蹤訓(xùn)練1.已知：如圖，△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC到E，使CE=CD，過點D作DF⊥BE于F．求證：（1）BD=DE；（2）BF=EF；：（3）請猜想FC與BF間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．ABCDEF第三十三頁第三十四頁，共37頁。∴∠DBC=

∠CED，∴BD=

DE．證明（1）∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC=∠ACB=60°AB＝BC又∵BD⊥AC，

∴∠DBC=∠ACB=30°

∵

CE=

CD，∴∠CDE=

∠E又∵∠ACB=∠CDE十∠E