第十六屆中環(huán)杯小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)決賽詳解

第十六屆“中環(huán)杯”中小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動(dòng)四年級(jí)決賽一、填空題【第1題】計(jì)算：9_______【分析與解】計(jì)算：提取公因數(shù)0.21.990.2631.963219690.2631.926319693.890.23.86319694631969463747946374794741746384632016【第2題】一個(gè)質(zhì)數(shù)a比一個(gè)完全平方數(shù)b小10a的最小值為_(kāi)____（說(shuō)明：完全平方數(shù)是指能表示為一個(gè)整數(shù)的平方數(shù)的和，比如422,932，所以、都是完全平方數(shù)）49【分析與解】數(shù)論，質(zhì)數(shù)，完全平方數(shù)b2若a2，則不是完全平方數(shù)故a是奇數(shù)，則ba也是奇數(shù)，為奇數(shù)的平方根b比大的奇完全平方數(shù)從小到達(dá)依次為5225,7249,92535是合數(shù)93是合數(shù)1是質(zhì)數(shù)248故a最小是71【第3題】如圖，B三點(diǎn)共線(xiàn)，CBAB,AE//DC,ABCE5，則的面積為_(kāi)_____【分析與解】幾何，等積變形聯(lián)結(jié)因?yàn)?/所以SAEDSAEC因?yàn)樗許AECCE258220所以SAED20【第4題】三支蠟燭分別能燃燒3050燒狀態(tài)的時(shí)間有1020燭同時(shí)處于燃燒狀態(tài)的時(shí)間有____【分析與解】分鐘正好有兩支蠟燭同時(shí)處于燃燒狀態(tài)的時(shí)間有304050103201352【第5題】將一個(gè)88512個(gè)111512_____個(gè)小立方體上既有紅色面又有藍(lán)色面【分析與解】由題意，任意三個(gè)有公共頂點(diǎn)的面不能全都染同一種顏色故不妨設(shè)上、下、前染紅色，左、右、后染藍(lán)色即在正方體染藍(lán)色則紅面與藍(lán)面公共的棱上的小立方體上既有紅色面又有藍(lán)色面即這8條棱上的小立方體上既有紅色面又有藍(lán)色面注意到每個(gè)頂點(diǎn)的小立方體都被計(jì)算了2次，即多計(jì)算了1次故有888個(gè)小立方體上既有紅色面又有藍(lán)色面【第6題】1k（其中k在1110_____【分析與解】數(shù)論，分解質(zhì)因數(shù)，同余將分解質(zhì)因數(shù)：設(shè)abc7de1121，521，221，a5218132，33b314151，c2174，d1111e1故842111111因?yàn)閗1既不是的倍數(shù)又不是的倍數(shù)故所求的數(shù)既不含質(zhì)因數(shù)2又不含質(zhì)因數(shù)3相當(dāng)于求21k（其中231k而21156于是我們考慮5771138516故在的所有因數(shù)中，可以表示為k1（其中k為自然數(shù)）的最大因數(shù)為385【第7題】67最低為0分，最高為76道題目得分的乘積，如果兩個(gè)人的得6676的參賽者的得分為_(kāi)_______分【說(shuō)明】⑴此題為錯(cuò)題若兩個(gè)人6道題每題得分完全相同則6道題目得分的乘積相同，6道題目得分的和也相同則這兩個(gè)人的排名相同，即這兩個(gè)人并列由題意，這6位參賽者中沒(méi)有出現(xiàn)并列則這6位參賽者每題得分均不完全相同而每題的得分為0~7的整數(shù)，由乘法原理一共有6種得分情況若甲第1~6題得分為1，乙第1~6題得分為0甲、乙兩人6道題目得分的乘積為0,6道題目得分的和為1則甲、乙兩人排名相同，即這兩個(gè)人并列這與“這些參賽者中沒(méi)有出現(xiàn)并列”矛盾故此題為錯(cuò)題⑵若將原題中“這些參賽者中沒(méi)有出現(xiàn)并列”改為“這些參賽者中，任意兩人這6題的各76的參賽者的得分為1分理由如下：若6題中，至少有一題得分為06道題目得分的乘積為0若6題中，沒(méi)有一題得分為，則6道題目得分的乘積不為0這種情況下，每題的得分為1~7的整數(shù)，由乘法原理一共有76種得分情況故排名為76的參賽者的得分為乘積最小的正整數(shù)而第1~6題得分為1的參賽者，得分為1故排名為76的參賽者的得分為1分【第8題】99個(gè)點(diǎn)中選出44個(gè)點(diǎn)的任意個(gè)點(diǎn)既不在一條直線(xiàn)上，也不在一個(gè)圓圈上，不同的選法有______種3【分析與解】計(jì)數(shù)，乘法原理和加法原理因?yàn)檫@4個(gè)點(diǎn)中的任意3個(gè)點(diǎn)不在一條直線(xiàn)上所以這4個(gè)點(diǎn)都不是中心O點(diǎn)故這個(gè)4個(gè)點(diǎn)均在這兩個(gè)圓上又因?yàn)檫@4個(gè)點(diǎn)中的任意3個(gè)點(diǎn)不在一個(gè)圓圈上所以在這4個(gè)點(diǎn)中，有2個(gè)點(diǎn)在小圓上，另外2個(gè)點(diǎn)在大圓上⑴如果小圓上的2個(gè)點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，有2種可能：C或D此時(shí)，每種情況下對(duì)應(yīng)大圓上的2個(gè)點(diǎn)有1種可能例如：當(dāng)小圓上的2C時(shí)，大圓上的2個(gè)點(diǎn)只能為D⑵如果小圓上的2個(gè)點(diǎn)不在一條直線(xiàn)上，有4種可能：B或C或D或A此時(shí)，每種情況下對(duì)應(yīng)大圓上的2個(gè)點(diǎn)有224種可能2B2個(gè)點(diǎn)可能為F或H或F或H綜上所述，不同的選法有2144種二、填空題第9題】【D如下：A：A這個(gè)數(shù)小于12175A不能整除這個(gè)數(shù)2A3乘以這個(gè)數(shù)的結(jié)果小于12乘以這個(gè)數(shù)的結(jié)果大于1000B:B1102能整除這個(gè)數(shù)B這個(gè)數(shù)大于34C:1能整除這個(gè)數(shù)2111000乘以這個(gè)數(shù)的結(jié)果小于39能整除這個(gè)數(shù)D:D這個(gè)數(shù)小于12這個(gè)數(shù)是一個(gè)質(zhì)數(shù)37能整除這個(gè)數(shù)這個(gè)數(shù)是________分析與解】【設(shè)這個(gè)數(shù)為n我們把條件整理一下：A:AnA不能整除n；A5n70，即n1231B:B12n1000，即n83；B10;Bn10013239010;C9nC:C4;Cn1000,n12113D:DnDn是一個(gè)質(zhì)數(shù)；D7n123首先，我們注意到A與D完全相反23⑴若D是真話(huà)，A是假話(huà)；即7n32A與A中至少有一個(gè)是真話(huà)13但不可能為A是真話(huà)，A是假話(huà)13則A是真話(huà)；則n3故D是真話(huà)1故D是假話(huà)2n且7n的正整數(shù)只有n772n話(huà)矛盾⑵故若D是假話(huà)，A是真話(huà)；即7不能整除n32A與A中至少有一個(gè)是假話(huà)13但不可能為A是真話(huà)，A是假話(huà)13則A是假話(huà)；則n1再對(duì)A是假話(huà)，則n1再對(duì)D進(jìn)行討論1①若D是真話(huà)，即n1故B與B都是假話(huà)13則B是真話(huà)；則n2但不存在既滿(mǎn)足n，又滿(mǎn)足n的正整數(shù)n②故D是假話(huà)，即n1則D是真話(huà)，即n是一個(gè)質(zhì)數(shù)2故B、C、C均是假話(huà)213則C是真話(huà)，即n2故B是假話(huà)3則B是真話(huà)，即n1注意到，符合n且為質(zhì)數(shù)的只有nn，即這個(gè)數(shù)是89【第如圖，是一個(gè)等邊三角形，在聯(lián)結(jié)，作平行于點(diǎn)G，作EH平行交邊于點(diǎn)H，作GFHAFJ。若BDF的面積為45，DEF的面積為30，則_____邊上取點(diǎn)E，使得，作等邊DEF，_【分析與解】幾何，等積變形，燕尾模型延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)K，分別聯(lián)結(jié)AD、AE由共邊模型，得BD:DES:S45:303:2BDFDEFBC3DE又因?yàn)锽D:DE:BC3:2:6所以BD:DE:CE3:2:1所以ABC因?yàn)樗訢F//ABDK:BKDF:AB1:3所以所以DK:BD=1:2FED=ACB60因?yàn)樗訣F//ACEK:CKEF:AC1:3所以EK:CK1:2所以BD:DE:CE3:2:1因?yàn)?212所以BD:DK:EK:CE3:::16:3:1:2根據(jù)燕尾模型，S:SDK:EK3:1ADFAEFSAFGI2,SAFHJ2而注意到，ADFAEFGI:HJS:S3:1故ADFAEFGJHJ3即【第一個(gè)55的方格由個(gè)11的小方格組成，每個(gè)小方格都被分成四個(gè)相同的等腰三角形，其中三個(gè)被涂成了黑色（如圖a5555方格的四條邊長(zhǎng)（如圖b所示）上最少有________條黑邊【分析與解】角上的小方格，每個(gè)有2條邊在外面，故其中至少有1條是黑邊14455方格的四條長(zhǎng)邊上，黑邊不少于條這樣3條黑邊，5525個(gè)小方格一共有32575每個(gè)小方格有55的方格內(nèi)，相鄰（有公共邊）小方格的公共邊必須是同色的而在故內(nèi)部的黑邊的條數(shù)為偶數(shù)則四條長(zhǎng)邊上的黑邊的條數(shù)為奇數(shù)55方格的四條長(zhǎng)邊上，黑邊不少于5條所以55方格的四條長(zhǎng)邊上有5條黑邊的例子如圖所示為55方格的四條長(zhǎng)邊上至少有5條黑邊綜上所述，【第如圖，在88的正方形網(wǎng)格中，B兩點(diǎn)處各有一只臭蟲(chóng)（A點(diǎn)處的臭蟲(chóng)我們稱(chēng)其為a臭蟲(chóng)，B點(diǎn)處的臭蟲(chóng)我們稱(chēng)其為b1格（向上、向下、向左、向右這四個(gè)b臭蟲(chóng)走兩個(gè)，a臭蟲(chóng)走三格，最后b臭蟲(chóng)與A點(diǎn)的距離小于等于a臭蟲(chóng)與A點(diǎn)距離的走法有______種【分析與解】計(jì)數(shù)，乘法原理，加法原理，排列，組合⑴b臭蟲(chóng)走2格，最后b臭蟲(chóng)距離A點(diǎn)3格，最后b臭蟲(chóng)距離A點(diǎn)1格或，最后b臭蟲(chóng)距離A點(diǎn)5格（21長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)）或以及其排列，最后b臭蟲(chóng)距離A點(diǎn)1格或以及其排列，最后b臭沖距離A點(diǎn)1格以及其排列，最后b臭蟲(chóng)距離A點(diǎn)1格最后b臭蟲(chóng)距離A點(diǎn)1格，有14P29種走法2最后b臭蟲(chóng)距離A點(diǎn)5格（212226種走法最后b臭蟲(chóng)距離A點(diǎn)3格，有1種走法⑵a臭蟲(chóng)走3格或或或或或或，最后a臭蟲(chóng)距離A點(diǎn)3格以及其排列的，最后a臭蟲(chóng)距離A點(diǎn)1格或或或或或或或以及其排列最后a臭蟲(chóng)距離A點(diǎn)5格（21長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)）或以及其排列，最后a臭蟲(chóng)距離A1或或點(diǎn)格最后a臭出距離A點(diǎn)1格，有4C1C24P336種走法323最后a臭出距離A點(diǎn)5格（21長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)），有8C1C224種走法23最后a抽出距離A點(diǎn)3格，有4種走法⑶⑷最后b臭蟲(chóng)與A點(diǎn)的距離小于等于a臭蟲(chóng)與A點(diǎn)距離當(dāng)最后b臭出距離A點(diǎn)1格則最后a臭出距離A點(diǎn)1格或5格（21長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)）或3格36244964576種有9②當(dāng)最后b臭出距離A點(diǎn)5格（21長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)）則最后a臭出距離A點(diǎn)5格（21長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)）或3格244有6168種③當(dāng)最后b臭出距離A點(diǎn)的3格則最后a臭蟲(chóng)距離A點(diǎn)3格有144種綜上所述，最后b臭蟲(chóng)與A點(diǎn)的距離小于等于a臭蟲(chóng)與A點(diǎn)的距離的走法有4種三、動(dòng)手動(dòng)腦題【第甲、乙兩車(chē)分別從B兩地同時(shí)出發(fā)（甲從A為千米時(shí)和千米時(shí)，B兩地相距B地后立刻調(diào)頭開(kāi)回A千米A地后立刻調(diào)頭開(kāi)回B40千米/甲車(chē)到達(dá)A地后立刻調(diào)頭開(kāi)回B千米B地后立刻調(diào)頭開(kāi)回A/B兩地間不斷地開(kāi)來(lái)開(kāi)去，速度也在40千米/時(shí)與千米時(shí)之間不斷地切換。當(dāng)兩車(chē)第2016次相遇時(shí)，甲車(chē)一共行駛了多少千米？【分析與解】行程問(wèn)題，多次相遇甲以千米/時(shí)的速度從A到B，再以千米/時(shí)的速度從B到A乙以千米/時(shí)的速度從B到A，再以千米/時(shí)的速度從A到B故甲、乙各走了一個(gè)來(lái)回用時(shí)相等在甲、乙各走了一個(gè)來(lái)回的過(guò)程中，甲、乙相遇了2次22，若甲、乙各走了1008個(gè)來(lái)回的過(guò)程中，甲、乙相遇了2016次從第2016次相遇到最后甲、乙同時(shí)回到B兩地這個(gè)過(guò)程中甲的速度為千米時(shí)，乙的速度為千米時(shí)則甲、乙的速度比為50:5:4甲、乙的路程比也為5:454其中甲行駛了9005005故當(dāng)兩車(chē)第2016次相遇時(shí)，甲車(chē)行駛的路程相等于1008個(gè)來(lái)回再去掉這500千米，即為900100825001813900【第D老師腦子里想了兩個(gè)正整數(shù)、yyx1，然后他將xy的值告訴了A，將xy的值告訴了B，接下來(lái)，B有如下的對(duì)話(huà)（B都知道yx1）B說(shuō)：我不知道xy的值A(chǔ)說(shuō)：給你一個(gè)提示，xy的值不超過(guò)20，一旦你能通過(guò)這個(gè)提示確定下xy的值，那么我也就知道xy的值了B說(shuō)：我知道xy的值了求：x和y的值了【分析與解】邏輯推理B不知道xy的值”可得⑴由“將xy的乘積折成兩個(gè)正整數(shù)的乘積方法不唯一即xy既不是1也不是質(zhì)數(shù)，xy為合數(shù)⑵再由“xy這個(gè)提示下，B知道了xy的值”可得將合數(shù)xy的乘積折成兩個(gè)和不大于的正整數(shù)的乘積方法唯一確定137,2222552622739,33334217,3557，934444977,50510,51317,52413,5469,55