【數(shù)學(xué)】2023-2024學(xué)年高一上人教A版（2019）必修第一冊 周期性與奇偶性

第一課時周期性與奇偶性5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)第五章三角函數(shù)課標(biāo)要求1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義.2.會求正弦函數(shù)y＝sinx、余弦函數(shù)y＝cosx的周期.3.掌握函數(shù)y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，會判斷簡單三角函數(shù)的奇偶性.素養(yǎng)要求利用y＝sinx，y＝cosx的圖象，探索y＝sinx，y＝cosx的周期性、奇偶性，重點提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識探究內(nèi)容索引互動合作研析題型關(guān)鍵能力提升拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識探究一、正弦、余弦函數(shù)的周期性1.問題觀察f(x)的部分圖象，思考下列問題：(1)觀察圖形，函數(shù)圖象每相隔多少個單位重復(fù)出現(xiàn)？提示每相隔1個單位重復(fù)出現(xiàn).提示自變量x增加2π的整數(shù)倍時，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，圖象發(fā)生“周而復(fù)始”的變化.2.填空(1)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個______常數(shù)T，使得對每一個x∈D，都有x＋T∈D，且_________________，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的______. (2)如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個____________，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的____________. (3)正弦、余弦函數(shù)的周期性

正弦函數(shù)y＝sinx(x∈R)和余弦函數(shù)y＝cosx(x∈R)都是周期函數(shù)，________(k∈Z，且k≠0)都是它們的周期，最小正周期為______.非零f(x＋T)＝f(x)周期最小的正數(shù)最小正周期2kπ2ππ(2)函數(shù)f(x)＝sin(2x)的最小正周期是________.解析由f(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin(2x＋2π)＝sin(2x)＝f(x)，得f(x)的最小正周期為π.二、正弦、余弦函數(shù)的奇偶性1.問題根據(jù)誘導(dǎo)公式三可知，對于x∈R，sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，這說明正弦函數(shù)、余弦函數(shù)具備怎樣的性質(zhì)？

提示函數(shù)y＝sinx是奇函數(shù)，函數(shù)y＝cosx是偶函數(shù).2.填空正弦函數(shù)是____函數(shù)；余弦函數(shù)是____函數(shù).奇偶BC3.做一做(多選)下列函數(shù)中是周期為2π的偶函數(shù)的是(

)×4.思考辨析正確的在后面的括號內(nèi)打“√”，錯誤的打“×”. (1)因為函數(shù)f(x)＝x2滿足f(－3＋6)＝f(－3)，所以f(x)＝x2是以6為周期的周期函數(shù).()√√√HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互動合作研析題型關(guān)鍵能力提升2例1求下列函數(shù)的周期： (1)y＝sin4x，x∈R；題型一三角函數(shù)的周期(3)y＝|sinx|，x∈R.解作圖如下：觀察圖象可知最小正周期為π.思維升華訓(xùn)練1求下列函數(shù)的最小正周期：例2判斷下列函數(shù)的奇偶性：題型二三角函數(shù)的奇偶性因為任意x∈R，都有－x∈R.又f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sinx＝－f(x)，∵定義域不關(guān)于原點對稱，∴該函數(shù)是非奇非偶函數(shù).1.判斷函數(shù)奇偶性的兩個關(guān)鍵點(1)看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；(2)看f(－x)與f(x)的關(guān)系.2.對于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡后再判斷.3.研究函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)遵循“定義域優(yōu)先”的原則.思維升華解(1)函數(shù)的定義域為R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù).(2)由1－cosx≥0且cosx－1≥0，得cosx＝1，從而x＝2kπ，k∈Z，此時f(x)＝0，故該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).D題型三奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用例3(1)下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是π的函數(shù)是(

)D遷移1若將例3(2)題中的“偶函數(shù)”改為“奇函數(shù)”，其他條件不變，結(jié)果如何？所以函數(shù)y＝f(x)的周期T＝π.又f(x)是偶函數(shù)，1.當(dāng)函數(shù)值的出現(xiàn)具有一定的周期性時，可以首先研究它在一個周期內(nèi)的函數(shù)值的變化情況，再給予推廣求值.2.判斷函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常數(shù)，且A≠0，ω>0)是否具備奇偶性，關(guān)鍵是看它能否通過誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為y＝Asinωx(A≠0，ω>0)或y＝Acosωx(A≠0，ω>0)其中的一個.思維升華偶函數(shù)±2課堂小結(jié)2.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，正弦曲線和余弦曲線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.3.判斷函數(shù)的奇偶性，必須堅持“定義域優(yōu)先”的原則，對于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡后再判斷.TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成PARTONED2.函數(shù)y＝4sin(2x－π)的圖象關(guān)于(

)B解析因為y＝4sin(2x－π)＝－4sin2x是奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對稱.3.設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是(

)B解析由f(－x)＝f(x)，則f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱.由f(x＋2)＝f(x)，則f(x)的周期為2，選項B滿足題設(shè).4.(多選)下列函數(shù)中周期為π，且為偶函數(shù)的是(

)AC解析A中，由y＝|cosx|的圖象知，y＝|cosx|是周期為π的偶函數(shù)，所以A正確；A17.若函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<π)在R上是偶函數(shù)，則φ＝________.解析∵函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)在R上是偶函數(shù)，9.判斷下列函數(shù)的奇偶性：解f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，∴f(x)為奇函數(shù).(2)f(x)＝cosx－x3sinx.解f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，∵f(－x)＝cos(－x)－(－x)3sin(－x)＝cosx－x3sinx＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù).∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.又f(x)是以π為周期的偶函數(shù)，∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，DA.10 B.11 C.12 D.13又k∈N*，所以正整數(shù)k的最小值為13.(1)求函數(shù)f(x)的定義域并判斷函數(shù)的奇偶性；解由cosx＋1≠0，得x≠2kπ＋π，k∈Z，所以函數(shù)f(x)的定義域為{x|x∈R，x≠2kπ＋π，k∈Z}，＝2－cosx