【解析】福建省廈門市高三高中畢業(yè)班5月質(zhì)量檢查（二）數(shù)學(xué)（理）試題

廈門市2020屆高中畢業(yè)班5月質(zhì)量檢查理科數(shù)學(xué)（二）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填在答題卡和試卷的指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在試卷上無效.3.考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合，再求得解.【詳解】由題得，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)不等式的解法，考查集合的并集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.，則的虛部為（）A.－1 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】，故的虛部為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查學(xué)生運(yùn)算能力，是一道容易題.經(jīng)過點(diǎn)，其漸近線方程為，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程可設(shè)其方程為，再根據(jù)雙曲線過點(diǎn)，可求出的值，即可得到答案；【詳解】雙曲線漸近線方程為，設(shè)雙曲線的方程為：，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，，雙曲線的方程為：，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的方程，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4.從編號(hào)0，1，2，…，79的80件產(chǎn)品中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取容量是10的樣本，若編號(hào)為58的產(chǎn)品在樣本中，則該樣本中產(chǎn)品的最大編號(hào)為（）A.72 B.74 C.76 D.78【答案】B【解析】【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義求出樣本間隔即可得到結(jié)論．【詳解】樣本間隔為，設(shè)第一個(gè)號(hào)碼為，編號(hào)為58的產(chǎn)品在樣本中，則，則第一個(gè)號(hào)碼為2，則最大的編號(hào)，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，求解樣本間隔是解決本題的關(guān)鍵．在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通過代入特殊值及利用函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】解：對(duì)于A，，是偶函數(shù)，圖形關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減，當(dāng)，所以A正確；當(dāng)時(shí)，，無意義，故排除B；又，則，故排除D；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以不單調(diào)，故排除C；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查通過函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式，這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇，屬于基礎(chǔ)題.6.下圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板上釘著若干排互相平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃∏驈纳戏降耐ǖ揽诼湎潞?，將與層層小木塊碰撞，最后掉入下方的某一個(gè)球槽內(nèi).若小球下落過程中向左、向右落下的機(jī)會(huì)均等，則小球最終落入⑥號(hào)球槽的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】小球落下要經(jīng)過次碰撞，每次向左、向右落下的概率均為，并且相互對(duì)立，最終落入⑥號(hào)球槽五次向右，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件發(fā)生的概率公式，即可求解.【詳解】設(shè)這個(gè)球落入⑥號(hào)球槽為事件，則落入⑥號(hào)球槽小球五次向右，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率求法，將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為概率模型是解題的關(guān)鍵.屬于較易題.，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，，則，且，所以，，又,即,則，即，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式，屬基礎(chǔ)題.中，以為始邊作角與角，它們的終邊關(guān)于，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得到，再由兩角差的余弦及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求解.【詳解】∵角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，

∴，

.

故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角差的余弦公式的應(yīng)用，屬于較易題.F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（）A.9 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線方程，與聯(lián)立得到，然后由求解.【詳解】拋物線C：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線方程為，與聯(lián)立得：，由韋達(dá)定理得：，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系以及三角形面積的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.10.公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面1000米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當(dāng)比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他100米，當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí)，烏龜領(lǐng)先他10米，當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)10米時(shí)，烏龜先他1米.所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為0.001米時(shí)，烏龜爬行的總距離為（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】根據(jù)烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列，寫出和，再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由題意，烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列，其中，且，所以烏龜爬行的總距離為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列應(yīng)用，其中解答中正確理解題意，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.的直角三角形和一塊等腰直角三角形組成，如圖所示，，，，．現(xiàn)將兩塊三角板拼接在一起，取中點(diǎn)與中點(diǎn)，則下列直線與平面所成的角不為定值的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過證明平面，可以找到與平面所成的角，計(jì)算可知都為定值，由此可得答案.【詳解】因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，又，且，所以平面，所以與平面所成的角分別為和，它們相等，等于45°，根據(jù)直線與平面所成角的定義知，與平面所成的角為故只有與平面所成的角不為定值.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的判定定理，考查了直線與平面所成角，屬于基礎(chǔ)題.，若存在唯一整數(shù)使得，則的取值范圍是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用參變分離，將問題轉(zhuǎn)化為與圖象之間的關(guān)系，即可得答案；【詳解】，令，則，當(dāng)；當(dāng)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，如圖所示：恒過定點(diǎn)，且，，，，存在唯一整數(shù)使得，當(dāng)時(shí)，存在唯一的整數(shù)使得命題成立，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式解的整數(shù)根問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意利用半分離法，將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系問題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.，滿足，則與的夾角是_________.【答案】【解析】【分析】將兩邊平方，代值計(jì)算即可.【詳解】設(shè)與的夾角是，由題意兩邊平方后，得：，因?yàn)?，為單位向量，?，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量夾角的求解，涉及數(shù)量積運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.14.某公益基金收到甲乙丙三人的20萬、25萬、30萬三筆捐款（一人捐一筆款），記者采訪這三兄弟時(shí)，甲說：“乙捐的不是最少.”乙說：“甲捐的比丙多.”丙說：“若我捐的最少，則甲捐的不是最多.”根據(jù)這三人的回答，確定乙捐了_________萬.【答案】30【解析】【分析】根據(jù)三人的話進(jìn)行推理可得答案．【詳解】由甲乙兩人的話知丙捐的是最少的，再由丙的話知甲捐的居中，因此乙捐了的是最多的為30萬元．故答案為：30.【點(diǎn)睛】本題考查推理，掌握推理方法是解題基礎(chǔ)．名男生和名女生參與完成項(xiàng)工作，每人參與一項(xiàng)，每項(xiàng)工作至少由名男生和名女生完成，則不同的安排方式共有________種（用數(shù)字作答）.【答案】1296【解析】【分析】先從4個(gè)男生選2個(gè)一組，將4人分成三組，然后從4個(gè)女生選2個(gè)一組，將4人分成三組，然后全排列即可.【詳解】由于每項(xiàng)工作至少由名男生和名女生完成，則先從4個(gè)男生選2個(gè)一組，將4人分成三組，所以男生的排法共有，同理女生的排法共有，故不同的安排共有種.故答案為：1296【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力.16.一次臺(tái)球技術(shù)表演節(jié)目中，在臺(tái)球桌上，畫出如圖正方形，在點(diǎn)E，F(xiàn)處各放一個(gè)目標(biāo)球，表演者先將母球放在點(diǎn)A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點(diǎn)E，F(xiàn)處的目標(biāo)球，最后停在點(diǎn)C處，若，，，，則該正方形的邊長為_________.【答案】【解析】【分析】連接、，在中，利用余弦定理求出，由正弦定理求出，從而求出；在中，利用余弦定理求出，進(jìn)而即可求出邊長的值．【詳解】連接、，如圖所示，中，由余弦定理得，，解得；由正弦定理得，，解得，所以，所以在中，由余弦定理得，，解得，所以該正方形的邊長為（）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理在解三角形中應(yīng)用，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22題、第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.滿足，，且是等差數(shù)列.（1）求；（2）設(shè)前項(xiàng)和為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，求出，即得；（2）利用錯(cuò)位相減法求.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，即，解得，，即.（2），，兩式相減可得，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查了錯(cuò)位相減法求和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.18.如圖，在五面體中，平面，平面，.（1）求證：；（2）若，，且二面角的大小為，求二面角的大小.【答案】（1）證明見詳解；（2）.【解析】【分析】（1）由兩條直線同時(shí)垂直平面得兩直線平行，再利用線面平行的性質(zhì)定理，即可證明線線平行；（2）如圖，取的中點(diǎn)為，連接,設(shè)與的交點(diǎn)為，連接,利用二面角的知識(shí)，求出，連接,再利用線面垂直推導(dǎo)線線垂直和二面角的知識(shí)，得出即為所求角，把對(duì)應(yīng)值代入即可得答案.【詳解】（1）∵面，面，∴又面，面，∴面又面，面面，∴（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接,設(shè)與的交點(diǎn)為，連接,∵面，面，∴，．∵，∴，．又面，面，且面面．∴二面角的平面角．又在中，，∴是邊長為2的正三角形，∴,∵平面，∴,∵,∴面，由（1）知，又，，∴四邊形為正方形，∴，又，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴面，∴，取的中點(diǎn)為，連接,∴，∵，∴面,∴,∴即為二面角所成的平面角，∵是邊長為2的正三角形，四邊形為正方形，∴，,∴，∴，∴二面角的平面角大小為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行性質(zhì)定理、線面垂直性質(zhì)定理、二面角的大小求解，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力.屬于較難題.19.一款小游戲的規(guī)則如下：每輪游戲要進(jìn)行三次，每次游戲都需要從裝有大小相同的2個(gè)紅球，3個(gè)白球的袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的“兩個(gè)都是紅球”出現(xiàn)3次獲得200分，若摸出“兩個(gè)都是紅球”出現(xiàn)1次或2次獲得20分，若摸出“兩個(gè)都是紅球”出現(xiàn)0次則扣除10分（即獲得分）．（1）設(shè)每輪游戲中出現(xiàn)“摸出兩個(gè)都是紅球”的次數(shù)為，求的分布列；（2）玩過這款游戲的許多人發(fā)現(xiàn)，若干輪游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了，請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析解釋上述現(xiàn)象．【答案】（1）分布列見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）求出每次游戲，出現(xiàn)“兩個(gè)都是紅球”的概率為，再根據(jù)二項(xiàng)分布可求得的分布列；（2）設(shè)每輪游戲得分為，進(jìn)而求出的期望值為負(fù)數(shù)，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）每次游戲，出現(xiàn)“兩個(gè)都是紅球”的概率為．可能的取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為：0123（2）設(shè)每輪游戲得分為．由（1）知，的分布列為：20200的數(shù)學(xué)期望為．這表明，獲得分?jǐn)?shù)的期望為負(fù)．因此，多次游戲之后大多數(shù)人的分?jǐn)?shù)減少了．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布模型、離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意根據(jù)期望為負(fù)解決實(shí)際問題.，點(diǎn)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)為等腰直角三角形，且.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，總使得為銳角，求直線斜率的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由題意可知：由，求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，由，由為銳角，則，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，即可求得直線斜率的取值范圍．【詳解】解：（Ⅰ）根據(jù)題意是等腰直角三角形，，設(shè)由得則代入橢圓方程得橢圓的方程為（Ⅱ）根據(jù)題意，直線的斜率存在，可設(shè)方程為設(shè)由得由直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)則即得又為銳角則即②由①②得或故直線斜率可取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，韋達(dá)定理，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．，其中.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，（其中），且的取值范圍為，求的取值范圍.【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，將導(dǎo)數(shù)的正負(fù)轉(zhuǎn)化成研究一元二次函數(shù)的根的分布問題；（2）利用韋達(dá)定理得到，，將轉(zhuǎn)化成關(guān)于的表達(dá)式，再利用換元法令，從而構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的值域可得自變量的范圍，進(jìn)而得到的取值范圍.【詳解】解：（1）.令，則.①當(dāng)或，即時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.②當(dāng)，即時(shí)，由，得或；由，得，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，有兩極值點(diǎn)，（其中）.由（1）得，為的兩根，所以，.所以.令，則，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，而，，所以，又，易知在上單調(diào)遞增，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、已知雙元函數(shù)的值域求參數(shù)的取值范圍，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意換元法的應(yīng)用.（二）選考題：