考慮水平摩阻力的彈性地基分異計算

考慮水平摩阻力的彈性地基分異計算

用于分析winkler介質(zhì)中有限的長梁的傳統(tǒng)方法，如參數(shù)法、重疊法和變形能法，[1.2]。眾多學者以此導出相應(yīng)的計算公式并制成各種圖表,在工程應(yīng)用中起著重要的作用[3―5]。隨著研究的不斷深入,傳統(tǒng)計算方法也不斷得到補充和更新。文獻[6―7]考慮了梁的剪切效應(yīng)和土體非線性特征等影響因素,文獻[8―10]則分別提出了DQEM法、修正剛度矩陣法和無網(wǎng)格局部PetrovGalerkin法等新的計算模式。這些研究成果都大大豐富了彈性地基梁的計算理論。彈性地基梁傳統(tǒng)分析方法考慮地基與梁之間豎向變形協(xié)調(diào),而對兩者水平變形不協(xié)調(diào)導致的界面摩阻效應(yīng),一般認為對計算結(jié)果影響不大,可以忽略[1―2];而事實上,當梁與地基之間的接觸較為粗糙時,界面摩阻效應(yīng)的影響不能忽略[11―13]。不少學者對此進行了研究。文獻得出了能夠考慮水平摩阻力的彈性地基梁的部分解析解,但該解析解過于復雜,不便應(yīng)用;文獻采用桿系有限元法分析考慮水平摩阻力的彈性地基梁,可實現(xiàn)編程計算,但該法尚需假定滿足邊界條件的形函數(shù);文獻從結(jié)構(gòu)矩陣位移分析法角度改進Winkler地基模型而得到考慮水平力作用的計算方法,其假設(shè)梁底地基切向力為線性分布的合理之處尚值商榷。為進一步促進彈性地基梁計算理論的發(fā)展,本文擬從分步計算的思路出發(fā),考慮彈性地基梁豎向位移和水平位移的關(guān)系,采用分步計算方法求得考慮水平摩阻力的彈性地基梁的撓度及其內(nèi)力分布。1計算模型的構(gòu)建和分析思路1.1地基梁的變形類型本文主要研究彈性地基上的有限長梁計算,如不作特別說明,下述地基梁均指彈性地基上有限長梁,且作如下基本假定:1)地基梁屬各向同性Euler-Bernouli梁范疇,其變形滿足平截面假定和線彈性小變形假定。2)地基為具有水平和豎向反力的彈性支承體。其豎向受力和變形滿足Winkler地基假定,即該點豎向反力與其沉陷成正比;水平反力則與梁底和地基間的相對位移成正比。3)地基梁在外荷載作用下,不產(chǎn)生縱橫向耦合變形,其豎向位移和水平位移滿足簡單的幾何關(guān)系。4)僅考慮地基梁豎向位移導致梁軸線拉伸引起的地基與梁之間的相對水平位移,不考慮梁體本身平動產(chǎn)生的位移。1.2地基反力系參數(shù)根據(jù)上述假定,豎向地基反力qz和水平向地基反力qx分別為:式中:kx、kz分別為水平方向和豎直方向的地基反力系數(shù);u和w分別為梁在x方向和z方向的位移。由此建立彈性地基梁計算模型如圖1所示。1.3彈性地基梁水平位移與豎向位移間的關(guān)系為簡化計算,本文采用分步計算法,即首先不考慮摩阻力影響,計算此時豎向荷載作用下彈性地基梁的豎向位移;然后建立地基梁的水平位移與豎向位移之間的幾何關(guān)系,求出相應(yīng)的水平位移;求出各位移分量后,再利用式(1)求出水平方向和豎直方向地基反力,并作為荷載施加于彈性地基梁;最后,在所有荷載均知的情況下,即可求出梁任意截面的內(nèi)力,并可根據(jù)內(nèi)力重新計算其變形以及對地基梁進行強度和剛度分析。2在垂直負荷下，有限長梁的彎曲根據(jù)上述思路首先計算各種豎向荷載作用下彈性地基梁的撓度。2.1梁的抗彎剛度設(shè)均布荷載p作用下有限長梁撓度w為(圖2):其中:β為無量綱系數(shù),且有;EI為梁的抗彎剛度;b為梁的寬度;Q0、M0為文獻中計算參數(shù),且有:若取梁中點為坐標原點,根據(jù)對稱性原則,只需對梁的右段進行研究,由式(2)可得:2.2梁右段撓度分段函數(shù)同前可得對稱集中力F作用下有限長梁的撓度分段函數(shù)為(圖3):當0<x<c時:當c<x<l-c時:當l-c<x<l時:其中,Q1、M1為計算參數(shù),且有:同前取梁中點為坐標原點,對梁右段進行分析,可得撓度分段函數(shù)為:2.3部分撓度函數(shù)同前可得任意集中力F作用下有限長梁的撓度分段函數(shù)為(圖4):當x<c時:當c<x<l時:當集中力位于梁中點時可取梁中點為坐標原點,根據(jù)對稱性寫出x≥0部分的撓度函數(shù)為:其中Q2、M2、Q3、M3、Q4、M4為計算參數(shù),且有:2.4有限過載功能的局部分布同前可得局部均布荷載作用下有限長梁的撓度分段函數(shù)為(圖5):當0<x<a時:當a<x<l/2時:其中Q5、M5為計算參數(shù),且有:3單元水平位移和不定積分在豎向荷載作用下,梁體彎曲的同時產(chǎn)生拉伸變形,梁上各點將產(chǎn)生水平位移(圖6);選取梁單元曲線長度ds,其在x軸上的投影為dx,則該單元水平位移du即為ds與dx之差,故有:根據(jù)二項式定理:當t較小時,有:利用式(15),可將式(14)化簡為:則梁的水平位移為:式(17)為不定積分,其積分常數(shù)由已知的水平位移邊界條件確定。3.2地基梁上荷載分布將求得的水平位移u(x)和豎向位移w(x)代入式(1),即可求得地基的水平摩阻力和垂直反力;由此可得地基梁上荷載分布如圖7所示。由此可得任意截面m-m的內(nèi)力為(圖8):式中:xm為截面m-m的位置坐標;x1、x2為荷載p(x)的位置坐標,其他符號均見圖8所示。由內(nèi)力可重新計算彈性地基梁的撓度為:若考慮到彈性地基梁軸向變形和剪切變形對撓度計算的影響一般都很小,可忽略不計,則式(21)可簡化為:4計算與分析4.1載作用下有限長梁的分析結(jié)果為驗證分步計算法的可行性和合理性,選用文獻中的算例進行計算。其中彈性地基梁上的荷載分布如圖9所示,其主要計算參數(shù)如表1所示。利用前述豎向荷載作用下有限長梁的分析結(jié)果,采用分步計算法可得各結(jié)點的撓度w、剪力Q和彎矩M,并與文獻桿系有限元法計算結(jié)果進行比較。其最終結(jié)果如表2和表3所示。由表2和表3結(jié)果可見,分步計算法所得彎矩和撓度均與文獻桿系有限元法結(jié)果接近,表明本文計算是正確和可行的。然而,由于分步計算法不考慮彈性地基梁的縱橫向耦合變形,未能考慮水平摩阻效應(yīng)對剪力的影響,故無論軟土或硬土,各節(jié)點剪力與不考慮摩阻效應(yīng)的結(jié)果基本接近(誤差在0.5%以內(nèi))。4.2kx對地基梁剛度和彎矩的影響為進一步探討摩阻效應(yīng)、水平向地基反力系數(shù)kx等對地基梁內(nèi)力及撓度的影響,下面取兩端自由的彈性地基梁,長度l=29m,寬度b=3.0m,高度h=1.0m,梁抗彎剛度EI=5.125×106kN·m2。梁中點作用一個集中荷載F=1000kN。kz=3.0×104kN/m3,kx=0、kx=3.0×103kN/m3、kx=3.0×104kN/m3、kx=3.0×105kN/m3、kx=3.0×106kN/m3和kx=3.0×107kN/m3。采用分步計算法進行比較分析如下。圖10給出了不同kx下地基梁豎向撓度沿軸線的變化情況。由圖10可見,隨著kx的增加,梁的撓曲變形逐漸減小,但在梁端及其附近反而有所增大,其主要是由于水平摩阻力的存在導致梁的撓曲形態(tài)趨于平緩。圖11為梁身彎矩隨kx變化的關(guān)系曲線。顯見,隨著kx的增加,梁的彎矩逐漸減小,但在梁端附近反而略有增大,同理是由于水平摩阻力的存在導致地基梁剛度增大所致。此外,當kx>3.0×106kN/m3時,地基梁撓度和彎矩表現(xiàn)為突然急劇減小,其表明kx的取值對考慮水平摩阻力的地基梁計算有著顯著影響,因此在實際工程中保證kx取值的正確非常重要。圖12給出了不同kx下地基梁剪力沿軸線的變化。由圖12可見,隨著kx的增加,梁各點剪力均無甚變化。其原因是分步計算法不考慮地基梁的縱橫向耦合變形,未能考慮水平摩阻效應(yīng)對剪力的影響所致。5彈性地基有限長梁計算方法的選擇(1)本文在假定地基為具有水平和豎向反力的彈性支承體的基礎(chǔ)上,不考慮彈性地基梁的縱橫向耦合變形,導出了考慮水平摩阻力的分步計算方法,為地基梁計算理論提供了一種新的計算思路和方法。(2)彈性地基梁與地基之間的界面摩阻力是普遍存在的。當?shù)鼗^硬時,摩阻效應(yīng)對地基梁撓度及內(nèi)力的影響不容忽視,從工程的經(jīng)濟性原則出發(fā)工程設(shè)計應(yīng)予