2020-2021學(xué)年上海市虹口區(qū)高一上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

20202021學(xué)年上海市虹口區(qū)高一上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)均為實(shí)數(shù)，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，即“”是“”的充要條件，選C.2．函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)性為（）A．關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)【答案】B【分析】將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以函?shù)是偶函數(shù)，即函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．故選：．3．已知全集及集合，，則的元素個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】可求出集合，，然后進(jìn)行交集和補(bǔ)集的運(yùn)算求出，然后即可得出的元素個(gè)數(shù)．【詳解】解：，，，，1，2，3，，或，且，，，的元素個(gè)數(shù)為：3．故選：．4．已知函數(shù)，，的零點(diǎn)依次為、、，則、、的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】化函數(shù)的零點(diǎn)為方程的根，然后在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)，，和函數(shù)的圖像，根據(jù)圖象即可判斷、、的大小關(guān)系．【詳解】已知函數(shù)，，的零點(diǎn)依次為、、，即，，，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)，，和函數(shù)的圖像，由圖可知：．故選：D5．設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【詳解】試題分析：因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，所以在R上單調(diào)遞增，且．對(duì)任意的，不等式恒成立，即恒成立．因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以任意的，恒成立．即恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以只需，解得．故A正確．【解析】奇函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小求最值6．若函數(shù)與在區(qū)間上都是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由一次函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖像變換即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以當(dāng)，y隨x的增大而減小，當(dāng)，y隨x的增大而增大.要使函數(shù)在區(qū)間上都是嚴(yán)格減函數(shù)，只需；要使在區(qū)間上都是嚴(yán)格減函數(shù)，只需；故a的范圍為.故選：D二、填空題7．已知集合，，則__________．【答案】【分析】可求出集合，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】解：，1，，，，．故答案為：．8．不等式的解集為_(kāi)_____.【答案】【分析】將分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次不等式組，求解即得.【詳解】原不等式等價(jià)于，解得,故答案為：.9．函數(shù)，的值域?yàn)開(kāi)_________．【答案】【分析】根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性分析出的單調(diào)性，然后即可求解出的最值，從而的值域可確定出.【詳解】由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，又，且，，所以，所以的值域?yàn)?，故答案為?10．計(jì)算：__________．【答案】4【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和性質(zhì)求解出結(jié)果.【詳解】原式，故答案為：.11．用“二分法”求方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根，首先取區(qū)間中點(diǎn)進(jìn)行判斷，那么下一個(gè)取的點(diǎn)是__________．【答案】【分析】分別代入，計(jì)算得和，所以可得方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，所以根據(jù)二分法，下一個(gè)取的點(diǎn)為.【詳解】當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，所以下一個(gè)取的點(diǎn)是.故答案為：12．已知條件，，且p是q的必要條件，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系得到關(guān)于的不等式組解出即可．【詳解】∴，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對(duì)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．13．不等式的解集為_(kāi)_________．【答案】【分析】分，，三種情況討論，即可求出結(jié)果．【詳解】當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，所以；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，所以；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，顯然不成立；綜上，原不等式的解集為．故答案為：．14．已知函數(shù)的反函數(shù)為，若函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_________．【答案】6【分析】由的圖象過(guò)點(diǎn)得函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，把點(diǎn)代入的解析式求得的值．【詳解】解：的圖象過(guò)點(diǎn)，函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，又，，即．故答案為：．15．已知函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【分析】利用對(duì)稱(chēng)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判定函數(shù)在[a,+∞)上單調(diào)遞增，再結(jié)合已知條件即可求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，所以函數(shù)在上是增函數(shù)；又函數(shù)在上是增函數(shù)，所以．故答案為：.16．已知集合A={，其中，且}，B={，其中，且}，則的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)_________．（用含正整數(shù)m的式子表示）【答案】2m【分析】可求出集合，，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算求出，根據(jù)，且即可得出的元素個(gè)數(shù)．【詳解】解：A={，其中，且}，B={，其中，且}，所以，，，，，且，，1，2，，，元素的個(gè)數(shù)為：．故答案為：17．若集合，，且，則滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的取值集合為_(kāi)_____.【答案】【分析】求出集合，由可分、、三種情況討論，可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】依題意得，.∵,所以集合、、．當(dāng)時(shí)，即方程無(wú)實(shí)根，所以，符合題意；當(dāng)時(shí)，則1是方程的根，所以，符合題意；當(dāng)時(shí)，則是方程的根，所以，符合題意；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)值，解題時(shí)不要忽略對(duì)空集的討論.18．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【分析】先根據(jù)已知條件判斷出的奇偶性和單調(diào)性，根據(jù)奇偶性和單調(diào)性將原不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，由此求解出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，所以是定義在上的奇函數(shù)，因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)軸為，所以在上單調(diào)遞增，由為奇函數(shù)可知在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，所以或，即的取值范圍是，故答案為?【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解形如的不等式的思路：（1）利用奇偶性將不等式變形為；、（2）根據(jù)單調(diào)性得到與的大小關(guān)系；（3）結(jié)合函數(shù)定義域以及與的大小關(guān)系，求解出的取值范圍即為不等式解集.19．已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，若在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，且，則不等式的解集為_(kāi)_____.【答案】【分析】在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，且，得到在(0,2)內(nèi),在(2,+∞)內(nèi)進(jìn)一步利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到在時(shí)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間，然后根據(jù)不等式的基本性質(zhì)將要求解的不等式分情況討論求得解集.【詳解】∵在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，且，∴在(0,2)內(nèi),在(2,+∞)內(nèi)又∵為偶函數(shù)，∴在(2,0)上，在(∞，2)內(nèi),且,不等式等價(jià)于x>0時(shí)，即；當(dāng)x<0時(shí)，，即故答案為：.三、解答題20．已知是任意實(shí)數(shù)，求證：，并指出等號(hào)成立的條件．【答案】證明見(jiàn)解析；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．【分析】做差，然后因式分解，再進(jìn)行配方，最后與比較大小即可證明.【詳解】因?yàn)楣?，即．?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．21．某居民小區(qū)欲在一塊空地上建一面積為的矩形停車(chē)場(chǎng)，停車(chē)場(chǎng)的四周留有人行通道，設(shè)計(jì)要求停車(chē)場(chǎng)外側(cè)南北的人行通道寬3m，東西的人行通道寬4m，如圖所示（圖中單位：m），問(wèn)如何設(shè)計(jì)停車(chē)場(chǎng)的邊長(zhǎng)，才能使人行通道占地面積最?。孔钚∶娣e是多少？【答案】設(shè)計(jì)矩形停車(chē)場(chǎng)南北側(cè)邊長(zhǎng)為30，則其東西側(cè)邊長(zhǎng)為40，人行通道占地面積最小528．【分析】設(shè)矩形停車(chē)場(chǎng)南北側(cè)邊長(zhǎng)為，則其東西側(cè)邊長(zhǎng)為m，人行通道占地面積為，再由基本不等式可得答案.【詳解】設(shè)矩形停車(chē)場(chǎng)南北側(cè)邊長(zhǎng)為，則其東西側(cè)邊長(zhǎng)為m，人行通道占地面積為，由均值不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)．所以，設(shè)計(jì)矩形停車(chē)場(chǎng)南北側(cè)邊長(zhǎng)為30m，則其東西側(cè)邊長(zhǎng)為40m，人行通道占地面積最小528m2．22．已知函數(shù)．（1）作出這個(gè)函數(shù)的大致圖像；（2）討論關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)．【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析．【分析】（1）把已知函數(shù)解析式變形，再由函數(shù)圖象的平移與翻折變換可得的圖象；（2）對(duì)分類(lèi)，數(shù)形結(jié)合得答案．【詳解】解：（1）因故先將函數(shù)的圖像向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，最后將函數(shù)圖像x軸下方部分翻折到x軸上方，便得到函數(shù)的大致圖像．（2）當(dāng)時(shí)，方程根的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)，或時(shí)，方程根的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)，或時(shí)，方程根的個(gè)數(shù)為2．23．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的值域；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；；（2）.【分析】（1）根據(jù)解得，并檢驗(yàn)時(shí)，滿(mǎn)足題意，得出函數(shù)解析式，求解值域；（2）根據(jù)函數(shù)值域，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，故，利用換元法求解最值即可得解.【詳解】（1）由解得，反之時(shí)，，符合題意，故，據(jù)此，，即值域?yàn)椋?）在顯然是單調(diào)增函數(shù)，為正數(shù)，所以，故，令，則隨的增大而增大，最大值為，實(shí)數(shù)范圍是.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)函數(shù)奇偶性求參數(shù)的取值，根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)的取值范圍，涉及參變分離，換元法求解最值.24．已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、x，且，求證：；（3）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的正根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）奇函數(shù)；（2）證明見(jiàn)解析：（3）．【分析】（1），然后分、兩種情況討論即可；（2）首先判斷出在R上是增函數(shù)，然后可證明；（3）令，則當(dāng)時(shí)，，原方程有兩個(gè)不相等的正根等價(jià)于：關(guān)于t的方程有兩個(gè)不相等的正根，然后可建立不等式組求解.【詳解】（1）．當(dāng)時(shí)，，有，即．當(dāng)時(shí)，，有，即．綜上，函數(shù)在R上是奇函數(shù)．（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)在R上也是增函數(shù)，故函數(shù)在上是增函數(shù)．由（1）知，函數(shù)是R上的奇函數(shù)．由奇函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)在上也是增函數(shù)，從而函數(shù)在R上是增函數(shù)．由，得，所以，即．（3）由（1）知，函數(shù)是R上的奇函數(shù)，故原方程可化為．令，則當(dāng)時(shí)，．原方程有兩個(gè)不相等的正根等價(jià)于：關(guān)于t的方程有兩個(gè)不相等的正根，即因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．25．設(shè)是正常數(shù)，函數(shù)滿(mǎn)足.（1）求的值，并判斷函數(shù)的奇偶性；（2）是否存在一個(gè)正整數(shù)，使得對(duì)于任意恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1），奇函數(shù)；（2）存在，.【分析】（1）代入條件，求得參數(shù)a，寫(xiě)出函數(shù)解析式；利用奇偶性定義驗(yàn)證與間的關(guān)系即可判斷函數(shù)奇偶性；（2）使得對(duì)于任意恒成立，等價(jià)于M大于在上的最大值，借助函數(shù)單調(diào)性求得最大值即可，再根據(jù)M為正整數(shù)，求得其最小值.【詳解】解：（1）由，得，即，又，解得.于是.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，均有，即恒成立，故的定義域?yàn)?在中任取一個(gè)實(shí)數(shù)，都有，并且.故，因此是奇函數(shù).（2）設(shè)、是區(qū)間上任意給定實(shí)數(shù)，且，易知，故.因在上是嚴(yán)格增函數(shù)，故.從而在上是嚴(yán)格增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)的最大值為.由對(duì)于任意恒成立，得，又是正整數(shù)，因此的最小值為2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求函數(shù)奇偶性時(shí)，需要考慮定義域的對(duì)稱(chēng)性；恒成立問(wèn)題，需要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)單調(diào)性即可.26．對(duì)于定義在D上的函數(shù)，設(shè)區(qū)間是D的一個(gè)子集，若存在，使得函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P．（1）若函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P，寫(xiě)出實(shí)數(shù)a、b所滿(mǎn)足的條件；（2）設(shè)c是常數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)定義判斷出為二次函數(shù)，然后根據(jù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間判斷出的開(kāi)口以及對(duì)稱(chēng)軸，由此得到滿(mǎn)足的條件；（2）先分析函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)和嚴(yán)格減函數(shù)時(shí)的取值，據(jù)此分析出在區(qū)間上先遞減再遞增時(shí)的取值范圍，由此求解出的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P時(shí)，由其圖象在R上是拋物線(xiàn)，故此拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上（即），且對(duì)稱(chēng)軸是；于是，實(shí)數(shù)a，b所滿(mǎn)足的條件為