柔性耗能防變器外鋼圍環(huán)的穩(wěn)定性分析

柔性耗能防變器外鋼圍環(huán)的穩(wěn)定性分析

船舶碰撞造成的橋梁嚴(yán)重破壞和坍塌，給運(yùn)輸、生物財(cái)產(chǎn)和社會(huì)環(huán)境造成重大經(jīng)濟(jì)損失。設(shè)計(jì)既能保護(hù)橋梁又不導(dǎo)致船舶受到嚴(yán)重?fù)p壞的防撞裝置受到廣泛重視。陳國虞等設(shè)計(jì)的柔性吸能防撞裝置,具有大幅消減船舶撞擊力,同時(shí)保護(hù)橋梁和船舶的功效,已在湛江海灣大橋主橋墩成功采用。為評(píng)估大型柔性吸能防撞裝置的防撞效果,全尺度、動(dòng)態(tài)、非線性數(shù)值模擬不可缺少。但由于一個(gè)完全的非線性動(dòng)態(tài)數(shù)值模擬計(jì)算量龐大,希望發(fā)展一個(gè)橋墩防船撞系統(tǒng)的簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)分析方法,對(duì)“船舶-防撞裝置-橋墩”的撞擊過程進(jìn)行預(yù)估并準(zhǔn)確計(jì)算裝置的等效彈性系數(shù)。針對(duì)以柔性防撞圈為核心元件設(shè)計(jì)的大型柔性防撞裝置,郭麗娜等建立了一種理想化同心圓橋墩防撞裝置模型,假設(shè)外鋼圍為剛性,通過理論分析得到了防撞裝置的等效彈性系數(shù)。本文改進(jìn)提出的模型,考慮外鋼圍彎曲變形特征,建立一個(gè)彈性基礎(chǔ)上的封閉曲梁分析模型,將經(jīng)典的曲梁理論和彈性基礎(chǔ)梁理論結(jié)合,分別研究同心圓形狀的橋墩防撞裝置模型在靜態(tài)集中力作用下的等效剛度和動(dòng)態(tài)沖擊載荷作用下的動(dòng)態(tài)力學(xué)響應(yīng)特性,為初步了解大型柔性防撞裝置的沖擊變形特征和整體優(yōu)化設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)性意見。1防護(hù)裝置的動(dòng)態(tài)特性新型柔性防撞裝置由外鋼圍、內(nèi)鋼圍和內(nèi)外鋼圍之間分布的柔性吸能鋼絲繩圈構(gòu)成,如圖1(a)所示。其中內(nèi)鋼圍直接構(gòu)筑在橋墩上,不可變形,外鋼圍承受船舶撞擊,鋼絲繩圈起緩沖消能作用。為評(píng)估防撞裝置的等效剛度和動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性,在如圖1(b)所示的簡(jiǎn)化模型中,將內(nèi)外鋼圍看成圓形封閉型曲梁,內(nèi)外鋼圍之間的分布柔性防撞圈等效為彈性基礎(chǔ)。根據(jù)對(duì)稱性取防撞裝置一半進(jìn)行分析,如圖1(c)所示。2模型中靜態(tài)等效剛性的解決方案和分析2.1曲梁微元回歸系數(shù)n,keir2,2d3vd3+2+v曲梁微元回歸系數(shù)n,ndp3,5+2d3vd3,5+2d3vd3+2+v在外力和彈性地基支撐力qy=-kv/R(比例系數(shù)k量綱為[力]/[長(zhǎng)度])作用下,外鋼圍發(fā)生彎曲變形。小變形情況下,外鋼圍的彎曲變形以鋼圍各點(diǎn)的徑向運(yùn)動(dòng)為主,切向運(yùn)動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)可忽略。在極坐標(biāo)系下,設(shè)θ點(diǎn)鋼圍的徑向位移為v(θ),將曲梁(模型)中的一段微元(圖2)(θ～θ+dθ)所有力沿周向s和徑向y方向投影,得到曲梁微元的力和力矩平衡方程組根據(jù)曲梁彎矩和轉(zhuǎn)角關(guān)系式Μ=-EΙR2(d2vdθ2+v)M=?EIR2(d2vdθ2+v)(2)經(jīng)整理得控制方程d5vdθ5+2d3vdθ3+(1+λ2)dvdθ=0d5vdθ5+2d3vdθ3+(1+λ2)dvdθ=0(3)式中λ2=kR3/EI,反映出柔性基礎(chǔ)(即分布柔性防撞圈)的剛度與外剛圍彎曲剛度比?？刂品匠?3)是五階常系數(shù)常微分方程,設(shè)α=√(√1+λ2-1)/2,β=√(√1+λ2+1)/2α=(1+λ2?????√?1)/2?????????????√,β=(1+λ2?????√+1)/2?????????????√,則方程(3)的通解為v=c1+c2e(α+iβ)θ+c3e(α-iβ)θ+c4e-(α+iβ)θ+c5e-(α-iβ)θ(4)其中c1～c5為待定常數(shù),通過邊界條件來確定。2.2鋼架內(nèi)剪力邊界條件根據(jù)實(shí)際問題,確定以下邊界條件a)對(duì)稱邊界條件:在θ=0處和θ=π處截面轉(zhuǎn)角為0,即dvdθ|θ=0=0,dvdθ|θ=π=0dvdθ∣∣θ=0=0,dvdθ∣∣θ=π=0(5-1)b)剪力邊界條件:在集中力作用點(diǎn)θ=0,梁的內(nèi)部剪力大小為外載荷的一半-F/2(考慮方向,見圖2),在θ=π處剪力為0,即Q|θ=0=-F2,Q|θ=π=0Q|θ=0=?F2,Q|θ=π=0(5-2)c)補(bǔ)充邊界條件:由于梁的圓周方向的抗壓縮剛度很大,從0到π范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)的圓弧的圓周周向總變形量近似為0,即∫π0v(θ)dθ=0(5-3)將上述邊界條件(5)代入通解(4),可解得v(θ)的表達(dá)式為2.3面形:雙形情況下d根據(jù)(6),計(jì)算外鋼圍半徑為5,右端點(diǎn)受到單位集中載荷(F=1)作用時(shí),具有不同“彎曲剛度/基礎(chǔ)剛度比”(λ-1)的梁的變形情況,如圖3所示?？梢钥闯?在外力作用下圓形曲梁同時(shí)發(fā)生向左方的平移和彎曲變形,曲梁的彎曲變形程度受剛度比值大小的影響:對(duì)于λ-1=√EΙ/kR3λ?1=EI/kR3???????√較低的情況,梁的彎曲變形更加集中于施加載荷區(qū)域,這表明相對(duì)于基礎(chǔ)(防撞圈)的支撐剛性而言,梁(外鋼圍)的抗彎剛度較弱,防撞裝置不能夠發(fā)揮變形同一性;對(duì)于λ-1較大情況,梁的彎曲變形很小,在外力作用下主要發(fā)生整體平動(dòng)。2.4粘彈性體非線性動(dòng)力系統(tǒng)的簡(jiǎn)化縮略令封閉曲梁半徑R→+∞,問題等價(jià)于彈性基礎(chǔ)上無限長(zhǎng)梁,將弧長(zhǎng)坐標(biāo)s=θR用直角坐標(biāo)x代替,封閉曲梁沿徑向位移v(x)就是直梁的橫向撓度。將公式(6)改寫為v(θ)=Ρ8EΙ(αR)(βR)(α2R2+β2R2)[-4αβR(α2+β2)π+(αRi+βR)eα+iβRθRe2(α+iβ)π-1-(αRi-βR)eα-iβRθRe2(α-iβ)π-1+(αRi+βR)e-α+iβRθR1-e-2(α+iβ)π-(αRi-βR)e-α-iβRθR1-e-2(α-iβ)π]注意到R→+∞時(shí),α→+∞,β→+∞,令ψ=limR→+∞αR=limR→+∞βR=4√k4REΙ,則上式簡(jiǎn)化縮略為無限長(zhǎng)彈性基礎(chǔ)上直梁的位移表達(dá)式v(x)=limR→+∞v(θR)=Ρe-ψx8EΙψ3[sin(ψx)+cos(ψx)](7)令Κ=kR(即為單位長(zhǎng)度的分布彈簧的剛度)統(tǒng)一量綱,(7)結(jié)果與高等材料力學(xué)教材給出的彈性基礎(chǔ)上無限長(zhǎng)梁的結(jié)果完全一致,可見封閉環(huán)形地基梁的結(jié)果(6)可以退化成彈性地基直梁?jiǎn)栴},從側(cè)面驗(yàn)證了所得結(jié)論的正確性。2.5實(shí)行外鋼圍等效剛度的必要性由公式(6),令F=1,載荷作用點(diǎn)(θ=0)處位移即相當(dāng)于防撞裝置的等效柔度CC=λ28αβk(α2+β2)[-4αβ(α2+β2)π+(αi+β)e-(α+iβ)πe(α+iβ)π-e-(α+iβ)π-(αi-β)e-(α-iβ)πe(α-iβ)π-e-(α-iβ)π+(αi+β)e(α+iβ)πe(α+iβ)π-e-(α+iβ)π-(αi-β)e(α-iβ)πe(α-iβ)π-e-(α-iβ)π](8)柔度的倒數(shù)即為防撞裝置的等效剛度,其無量綱化數(shù)值為ˉk=C-1/2πk,根據(jù)(8)可計(jì)算得到ˉk=C-1/2πk隨λ-1=√EΙ/kR3的變形情況,如圖4所示:在給定半徑R和彈性系數(shù)k的情況下,圖4橫坐標(biāo)表征外鋼圍抗彎曲剛度的大小,而縱坐標(biāo)表征防撞裝置的等效剛度,可見:1)防撞裝置的等效剛度數(shù)值取決于防撞裝置外鋼圍剛度與鋼絲繩圈剛性系數(shù)和分布密度的比值,在λ-1=√EΙ/kR3值取較小數(shù)值的范圍內(nèi)(λ-1=0～1),裝置的等效剛度隨外鋼圍剛度增大而增大。2)當(dāng)外鋼圍剛度趨向無窮大時(shí)(即外鋼圍為剛性),裝置等效剛度系數(shù)近似為一定值0.5。該值表明,當(dāng)外鋼圍剛度極大時(shí),裝置的等效剛度恰為全部鋼絲繩圈并聯(lián)時(shí)的剛性系數(shù)的一半。該結(jié)論與郭麗娜等人在中研究杭州灣跨海大橋柔性防撞裝置時(shí),假設(shè)外鋼圍是剛性,通過理論推導(dǎo)得到的一種理想同心圓橋墩防撞裝置模型的等效平動(dòng)彈性系數(shù)一致。3梁式振動(dòng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)3.1慣性力的確定對(duì)于封閉曲梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng),考慮在t=0時(shí)刻,對(duì)外鋼圍施加一個(gè)沖擊載荷F(t)=qH(t),其中H(t)為階躍函數(shù),如圖5所示和靜態(tài)情況不同,此時(shí)徑向位移是與時(shí)間相關(guān)的函數(shù),外鋼圍徑向除受基礎(chǔ)力外,還需要考慮單位弧長(zhǎng)慣性力-ρl(?2v/?t2)(ρl為外鋼圍的線密度,?2v/?t2表徑向位移引起的加速度,負(fù)號(hào)表示慣性力向外)。設(shè)t時(shí)刻θ外鋼圍的徑向位移記為v(θ,t),根據(jù)圖2,曲梁徑向力qs=-kv/R-ρld2vdt2|t=tx。將其代入方程組(1),以(θ,t)為空間和時(shí)間坐標(biāo),得到曲梁微元的力和力矩平衡方程組{?Ν(θ,t)?θ=Q(θ,t)?Q(θ,t)?θ+Ν(θ,t)=kv(θ,t)+ρlR?2v(θ,t)?t2?Μ(θ,t)?θ=Q(θ,t)R整理得到曲梁的動(dòng)力學(xué)控制方程為?5v?θ5+2?3v?θ3+(1+λ2)?v?θ+ρlR4EΙ?3v?t2?θ=0(9)3.2初始條件和邊界條件類似曲梁靜態(tài)載荷下邊界條件(5),確定動(dòng)態(tài)載荷作用下邊界條件如下(a)對(duì)稱邊界條件?v?θ|θ=0=?v?θ|θ=π=0(10)(b)剪力邊界條件Q(π,t)=0,Q(0,t)=-q2Η(t)(11)(c)補(bǔ)充邊界條件∫π0v(θ,t)dθ=0(12)附加初始條件:在t=0時(shí)刻,外鋼圍各點(diǎn)的位移和速度均為零,即v(θ,0)=?v?t(θ,0)=0(13)由此可知,彈性基礎(chǔ)上封閉型梁在沖擊載荷作用下動(dòng)態(tài)響應(yīng)是一個(gè)確定的初邊值問題,其最終控制方程組包括偏微分方程(9)、邊界條件(10～12)和初始條件(13)。3.3鋼圍laplace變換域的解析確定采用Laplace變換方法求解初邊值問題(10～13)。記L[v(t,θ),t→p]=F(p,θ),p為變換域參數(shù)。引入變量a1=1λ2=EΙ/kR3(外鋼圍抗彎剛度與彈性基礎(chǔ)剛度之比),a2=k/Rρl(單位弧長(zhǎng)彈簧剛度k/R與線密度ρl之比),a3=kR/q(無量綱化外載荷),對(duì)(9)和邊界條件(10～12)進(jìn)行Laplace變換有解方程組(14)得到F(p,θ)的解為其中α′,β′均為p的已知函數(shù)。α′=√(√1+1a1+p2a1a2-1)/2β′=√(√1+1a1+p2a1a2+1)/2定義無量綱化位移ˉv(θ,t)≡v(θ,t)/R,Laplace變換為ˉF(p,θ)=L[ˉv(p,θ),t→p]=F(p,θ)/R,則ˉv(θ,t)=L-1[ˉF(p,θ),p→t]。由(15),ˉF(p,θ)的表達(dá)式為雖然在Laplace變換域,外鋼圍的位移的變換解可以用解析方程表達(dá)(15或16),但是這些解的形式過于復(fù)雜,難以通過解析方法得到反變換。為此采用J.Abate和P.P.Valko給出的固定Talbot(FT)的多精度Laplace數(shù)值逆變換算法。類似,直接調(diào)用FT算法的MATHEMATICA函數(shù),對(duì)(16)解進(jìn)行數(shù)值逆變換,即得無量綱化位移ˉv(θ,t)的具體數(shù)值。3.4對(duì)結(jié)果的分析與討論3.4.1外鋼圍振動(dòng)分析本文研究θ=0,θ=π/4,θ=π/2,θ=3π/4,θ=π五個(gè)特殊點(diǎn)處的振動(dòng)情況,通過它們來反應(yīng)整個(gè)模型的沖擊動(dòng)力學(xué)特征。由前面分析知道,反映外鋼圍(即模型)特性及載荷的參數(shù)有:a1=1λ2=EΙ/kR3,a2=k/ρlR,a3=kR/q。(一)圖6反映的是參數(shù)a1(1λ2)(即外鋼圍剛度與柔性基礎(chǔ)剛度相對(duì)大小)對(duì)模型動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響,固定a2=1,a3=1,分別取a1=2,1,0.5,觀察以下三圖發(fā)現(xiàn):1.在理想情況下(即只考慮彈性),封閉型曲梁將發(fā)生無衰減的振動(dòng);2.從θ=0到θ=π,各點(diǎn)起振的時(shí)間不同,具有延時(shí)現(xiàn)象,反映了彎曲波在曲梁(外鋼圍)中的傳播過程。由波動(dòng)理論知,當(dāng)剛度越大(即相對(duì)剛度a1越大)彎曲波傳播的速度就越大,延時(shí)現(xiàn)象就越是不明顯,以下三圖外鋼圍的相對(duì)剛度依次降低,即延時(shí)現(xiàn)象越來越明顯,這與圖形顯示情況符合;3.關(guān)于θ=π/2對(duì)稱的各點(diǎn)振動(dòng)情況基本相同(具有相同的振幅和頻率),只是初相位(起振時(shí)間)不同?？芍?dāng)兩者相位差較小時(shí),外鋼圍的變形更多的是平動(dòng)。根據(jù)上面結(jié)論2,可推知外鋼圍相對(duì)剛度a1越大(越硬)變形越不明顯,相對(duì)剛度越小變形越明顯,有時(shí)將會(huì)在θ=0處發(fā)生塌陷;4.非對(duì)稱點(diǎn)間振動(dòng)的頻率和振幅皆不同。本文考慮的是各點(diǎn)的徑向振動(dòng)情況,因此越接近頂部(θ=π/2)的地方抗變形的能力越強(qiáng),振幅就越小。由圖知a1值(外鋼圍相對(duì)剛度)越大,頂部(θ=π/2)的相對(duì)振幅越小,振動(dòng)越不明顯。同時(shí),各非對(duì)稱點(diǎn)間振動(dòng)頻率也隨著a1減小而減小。圖6-a中θ=π/2處頻率將近是θ=0處的4倍,而圖6-b中接近于3倍,圖6-c中卻是2倍;(二)圖7反映的是參數(shù)a2(與單位弧長(zhǎng)彈簧系數(shù)k/R成正比,與線密度ρl成反比)對(duì)模型動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響,固定a1=1,a3=1取a2=2,10,觀察發(fā)現(xiàn):a2越大外鋼圍整體的振動(dòng)頻率越大,而各點(diǎn)的振幅和振動(dòng)相對(duì)頻率卻不變,和圖(6-b)相同,θ=π/2處的頻率是θ=0處的3倍。可知,a2的取值與外鋼圍整體振動(dòng)頻率相關(guān),且取值越大整體的振動(dòng)頻率越大,而與外鋼圍的最大振幅和各點(diǎn)間的相對(duì)振動(dòng)頻率和相對(duì)振幅無關(guān)。(三)圖8反映的是參數(shù)a3(與沖擊載荷的大小和柔性基礎(chǔ)剛度有關(guān))對(duì)模型動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響,固定a1=1,a2=1取a3=5,10畫出θ=0,θ=π/4,θ=π/2,θ=3π/4,θ=π五點(diǎn)處的位移-時(shí)間曲線,如圖8所示。比較圖(8-a)(8-b)(6-b)可發(fā)現(xiàn):a3與各點(diǎn)振動(dòng)的振幅成正比,當(dāng)a3擴(kuò)大5倍時(shí),振幅縮小到原來的1/5,擴(kuò)大10倍時(shí),振幅縮小到原來的1/10,而外鋼圍的整體頻率和其上各點(diǎn)的相對(duì)頻率卻不變?？梢奱3只與各點(diǎn)振幅相關(guān),而與整體頻率和各點(diǎn)的相對(duì)頻率和相對(duì)振幅無關(guān)。3.4.2外鋼圍振動(dòng)的頻率和時(shí)間分析為了更好地研究外鋼圍的動(dòng)態(tài)響應(yīng),取某幾個(gè)時(shí)刻分析外鋼圍的整體位移。由3.4.1可知外鋼圍整體振動(dòng)的周期約為6,故取t=0,t=1,t=2,t=3,t=4,t=5六個(gè)時(shí)刻分析外鋼圍的位置。畫出a1=2,a2=1,a3=0.5三種情形下t=0,t=1,t=2,t=3,t=4,t=5六個(gè)時(shí)刻的位置如圖9所示。從圖9可以較直觀的看到一個(gè)周期外鋼圍的振動(dòng)情況,比較圖9和圖3可以看出,無論外鋼圍承受靜態(tài)載荷還是動(dòng)態(tài)載荷,變形過程中θ=0附近處都產(chǎn)生“凹陷”現(xiàn)象,發(fā)生彎曲變形。且隨著外鋼圍剛度的增大,整體彎曲變形越不明顯,發(fā)生平動(dòng)。這和上文中對(duì)參數(shù)a1分析所得結(jié)論3對(duì)應(yīng)。4外鋼圍的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析本文在柔性防撞裝置的基礎(chǔ)上,提出了彈性基礎(chǔ)上封閉圓環(huán)形曲梁模型,利用曲梁理論研究了外鋼圍分別在靜態(tài)集中力作用下和沖擊載荷作用下的變形特征。分析得到:1)在靜態(tài)集中力載荷作用下,一定范圍內(nèi),隨著外鋼圍剛度的增大,裝置等效剛度線性增大。當(dāng)外鋼圍剛度極大時(shí),裝置等效彈性系數(shù)為裝置整體彈性地基系數(shù)的一半。該結(jié)果與郭麗娜等人在中