2021-2022學年福建省漳州第一中學高二下學期第一次月考數(shù)學試題

20212022學年福建省漳州第一中學高二下學期第一次月考數(shù)學試題一、單選題1．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】利用求導公式，求出，進而求出.【詳解】，，則.故選：D.【點睛】本題考查了導數(shù)的求導公式，導數(shù)的運算法則，屬于基礎題.2．函數(shù)在區(qū)間(0，e](其中e為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值為（

）A． B．－1 C．－e D．0【答案】B【分析】首先求函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值.【詳解】，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值，最大值是.故選：B3．設函數(shù)在定義域內(nèi)可導，的圖象如圖所示，則導函數(shù)的圖象可能是A． B．C． D．【答案】A【分析】可從原函數(shù)的圖像中得到函數(shù)在附近的單調(diào)性，從而得到其導函數(shù)在附近的符號，由后者可得函數(shù)圖像的正確選項.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖像可知，在的左側附近，為減函數(shù)；在的右側附近，為增函數(shù)，所以在的左側附近，；在的右側附近，，故選A.【點睛】一般地，若在區(qū)間上可導，且，則在上為單調(diào)增（減）函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導且為單調(diào)增（減）函數(shù)，則．4．等比數(shù)列{}中，，函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求導，代入，再通過等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】，.故選：C.5．設函數(shù)一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A選項函數(shù)的極大值不一定是函數(shù)的最大值，所以錯；對于B中的是將的圖象關于y軸對稱，所以是其極大值點,錯誤；對于C中的是將的圖象關x軸對稱，所以才是其極小值點，錯誤；而對于D中的是將的圖象關原點對稱，故是其極小值點，正確.故選D.6．設函數(shù)是的導數(shù)，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)的圖象都有對稱中心，其中滿足，已知函數(shù)，則（

）A．2021 B． C．2022 D．【答案】B【分析】通過條件，先確定函數(shù)圖象的對稱中心點，進而根據(jù)對稱性求出函數(shù)值的和.【詳解】由，可得，，令，得，又，所以對稱中心為，所以，…，，.所以．故選：B.7．已知，若對于且都，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，化簡整理得，構造函數(shù)，依題意為增函數(shù)，求導，令，即可求解.【詳解】依題意，所以，設，則為增函數(shù)，所以，化簡整理得.而當時，的最大值為1，所以.故答案為【點睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍問題，難點在于構造新函數(shù)，并根據(jù)的單調(diào)性進行求解，屬中檔題.8．已知實數(shù)a，b滿足，，則的最小值為A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：由題意，得，代換，代換，則滿足：，即，以代換，可得點，滿足，因此求的最小值即為求曲線上的點到直線的距離的最小值，設直線與曲線相切于點，則，解得，所以切點為,所以點到直線的距離，則的最小值為，綜上所述，選C.【解析】1.利用導數(shù)研究曲線的切線性質(zhì)；2.點到直線距離公式.【方法點睛】本題主要考查的是利用導數(shù)研究曲線的切線性質(zhì)，點到直線的距離公式，推理能力與計算能力，屬于難題，通過換元法可轉化成函數(shù)間的問題，通過變形發(fā)現(xiàn)變成求的最小值即為求曲線上的點到直線的距離的最小值，因此在曲線上找到一個和平行的直線與之間的距離最小，因此將點到直線距離最小值轉化成直線與直線距離最小值，因此此類題目將已知條件合理轉換是解決問題的關鍵.二、多選題9．下列四個函數(shù)中，在處取得極值的函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】分析各選項中函數(shù)的單調(diào)性，結合極值點的定義可得出合適的選項.【詳解】解：對于A選項，，故函數(shù)在上為減函數(shù)，無極值；對于B選項，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極小值；對于C選項，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極小值；對于D選項，函數(shù)在上為增函數(shù)，無極值.故選：BC.10．設函數(shù)的導函數(shù)為，則（

）A． B．是函數(shù)的極值點C．存在兩個零點 D．在(1，+∞)上單調(diào)遞增【答案】AD【分析】首先求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)和函數(shù)的關系，即可判斷選項.【詳解】，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)不存在極值點，故B錯誤，D正確；，故A正確；，得，中，，所以恒成立，即方程只有一個實數(shù)根，即，故C錯誤.故選：AD11．已知為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】采用逐一驗證的方法，通過構造函數(shù)，，，，根據(jù)這些函數(shù)在的單調(diào)性可得結果.【詳解】設，，則在上恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增，故，即，A正確；設，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，，即，故，B錯誤；設，，則在上恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增，，即，C正確；設，，則在上恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增，故，即，故，D正確.故選：ACD.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關系，構造函數(shù)是解題的關鍵.12．設函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù)).若存在使成立，則實數(shù)a的取值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BC【分析】由得到，構造函數(shù)，求導確定值域，即可求得數(shù)a的取值范圍.【詳解】易知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，若，則，若，則.故存在使成立，則，即在上有解.故，設，則，令，在上單減，在上單增，故即，在上單增，又，故.故選：BC.三、填空題13．設曲線在點A(0，1)處的切線與直線垂直(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，則m=_________.【答案】3【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，再由直線與切線垂直建立方程求出m.【詳解】，，切線與直線垂直，，解得.故答案為：14．已知函數(shù)，若，則a=__________.【答案】－1或或1【分析】首先求函數(shù)的導數(shù)，在討論的取值，分段求自變量.【詳解】，當時，，解得：或（舍）；當時，，得,所以或.故答案為：或15．若函數(shù)在區(qū)間(1，4)上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】(4，5)【分析】由已知得在上存在變號零點，參變分離后利用導數(shù)討論新函數(shù)的單調(diào)性后可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：函數(shù)，，若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則在上存在變號零點，由得，令，，，在遞減，在遞增，而，，，所以.故答案為：.16．已知是函數(shù)的導數(shù)，若對任意，都有，且則不等式的解集為___________.【答案】(－1，2)【分析】由題意，得，構造函數(shù)，然后求出函數(shù)的解析式，再確定的解析式，進一步解一元二次不等式即可．【詳解】解：由題意，因為，所以，，令，則，，即，，，不等式的解集等價于，解得．故答案為：．四、解答題17．已知數(shù)列{}滿足，.(1)求證：數(shù)列成等比數(shù)列，并求{}的通項公式；(2)設，是數(shù)列{}的前n項的和，求證：.【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析【分析】（1）已知等式變形后可得數(shù)列是等比數(shù)列，由此可得通項公式；（2）求出的表達式，由裂項相消法求和后可得不等式成立．【詳解】(1)由可得，∵，∴數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴，即；(2)∵，∴.18．已知f（x）＝．（1）曲線在點（1，f（1））處的切線斜率為0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）＜x2在（1，＋）恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）．【分析】第一問，對求導，為切線的斜率，解出a的值，再利用和判斷函數(shù)的單調(diào)性；第二問，先將在（1，＋）恒成立，轉化為恒成立，再構造函數(shù)，通過求導，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，從而得到a的取值范圍．【詳解】（1）的定義域為，求導可得，由得，，令得；令得，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）由題意：，即，恒成立．令，則，[令，則，在上單調(diào)遞增，又，∴當時，，在上單調(diào)遞增，所以，∴當時，恒成立，∴a的取值范圍為．【點晴】本題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求曲線的切線、利用導數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力．19．已知函數(shù)的圖象在與x軸交點處的切線方程為.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設函數(shù)，若存在極值，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)遞增區(qū)間為，；遞減區(qū)間為(，1)(2)(－，1)【分析】（1）先根據(jù)題意求出函數(shù)解析式，再由導數(shù)求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)有極值，可知導函數(shù)有2個零點，利用判別式建立不等式求解即可.【詳解】(1)依題意知函數(shù)與x軸的交點為(2，0)，∴，①.∵，∴，②由①②解得，，∴；∵，∴或；，∴的遞增區(qū)間為，；遞減區(qū)間為(，1)；(2)∵，∴，.∵g(x)存在極值，∴，∴實數(shù)m的取值范圍為(－，1).20．已知函數(shù)f(x)=ln(x+m).(1)設x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；（2）當m≤2時，證明f(x)>0.【答案】(1)在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù)（2）見解析【詳解】(1)．由x=0是f(x)的極值點得f'(0)=0，所以m=1．于是f(x)=ex－ln(x+1)，定義域為(－1，+∞)，．函數(shù)在(－1，+∞)上單調(diào)遞增，且f'(0)=0，因此當x∈(－1，0)時，f'(x)<0;當x∈(0，+∞)時，f'(x)>0．所以f(x)在(－1，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增．(2)當m≤2，x∈(－m，+∞)時，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需證明當m=2時，f(x)>0．當m=2時，函數(shù)在(－2，+∞)上單調(diào)遞增．又f'(－1)<0，f'(0)>0，故f'(x)=0在(－2，+∞)上有唯一實根，且．當時，f'(x)<0;當時，f'(x)>0，從而當時，f(x)取得最小值．由f'(x0)=0得=，，故．綜上，當m≤2時，f(x)>0．21．已知橢圓C：的離心率，點F是橢圓C的右焦點，點F到直線的距離為.(1)求橢圓C的方程；(2)設動直線l與坐標軸不垂直，l與橢圓C交于不同的M，N兩點，若直線FM和FN的斜率互為相反數(shù)，試探究：動直線l是否恒過x軸上的某個定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是，定點(4，0)【分析】（1）由點到直線的距離公式求得，再根據(jù)橢圓的離心率求得a，再由，求得b，得橢圓的C的方程；（2）設直線l：，與橢圓的方程聯(lián)立整理得.設M(，)，N(，)，由兩點的斜率公式表示，根據(jù)，得出，由此可得動直線l值過x軸上的定點.【詳解】(1)解：由題意知，點F(c，0)到直線的距離為，∴，又橢圓C的離心率，∴，∴，∴橢圓C的方程為.(2)解：設直線l：，由.設M(，)，N(，)，∴，，∴，由已知得，∴，∴，即，∵，∴，∴動直線l只過x軸上的定點(4，0).22．已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）.【詳解】試題分析：（1）討論單調(diào)性，首先進行求導，發(fā)現(xiàn)式子特點后要及時進行因式分解，再對按，進行討論，寫出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)第（1）問，若，，當時，取得最小值，求出最小值，根據(jù)，，進行討論，可知當在有一個零點；設正整數(shù)滿足，則.由于，因此在的取值范圍為.試題解析：（1）的定義域為，，（?。┤?，則，所以在單調(diào)遞減.（ⅱ）若，則由得.當時，；當時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一個零點.（ⅱ）若，由（1