函數(shù)的極值與最值

例2第一頁第二頁，共32頁。第二頁第三頁，共32頁。第三頁第四頁，共32頁。第四頁第五頁，共32頁。，例3：

函數(shù)

在

時(shí)有極值10，則a，b的值為（）A、或B、或C、D、以上都不對(duì)

例4：解:由題設(shè)條件得：解之得注意代入檢驗(yàn)

注意：f/(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件第五頁第六頁，共32頁。已知函數(shù)極值情況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式,進(jìn)而研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，注意兩點(diǎn)：(1)常根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性．已知極值求參數(shù)考點(diǎn)二第六頁第七頁，共32頁。極值問題的綜合應(yīng)用主要涉及到極值的正用和逆用，以及與單調(diào)性問題的綜合，題目著重考查已知與未知的轉(zhuǎn)化，以及函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想在解題中的應(yīng)用，在解題過程中，熟練掌握單調(diào)區(qū)間問題以及極值問題的基本解題策略是解決綜合問題的關(guān)鍵．函數(shù)極值的綜合應(yīng)用考點(diǎn)三第七頁第八頁，共32頁。例5

設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若關(guān)于x的方程f(x)＝a有三個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】(1)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值.(2)由(1)的結(jié)論，問題轉(zhuǎn)化為y＝f(x)和y＝a的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.第八頁第九頁，共32頁。第九頁第十頁，共32頁。第十頁第十一頁，共32頁?！久麕燑c(diǎn)評(píng)】用求導(dǎo)的方法確定方程根的個(gè)數(shù),是一種很有效的方法．它通過函數(shù)的變化情況，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判斷方程根的個(gè)數(shù)．第十一頁第十二頁，共32頁。1．極值的概念理解在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)指的是自變量的值，極值指的是函數(shù)值．請(qǐng)注意以下幾點(diǎn)：(1)極值是一個(gè)局部概念．由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)最大或最?。椒ǜ形虻谑摰谑?，共32頁。(2)函數(shù)的極值不一定是惟一的，即一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值或極小值可以不止一個(gè)．(3)極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系，即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，x1是極大值點(diǎn)，x4是極小值點(diǎn)，而f(x4)＞f(x1)．第十三頁第十四頁，共32頁。2．極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(1)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，但是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，即“點(diǎn)x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)”是“f′(x0)＝0”的充分但不必要條件；(2)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)和右側(cè)f′(x)的符號(hào)不同.如果在x0的兩側(cè)f′(x)的符號(hào)相同，則x0不是極值點(diǎn)．第十四頁第十五頁，共32頁。二、新課——函數(shù)的最值xX2oaX3bx1y觀察右邊一個(gè)定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)y=f(x)的圖象.發(fā)現(xiàn)圖中____________是極小值，_________是極大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)問題在于如果在沒有給出函數(shù)圖象的情況下，怎樣才能判斷出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？第十五頁第十六頁，共32頁。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-----求函數(shù)最值.(2)將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)(端點(diǎn)處)比較,其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)最小值.求f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值的步驟(1)求f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值(極大值或極小值)所有極值連同端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行比較，最大的為最大值，最小的為最小值第十六頁第十七頁，共32頁?！湫屠}61、求出所有導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)；2、計(jì)算；3、比較確定最值。第十七頁第十八頁，共32頁。※動(dòng)手試試求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值：第十八頁第十九頁，共32頁。（浙江）（本題滿分12分）已知a為實(shí)數(shù)，（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)；（Ⅱ）若，求在[-2，2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若

在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是遞增的，求a的取值范圍。※典型例7題第十九頁第二十頁，共32頁。第二十頁第二十一頁，共32頁。小結(jié)

求在[a,b]上連續(xù),(a,b)上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值的步驟:(1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;(2)將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.第二十一頁第二十二頁，共32頁。※思考反思：本題屬于逆向探究題型；

其基本方法最終落腳到比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值大小上，從而解決問題，往往伴隨有分類討論。第二十二頁第二十三頁，共32頁。2、求最大（最?。┲祽?yīng)用題的一般方法:(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，把實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)問題，建立函數(shù)關(guān)系式，這是關(guān)鍵一步;(2)確定函數(shù)定義域，并求出極值點(diǎn);(3)比較各極值與定義域端點(diǎn)函數(shù)的大小，結(jié)合實(shí)際，確定最值或最值點(diǎn).1、實(shí)際應(yīng)用問題的表現(xiàn)形式，常常不是以純數(shù)學(xué)模式反映出來:首先，通過審題，認(rèn)識(shí)問題的背景，抽象出問題的實(shí)質(zhì);其次，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,再解.應(yīng)用第二十三頁第二十四頁，共32頁。例1、在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的方底箱子，箱底邊長為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？第二十四頁第二十五頁，共32頁。解:設(shè)箱底邊長為x,則箱高h(yuǎn)=(60-x)/2.箱子容積

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由題意可知,當(dāng)x過小(接近0)或過大(接近60)時(shí),箱子的容積很小,因此,16000是最大值.答:當(dāng)x=40cm時(shí),箱子容積最大,最大容積是16000cm3.第二十五頁第二十六頁，共32頁。2、若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0，則不需與端點(diǎn)比較，f(x0)即是所求的最大值或最小值.說明1、設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式；(所說區(qū)間的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間)確定出定義域；所得結(jié)果符合問題的實(shí)際意義第二十六頁第二十七頁，共32頁。xy例2:如圖,在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD,求這個(gè)矩形的最大面積.解:設(shè)B(x,0)(0<x<2),則A(x,4x-x2).從而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面積為:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以當(dāng)時(shí),因此當(dāng)點(diǎn)B為時(shí),矩形的最大面積是第二十七頁第二十八頁，共32頁。※拓展提高我們知道，如果在閉區(qū)間【a，b】上函數(shù)y=f（x）的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必定有最大值和最小值；那么把閉區(qū)間【a，b】