【解析】浙江省嘉興市平湖市高三下學(xué)期5月模擬考試數(shù)學(xué)試題

2019學(xué)年第二學(xué)期高三模擬考試數(shù)學(xué)試題卷本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共6頁，選擇題部分2至3頁；非選擇題部分4至6頁.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意：1.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.2.答題時(shí)，請按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范操作，在本試題卷上的作答一律無效.參考公式：如果事件，互斥，那么.如果事件，相互獨(dú)立，那么.如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率.球的表面積公式，其中表示球的半徑.球的體積公式，其中表示球的半徑.棱柱的體積公式，其中表示棱柱的底面積，表示棱柱的高.棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面積，表示棱錐的高.棱臺的體積公式，其中，分別表示棱臺的上、下底面積，表示棱臺的高.選擇題部分（共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用交集運(yùn)算求解.【詳解】由，，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集、并集運(yùn)算，屬于容易題.2.滿足線性約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最大值是（）A.1 B. C.2 D.3【答案】C【解析】畫出可行域如圖陰影部分所示，易得

在處取得最大值故選C點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.3.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），其中正視圖是等邊三角形，則該幾何體的體積（單位：）是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先把三視圖還原為幾何體的立體圖，根據(jù)錐體體積公式，代入數(shù)據(jù)求解即可.【詳解】如圖所示此三棱錐底面是邊長為2，高為1的三角形，三棱錐高為，所以體積故選A.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原立體圖，并求幾何體的體積，考查空間想象能力，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確還原出立體圖，屬基礎(chǔ)題.，是左焦點(diǎn)，，是右支上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是()A.4 B.6 C.8 D.16【答案】C【解析】，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，故選C.，表示不小于的最小整數(shù)，例如，，那么“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】通過給取特值得到前者推不出后者，通過推導(dǎo)判斷出后者可以推出前者，根據(jù)必要不充分條件的定義判斷出結(jié)論【詳解】由已知可得令，滿足，但，，，而時(shí)，必有“”是“”的必要不充分條件故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分必要條件的判斷，說明一個(gè)命題不成立常用舉反例的方法，考查利用充分必要條件的定義判斷一個(gè)命題是另一個(gè)命題的什么條件，屬于基礎(chǔ)題目.的圖象如圖所示，則的解析式可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性，排除A、D，再由特殊值法排除C，即可得答案.【詳解】由圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得奇函數(shù)，結(jié)合運(yùn)算規(guī)律可得A、D為偶函數(shù)，故排除；對于C：與圖象不符，故排除；對于B：符合圖象.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，學(xué)生需熟記運(yùn)算規(guī)律：（1）奇奇=奇、（2）偶偶=偶（3）奇偶=非奇非偶、（4）奇奇=偶、（5）奇偶=奇、（6）偶偶=偶，再由特殊值法排除選項(xiàng)即可，屬基礎(chǔ)題.，隨機(jī)變量的分布如下：101當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，（）A.減小，減小 B.減小，增大C.增大，減小 D.增大，增大【答案】D【解析】【分析】首先利用題中所給的分布列，利用公式求得期望和方差，結(jié)合式子的特征，判斷得出結(jié)果.【詳解】由題意得，，，又∵，∴故當(dāng)增大時(shí)，增大，增大，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)離散型隨機(jī)變量的期望與方差的問題，涉及到的知識點(diǎn)有離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式，屬于基礎(chǔ)題目.（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，故不是函數(shù)的零點(diǎn)，則由，得，令，則題目轉(zhuǎn)化為與有三個(gè)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并作出示意圖可求得答案.【詳解】由，故不是函數(shù)的零點(diǎn)，則由，得，令，則題目轉(zhuǎn)化為與有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，則在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，有最小值為，當(dāng)時(shí)，，作出的示意圖如圖所示：由圖知，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)相關(guān)問題，將零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，作出圖象是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.，數(shù)列滿足，，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】A【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，，即，則，設(shè)利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的的單調(diào)性，從而得到，即，得到數(shù)列單調(diào)遞增，則選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，即，則，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的的單調(diào)性，可得一定存在，使得，，使得,當(dāng)（或）時(shí)有,，從而選項(xiàng)C,D不正確.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即.則，設(shè)，則，所以上單調(diào)遞增,且所以當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減.所以，所以所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，則選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，即.則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增,且所以當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減.所以,又，所以一定存在，使得，，使得當(dāng)(或)時(shí)有，，即同理可得，，所以選項(xiàng)C,D不正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推數(shù)列判斷數(shù)列的單調(diào)性，考查構(gòu)造函數(shù)，通過分析函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題.10.如圖，在等腰直角三角形中，，點(diǎn)為沿折起至，使為鈍角三角形，設(shè)直線與平面所成的角為，直線與面所成的角為，直線與面所成的角為，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知，由于，所以可得，從而有到平面的距離等于到平面的距離，再將，，的正弦值表示出來進(jìn)行比較，可得結(jié)果.【詳解】∵，為鈍角三角形，∴為鈍角，∴，又，∴到平面的距離等于到平面的距離，記為，則，，，∴，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查了將平面圖形折空間圖形問題，考查了空間中的線面角，考查了空間想象能力，屬于中檔題.非選擇題部分（共110分）二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是______.【答案】【解析】【分析】計(jì)算出即可得到答案.【詳解】因?yàn)樗詮?fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是復(fù)數(shù)的計(jì)算及共軛復(fù)數(shù)的概念，較簡單.，則______，的最大值為______.【答案】(1).(2).1【解析】【分析】關(guān)鍵在于由得出或，k∈Z,對于任意實(shí)數(shù)x恒成立，而即為，這顯然不是對任意實(shí)數(shù)x恒成立，故而只能是，k∈Z,從而得出θ的值，然后利用誘導(dǎo)公式化簡后，即可得解.【詳解】∵為偶函數(shù)，∴,即,∵,∴,∴，即,∵，∴θ=，∴,∴的最大值為1.故答案為：，1.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值和余弦函數(shù)的最值問題，屬章內(nèi)綜合題，難度較易.的展開式中，有理項(xiàng)共有______項(xiàng)，項(xiàng)的系數(shù)最小的項(xiàng)為______.【答案】(1).4(2).【解析】【分析】首先利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式得到的展開式的通項(xiàng)為，令為整數(shù)，求得的取值，得到有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)，之后觀察項(xiàng)的系數(shù)的特征，判斷出應(yīng)為奇數(shù)，代值求解，比較得結(jié)果.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，若為整數(shù)，則，所以展開式中的有理項(xiàng)共有4項(xiàng)，要使最小，應(yīng)為奇數(shù)，令，得到的項(xiàng)的系數(shù)分別是，比較可知時(shí)，系數(shù)取得最小值，項(xiàng)的系數(shù)最小的項(xiàng)為，故答案為：①4；②.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題，涉及到的知識點(diǎn)有二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)，項(xiàng)的系數(shù)最小項(xiàng)，屬于簡單題目.：，若直線：與圓交于，兩點(diǎn)，則弦長的最小值為______，若圓心到直線的距離為，則實(shí)數(shù)______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】本題首先可根據(jù)題意得出圓心、半徑以及直線過定點(diǎn)，然后根據(jù)當(dāng)圓心到定點(diǎn)的線段與弦垂直時(shí)弦的長最小求出弦長的最小值，最后根據(jù)圓心到直線的距離為以及點(diǎn)到直線距離公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A方程為，所以圓心，半徑，因?yàn)橹本€方程為，所以直線過定點(diǎn)，故當(dāng)弦的長最小時(shí)，圓心到定點(diǎn)的線段與弦垂直，因?yàn)榫€段的長度為，所以弦長的最小值為，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以，，即，故，故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交的弦的最小值的求法以及點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，考查根據(jù)直線方程確定直線所經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)，考查根據(jù)圓的方程確定圓心與半徑，考查計(jì)算能力，是中檔題.，若，則的最小值為_______，的最小值為______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】第一空先將配方，再利用不等式，將轉(zhuǎn)化成的形式，再解不等式，求得的范圍，從而得到的最小值；第二空令，將題目轉(zhuǎn)化為求的范圍，變形，代入到已知等式，將方程視為關(guān)于的二次方程，利用求得的取值范圍，從而求得的最小值.【詳解】解：由，得，又，則，得，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為.令，由.將上面方程視為關(guān)于的二次方程.由為實(shí)數(shù)知.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題是不等式的綜合應(yīng)用，通過構(gòu)造不等式，解不等式求最值，需注意取等條件，屬于中檔題.的左右焦點(diǎn)分別為，，，是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，若，則的面積為______.【答案】1【解析】【分析】設(shè)直線的方程分別為，，聯(lián)立，可得，即可得出，同理可得，列方程解得，進(jìn)而可得的面積.【詳解】解：由橢圓可得，，

設(shè)直線的方程分別為，，

聯(lián)立，化為，

解得，

，

同理可得，

，

解得，則，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.、、滿足、，，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】可根據(jù)得出，然后根據(jù)解得，最后通過即可得出結(jié)果.【詳解】，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，解得，所以，解得，所以的取值范圍?故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量的相關(guān)運(yùn)算，主要考查向量的乘法、向量的模以及向量的數(shù)量積的相關(guān)運(yùn)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，是難題.三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.中，角和角互補(bǔ)，且，，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在和中分別利用余弦定理，再結(jié)合可得到答案；（2）根據(jù)角和角互補(bǔ)可得，然后根據(jù)（1）中的結(jié)果可得到答案.【詳解】（1）在中，由余弦定理得①在中，由余弦定理得，②因?yàn)榻呛徒腔パa(bǔ)，即，所以由①②解得.（2）因?yàn)榻呛徒腔パa(bǔ)，所以，由（1）得，則為銳角，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查的是余弦定理和三角恒等變換，考查了學(xué)生的分析能力，屬于中等題.19.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，且，交于點(diǎn)，是上任意一點(diǎn).（1）求證：；（2）已知二面角余弦值為，若為的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【詳解】試題分析：（1）線線垂直問題轉(zhuǎn)化為線面問題即可解決，即，（2）解法1：（空間向量在立體幾何中的應(yīng)用）建立空間直角坐標(biāo)系，求得法向量，利用公式求解；解法2：通過構(gòu)造法作出二面角的平面角,由，求出點(diǎn)到平面的距離試題解析：（1）因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以又因?yàn)椋?）解法1:連接在中，所以分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)則，．由（1）知，平面的一個(gè)法向量為（1,0,0），設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則得，令，得因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，所以，解得或（舍去），所?0分設(shè)與平面所成的角為．因?yàn)?，，∴所以與平面所成角的正弦值為．解法2:設(shè)DP=t，作出二面角的平面角由，求出點(diǎn)到平面的距離．考點(diǎn)：1、線面垂直和線線垂直的互化；2、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用；3、空間想象能力和綜合分析能力．滿足，.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）對式子，變形化簡得，根據(jù)定義即可證明數(shù)列為等差數(shù)列，求出；（2）先化簡，再用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，在證明從到的遞推式時(shí)，可用分析法推導(dǎo).【詳解】解：（1）由，得，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列，即，化簡得.（2）因?yàn)椋旅嬗脭?shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不等式成立；②假設(shè)當(dāng)，時(shí)不等式成立，即有則當(dāng)時(shí)，，而此時(shí)不等式右為應(yīng)為，下面再證明，即只需證明，即只需證明，這顯然成立，即時(shí)，不等式也成立.綜合①②可得，成立.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式，還考查了與有關(guān)的不等式，可用數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于中檔題.的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，.（1）求拋物線的方程；（2）是否存在與的取值無關(guān)的定點(diǎn)，使得直線，的斜率之和恒為定值？若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）本題可根據(jù)題意得出焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程，然后根據(jù)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2即可求出，最后根據(jù)即可求出拋物線方程；（2）本題首先可設(shè)出、、，然后聯(lián)立方程并通過韋達(dá)定理得出，再然后對進(jìn)行化簡并根據(jù)為與無關(guān)的常數(shù)得出，最后通過計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，準(zhǔn)線方