第一章 觀測誤差及其傳播

測量平差

太原理工大學(xué)測繪科學(xué)與技術(shù)系第一章

觀測誤差及其傳播§1概述§2觀測誤差及其分類§3偶然誤差的規(guī)律性§4衡量精度的指標(biāo)§5方差傳播律及其應(yīng)用§6權(quán)與定權(quán)的常用方法§7協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律§8由真誤差計算中誤差及其實(shí)際應(yīng)用§9系統(tǒng)誤差與偶然誤差的聯(lián)合傳播§1概述測量平差的基本任務(wù)是處理一系列帶有偶然誤差的觀測值，求出未知量的最可靠值（也稱為平差值、最佳估值、估值、最或是值、最或然值等），并評定測量成果的精度。解決這兩個問題的基礎(chǔ)，是要研究觀測誤差的理論，簡稱誤差理論。本章主要介紹偶然誤差的規(guī)律性、衡量精度的指標(biāo)、協(xié)方差傳播律、權(quán)的定義以及測量中常用的定權(quán)方法等。

§2觀測誤差及其分類

當(dāng)對某量進(jìn)行重復(fù)觀測時，常常發(fā)現(xiàn)觀測值之間往往存在一些差異。例如，從幾何上知道一個平面三角形三內(nèi)角之和應(yīng)等于180o，但如果對這三個內(nèi)角進(jìn)行觀測，則三內(nèi)角觀測值之和通常不等于180o。在同一量的各觀測值之間，或在各觀測值與其理論上的應(yīng)有值之間存在差異的現(xiàn)象，在測量工作中是普遍存在的，這是由于觀測值中包含有觀測誤差的緣故。

引起誤差的主要來源測量儀器：測量工作通常是利用測量儀器進(jìn)行的。由于每一種儀器都具有一定限度的精密度，因而使觀測值的精密度受到了一定的限制。觀測者：由于觀測者的感覺器官的鑒別能力有一定的局限性，所以在儀器的安置、照準(zhǔn)、讀數(shù)方面都會產(chǎn)生誤差。外界條件：觀測時所處的外界條件，如溫度、濕度、壓強(qiáng)、風(fēng)力、大氣折光、電離層等因素都會對觀測結(jié)果直接產(chǎn)生影響；隨著這些因素的變化，它們對觀測結(jié)果的影響也隨之不同，因此觀測結(jié)果產(chǎn)生誤差是必然的。根據(jù)觀測誤差的性質(zhì)，可將觀測誤差分為：系統(tǒng)誤差：在相同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小、符號上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者在觀測過程中按一定的規(guī)律變化，或者為某一常數(shù)，那么，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。簡言之，符合函數(shù)規(guī)律的誤差稱為系統(tǒng)誤差（舉例）。

偶然誤差：在相同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小和符號上都表現(xiàn)出偶然性，即從單個誤差看，該列誤差的大小和符號沒有規(guī)律性，但就大量誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。簡言之，符合統(tǒng)計規(guī)律的誤差稱為偶然誤差（舉例）。

系統(tǒng)誤差舉例測距儀的乘常數(shù)誤差所引起的距離誤差與所測距離的長度成正比地增加，距離愈長，誤差也愈大；測距儀的加常數(shù)誤差所引起的距離誤差為一常數(shù)，與距離的長度無關(guān)。這是由于儀器不完善或工作前未經(jīng)檢驗(yàn)校正而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差。又如，用鋼尺量距時的溫度與檢定尺長時的溫度不一致，而使所測的距離產(chǎn)生誤差；測角時因大氣折光的影響而產(chǎn)生的角度誤差等等，這些都是由于外界條件所引起的系統(tǒng)誤差偶然誤差舉例經(jīng)緯儀測角誤差是由照準(zhǔn)誤差、讀數(shù)誤差、外界條件變化所引起的誤差和儀器本身不完善而引起的誤差等綜合的結(jié)果。而其中每一項(xiàng)誤差又是由許多偶然因素所引起的小誤差。例如照準(zhǔn)誤差可能是由于照準(zhǔn)部旋轉(zhuǎn)不正確、腳架或覘標(biāo)的晃動與扭轉(zhuǎn)、風(fēng)力風(fēng)向的變化、目標(biāo)的背影、大氣折光等等偶然因素影響而產(chǎn)生的小誤差。因此，測角誤差實(shí)際上是許許多多微小誤差項(xiàng)構(gòu)成，而每項(xiàng)微小誤差又隨著偶然因素的影響不斷變化，其數(shù)值的大小和符號的正負(fù)具有隨機(jī)性，這樣，由它們所構(gòu)成的誤差，就其個體而言，無論是數(shù)值的大小或符號的正負(fù)都是不能事先預(yù)知的。因此，把這種性質(zhì)的誤差稱為偶然誤差。偶然誤差就其總體而言，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，有時又把偶然誤差稱為隨機(jī)誤差?！?偶然誤差的規(guī)律性

任何一個被觀測量，客觀上總是存在著一個能代表其真正大小的數(shù)值。這一數(shù)值就稱為該觀測量的真值。就單個偶然誤差而言，其大小或符號沒有規(guī)律性，即呈現(xiàn)出一種偶然性（或隨機(jī)性）。但就其總體而言，卻呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律性。并且指出它是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。人們從無數(shù)的測量實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，在相同的觀測條件下，大量偶然誤差的分布也確實(shí)表現(xiàn)出了一定的統(tǒng)計規(guī)律性。偶然誤差的規(guī)律性在一定的觀測條件下，誤差的絕對值有一定的限值，或者說，超出一定限值的誤差，其出現(xiàn)的概率為零。絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大。絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，即：換句話說，偶然誤差的理論平均值為零。偶然誤差分布直方圖§4衡量精度的指標(biāo)評定測量成果的精度是測量平差的主要任務(wù)之一。精度就是指誤差分布的密集或離散的程度。從直方圖來看，精度高，則誤差分布較為密集，圖形在縱軸附近的頂峰則較高，且由長方形所構(gòu)成的階梯比較陡峭；精度低，則誤差分布較為分散，在縱軸附近頂峰則較低，且其階梯較為平緩。這個性質(zhì)同樣反映在誤差分布曲線的形態(tài)上，即有誤差分布曲線較高而陡峭和誤差分布曲線較低而平緩兩種情形。衡量精度的指標(biāo)在一定的觀測條件下進(jìn)行的一組觀測，它對應(yīng)著一種確定的誤差分布。如果分布較為密集，即離散度較小時，則表示該組觀測質(zhì)量較好，也就是說，這一組觀測精度較高；反之，如果分布較為離散，即離散度較大時，則表示該組觀測質(zhì)量較差，也就是說，這一組觀測精度較低。在相同的觀測條件下所進(jìn)行的一組觀測，由于他們對應(yīng)著同一種誤差分布，對于這一組中的每一個觀測值，都稱為是同精度觀測值。衡量精度的指標(biāo)--方差和中誤差

用表示誤差分布的方差，誤差Δ的概率密度函數(shù)為：由方差的定義：由于在此主要包括偶然誤差部分，，所以有：就是中誤差：

衡量精度的指標(biāo)--平均誤差

在一定的觀測條件下，一組獨(dú)立的偶然誤差絕對值的數(shù)學(xué)期望稱為平均誤差。設(shè)以表示平均誤差，則有：

如果在相同條件下得到了一組獨(dú)立的觀測誤差，平均誤差為即平均誤差是一組獨(dú)立的偶然誤差絕對值的算術(shù)平均值之極限值。

衡量精度的指標(biāo)--或然誤差

或然誤差的定義是：誤差出現(xiàn)在之間概率等于1/2，即將Δ的概率密度代入上式，并作變量代換，令則得：由概率積分表查得，當(dāng)概率為1/2時，積分限為0.6745，即得上式是或然誤差與中誤差的理論關(guān)系。不同的也對應(yīng)著不同的誤差分布曲線，因此，或然誤差也可以作為衡量精度的指標(biāo)。

衡量精度的指標(biāo)--極限誤差

在大量同精度觀測的一組誤差中，誤差落在和的概率分別為：68.3%、95.5%和99.7%。上式反映了中誤差與真誤差間的概率關(guān)系。絕對值大于中誤差的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為31.7%；而絕對值大于二倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率為4.5%；特別是絕對值大于三倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率僅有0.3%，這已經(jīng)是概率接近于零的小概率事件，或者說這是實(shí)際上的不可能事件。一般以三倍中誤差作為偶然誤差的極限值，并稱為極限誤差。衡量精度的指標(biāo)--相對誤差

對于某些長度元素的觀測結(jié)果，有時單靠中誤差還不能完全表達(dá)觀測結(jié)果的好壞。須采用另一種辦法來衡量精度，通常采用相對中誤差，它是中誤差與觀測值之比。在測量中一般將分子化為1。對于真誤差與極限誤差，有時也用相對誤差來表示。例如，經(jīng)緯儀導(dǎo)線測量時，規(guī)范中所規(guī)定的相對閉合差不能超過，它就是相對極限誤差；而在實(shí)測中所產(chǎn)生的相對閉合差，則是相對真誤差。與相對誤差相對應(yīng)，真誤差、中誤差、極限誤差等均稱為絕對誤差。

§5方差傳播律及其應(yīng)用協(xié)方差傳播律是研究函數(shù)與自變量之間的協(xié)方差運(yùn)算規(guī)律。在實(shí)際工作中，某些量的大小往往是由觀測值通過一定的函數(shù)關(guān)系間接計算出來的協(xié)方差與相關(guān)

協(xié)方差是用數(shù)學(xué)期望來定義的。設(shè)有觀測值X和Y，它們的協(xié)方差定義是：式中：和分別是X和Y的真誤差。設(shè)是觀測值的真誤差，是觀測值的真誤差，而協(xié)方差則是這兩種真誤差所有可能取值的乘積的理論平均值，即實(shí)用上總是有限值，所以也只能求得它的估值，記為協(xié)方差與相關(guān) 當(dāng)X和Y相互獨(dú)立時：當(dāng)X和Y相互獨(dú)立時，X和Y的協(xié)方差為零。但是，逆命題卻不一定成立，即協(xié)方差為零并不意味著相互獨(dú)立。只有當(dāng)和服從聯(lián)合正態(tài)分布時，協(xié)方差為零才是相互獨(dú)立的充分條件。因此，對于服從正態(tài)分布的觀測值，協(xié)方差為零和相互獨(dú)立是等價條件。協(xié)方差與相關(guān)如果協(xié)方差為零，表示這兩個（或兩組）觀測值的誤差之間互不影響，或者說，它們的誤差是不相關(guān)的，并稱這些觀測值為不相關(guān)觀測值；如果協(xié)方差不為零，則表示它們的誤差之間是相關(guān)的，稱這些觀測值是相關(guān)觀測值。由于在測量上所涉及的觀測值和觀測誤差都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，對于正態(tài)隨機(jī)變量而言，“不相關(guān)”與“獨(dú)立”是等價的，所以把不相關(guān)觀測值也稱為獨(dú)立觀測值，同樣把相關(guān)觀測值也稱為不獨(dú)立觀測值。

協(xié)方差與相關(guān)在測量工作中，直接觀測得到的高差、距離、角度、方向和三角高程測量求得的高差等，都認(rèn)為是獨(dú)立觀測值。一般來說，獨(dú)立觀測值的各個函數(shù)之間是不獨(dú)立的，或者說是相關(guān)的，因而它們是相關(guān)觀測值。例如，當(dāng)一個測站上的水平方向觀測值是獨(dú)立觀測值時，由這些方向值所算得的相鄰角度就是相關(guān)觀測值；又如，三角網(wǎng)或?qū)Ь€網(wǎng)中根據(jù)觀測角度和邊長求得的各點(diǎn)的坐標(biāo)也是相關(guān)觀測值。

協(xié)方差與相關(guān)通過變換將隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化，則兩個標(biāo)準(zhǔn)化變量乘積的數(shù)學(xué)期望就是一個無量綱的數(shù)，稱之為相關(guān)系數(shù)：

由于和為正，所以的正負(fù)取決于的正負(fù)。大于零稱為正相關(guān)，小于零稱為負(fù)相關(guān)，等于零稱為不相關(guān)?？梢宰C明的絕對值不大于1。協(xié)方差與協(xié)方差陣

假定有個不同精度的相關(guān)觀測值，它們的數(shù)學(xué)期望和方差分別為和，它們兩兩之間的協(xié)方差為,用矩陣表示為:

式中為觀測值向量，簡稱為觀測值；為的數(shù)學(xué)期望；為觀測值向量的方差-協(xié)方差陣，簡稱為協(xié)方差陣。

協(xié)方差與協(xié)方差陣設(shè)有觀測值向量和，它們的數(shù)學(xué)期望分別為和。令：；則的方差陣為：

式中和分別為X和Y的協(xié)方差陣，是X關(guān)于Y的互協(xié)方差陣。觀測值線性函數(shù)的方差

設(shè)有觀測值向量，其數(shù)學(xué)期望為，協(xié)方差陣為,即

式中為的方差，為和的協(xié)方差，又設(shè)有的線性函數(shù)為：令：則：觀測值線性函數(shù)的方差對上式兩邊取數(shù)學(xué)期望：

Z的方差為：

即：觀測值線性函數(shù)的方差

當(dāng)向量中的各分量兩兩獨(dú)立時，它們之間的協(xié)方差=0，此時上式為：

線性函數(shù)的協(xié)方差傳播律敘述為：設(shè)有函數(shù)：則：多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣

設(shè)有觀測值向量和，的數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差陣分別為和，的數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差陣分別為和，關(guān)于的互協(xié)方差陣為。多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣若有的個線性函數(shù)：若令：則：多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣

即設(shè)另有的個線性函數(shù)多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣令即：根據(jù)互協(xié)方差陣的定義：多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣協(xié)方差傳播律

設(shè)有觀測值向量和的線性函數(shù)：

的方差陣，的方差陣，關(guān)于的互協(xié)方差陣為（），、、、為常系數(shù)陣。則有如下方差和協(xié)方差計算公式：

這就是協(xié)方差傳播律的實(shí)用計算公式，其它計算公式均可由此導(dǎo)出。

單個非線性函數(shù)

設(shè)有觀測值的非線性函數(shù)：或表示為已知的協(xié)方差陣，求的方差。假定觀測值有近似值：將函數(shù)式按臺勞級數(shù)在點(diǎn)處展開為：

單個非線性函數(shù)式中是函數(shù)對各個變量所取的偏導(dǎo)數(shù)，并以近似值代入所算得的數(shù)值，它們都是常數(shù)，當(dāng)與非常接近時，上式中二次以上各項(xiàng)很微小，可以略去，將上式寫為：

令：得： 這樣，就將非線性函數(shù)式化成了線性函數(shù)式，然后用線性函數(shù)的協(xié)方差傳播律計算協(xié)方差。單個非線性函數(shù)如果令：

則上式可寫為

上式是非線性函數(shù)式的全微分。根據(jù)協(xié)方差傳播律：為求非線性函數(shù)的方差，對它求全微分就可以了。多個非線性函數(shù)

如果有的個非線性函數(shù)將個函數(shù)求全微分得多個非線性函數(shù)

若記

則有：根據(jù)協(xié)方差傳播律得的協(xié)方差陣：

因此，對于非線性函數(shù)，首先將其線性化，然后用線性函數(shù)的協(xié)方差傳播律計算。線性化方法可用臺勞級數(shù)展開或求全微分。應(yīng)用協(xié)方差傳播律的具體步驟

1.按要求寫出函數(shù)式，如：2.如果為非線性函數(shù)，則對函數(shù)式求全微分，得：

3.寫成矩陣形式：或4.應(yīng)用協(xié)方差傳播律求方差或協(xié)方差陣?！?權(quán)與定權(quán)的常用方法方差是表示精度的一個絕對數(shù)字特征，一定的觀測條件就對應(yīng)著一定的誤差分布，而一定的誤差分布就對應(yīng)著一個確定的方差。表示各觀測值方差之間比例關(guān)系的數(shù)字特征稱之為權(quán)。權(quán)是表示精度的相對數(shù)字特征，在平差計算中起著很重要的作用。在平差計算之前，精度的絕對數(shù)字特征往往是不知道的，而精度的相對的數(shù)字特征（權(quán)）卻可以根據(jù)事先給定的條件予以確定，然后根據(jù)平差的結(jié)果估算出表示精度的絕對的數(shù)字特征（方差）。

權(quán)的定義

設(shè)有觀測值，它們的方差為，選定任一常數(shù)，定義觀測值的權(quán)為：由權(quán)的定義可知，觀測值的權(quán)與其方差成反比。即方差愈小，其權(quán)愈大，或者說，精度愈高，其權(quán)愈大。因此，權(quán)同樣可以作為比較觀測值之間的精度高低的一種指標(biāo)。方差可以是同一個量的觀測值的方差，也可以是不同量的觀測值的方差。也就是說，用權(quán)來比較各觀測值之間的精度高低，不限于是對同一量的觀測值，同樣也適用于對不同量的觀測值。

權(quán)的定義1．選定了一個值，即有一組對應(yīng)的權(quán)。或者說，有一組權(quán)，必有一個對應(yīng)的值。2．一組觀測值的權(quán)，其大小是隨的不同而異，但不論選用何值，權(quán)之間的比例關(guān)系始終不變。3．為了使權(quán)能起到比較精度高低的作用，在同一問題中只能選定一個值，否則就破壞了權(quán)之間的比例關(guān)系。4．事先給出一定的條件，就可以確定出觀測值的權(quán)的數(shù)值。5．權(quán)是用來比較各觀測值相互之間精度高低的，權(quán)的意義不在于它們本身數(shù)值的大小，重要的是它們之間所存在的比例關(guān)系。

單位權(quán)中誤差

權(quán)等于1的觀測值稱為單位權(quán)觀測值。權(quán)等于1的觀測值的方差稱為單位權(quán)方差。權(quán)等于1的觀測值的中誤差稱為單位權(quán)中誤差在確定一組同量綱的觀測值的權(quán)時，所選取的單位權(quán)方差的單位是與觀測值方差的單位相同，在這種情況下權(quán)是一組無量綱的數(shù)值。在確定不同量綱的觀測值的權(quán)時，所選取的單位權(quán)方差的單位一般是與其中一類觀測值方差的單位相同，在這種情況下，權(quán)就不完全是一組無量綱的數(shù)值。例如，對于包含有角度元素和長度元素的兩類觀測值定權(quán)時，它們的方差的單位分別為“秒2”和“毫米2”，可選單位權(quán)方差與角度元素的方差單位相同，在這種情況下，各個角度觀測值的權(quán)是無單位的，而長度元素的權(quán)是有單位的。

測量上常用的定權(quán)方法

在測量實(shí)際工作中，往往是要根據(jù)事先給定的條件，首先確定出各觀測值的權(quán)，也就是先確定它們精度的相對數(shù)字指標(biāo)，然后通過平差計算，一方面求出各觀測值的最可靠值，另一方面求出它們精度的絕對數(shù)字指標(biāo)。

距離觀測值的權(quán)

（1）設(shè)單位長度（例如一公里）的距離觀測值的方差為，則全長為S公里的距離觀測值的方差為。取長度為C公里的距離觀測值方差為單位權(quán)方差，即：。則距離觀測值的權(quán)為：。（2）設(shè)長度為S公里的距離觀測值的方差為，和