高等數(shù)學(xué) 課件【ch03】一元函數(shù)積分及其應(yīng)用

第三章一元函數(shù)積分及其應(yīng)用高等職業(yè)教育“十三五”規(guī)劃教材高等數(shù)學(xué)01定積分的概念PARTONE定積分的概念

17世紀(jì)下半葉，歐洲科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展，由于生產(chǎn)力的提高和社會(huì)各方面的迫切需要，經(jīng)各國科學(xué)家的努力與歷史的積累，建立在函數(shù)與極限概念基礎(chǔ)上的微積分理論應(yīng)運(yùn)而生。定積分起源于求解圖形的面積和幾何體的體積等實(shí)際問題.古希臘阿基米德(公元前287-前212年)用“窮竭法”,我國的劉徽用“割圓術(shù)”,都曾計(jì)算過一些圖形的面積和幾何體的體積，這些均為定積分的雛形。一、定積分的起源定積分的概念

1.窮竭法總量問題是積分學(xué)的中心問題，積分的起源可追溯到2500年前的古希臘，那時(shí)的希臘人在計(jì)算一些圖形的面積時(shí)，使用了“窮竭法”,當(dāng)時(shí)他們已經(jīng)能計(jì)算多邊形的面積：先把多邊形分成若干個(gè)三角形，然后把這些三角形的面積累加起來.然而在計(jì)算曲邊形的面積時(shí)，這種方法就不適用了，后來，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“窮竭法”計(jì)算圓的面積：先計(jì)算圓的內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形的面積，然后讓多邊形的邊數(shù)不斷增加，逼近圓的面積。定積分的概念2.割圓術(shù)我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽使用了“割圓術(shù)”來推算圓面積，他從圓內(nèi)接正六邊形開始割圓，每次邊數(shù)倍增，計(jì)算出正192邊形的面積，求得稱為“徽率”,后來祖沖之使用劉徽的方法，正確地計(jì)算出圓內(nèi)接正3072邊形的面積，從而得到精確度很高的圓周率近似值精確到小數(shù)點(diǎn)后四位，即：3.1416。定積分的概念3.無限求和在歐洲，對此類問題的研究興起于17世紀(jì)，其中德國的萊布尼茨接受了意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里(1598——1647)不可分量的原理，將曲邊形看成無窮多個(gè)寬度為無窮小的矩形之和，從而導(dǎo)致了積分的產(chǎn)生.牛頓從另一途徑引出積分概念，他從確定面積的變化率(即導(dǎo)數(shù))入手，通過求變化率的逆過程來計(jì)算面積.兩人都得到了解決計(jì)算特殊形狀的面積問題的普遍算法積分計(jì)算法，又幾乎同時(shí)互相獨(dú)立地得出了積分和微分的互逆關(guān)系，由此創(chuàng)立了積分學(xué).但是，他們的積分概念缺少邏輯基礎(chǔ)，嚴(yán)格的定積分的定義是由19世紀(jì)的柯西和黎曼建立的。定積分的概念

許多工程實(shí)踐中我們經(jīng)常會(huì)遇到一些不規(guī)則、不均勻、非恒定的整體量的計(jì)算問題.我們處理這些類似問題時(shí)常將它們轉(zhuǎn)化為無限多個(gè)規(guī)則、均勻，恒定的量相加問題，也就是采用一種無限求和的思想方法加以解決。1.曲邊梯形面積的計(jì)算求曲邊梯形的面積可以轉(zhuǎn)化為求無限個(gè)矩形面積之和，即面積的無限求和問題。2.變速直線運(yùn)動(dòng)路程的計(jì)算求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程可以轉(zhuǎn)化為求無限個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)路程之和，即路程的無限求和問題。二、無限求和問題定積分的概念三、定積分的概念

如果把上述兩個(gè)例子中無限求和的思想，推廣到定義在閉區(qū)間上的有界函數(shù)，如圖3.3所示，就可得到定積分的定義。定積分的概念定積分的概念四、定積分的性質(zhì)下面介紹定積分的幾個(gè)常用性質(zhì)。因此，性質(zhì)1和性質(zhì)2被統(tǒng)稱為定積分的線性性質(zhì)。定積分的概念四、定積分的性質(zhì)性質(zhì)3被稱為定積分的區(qū)間可加性，它為我們計(jì)算絕對值函數(shù)或分段函數(shù)的定積分帶來了方便。性質(zhì)4若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]中至少存在一點(diǎn)5,使得下式成立：該性質(zhì)的幾何意義是：當(dāng)f(x)≥0時(shí)，定積分所對應(yīng)的曲邊梯形的面積必定與某個(gè)以f(5)為寬，區(qū)間[a,b]長度b-a為長的矩形面積相等，性質(zhì)4也稱為積分中值定理。02定積分的計(jì)算PARTTWO定積分的計(jì)算1不定積分1.原函數(shù)和不定積分的定義我們知道(x2)=2x,2x是x2的導(dǎo)函數(shù)，那么把x2稱為2x的一個(gè)原函數(shù)。很容易想到，2x的原函數(shù)并不唯一，因?yàn)?x2+1)=2x,所以x2+1也是2x的一個(gè)原函數(shù)，事實(shí)上，x2+C都是2x的原函數(shù)，且為2x的一切原函數(shù)，其中C為任意常數(shù)。原函數(shù)：若F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,則稱F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)。定積分的計(jì)算1不定積分2.不定積分的公式和性質(zhì)根據(jù)不定積分的定義以及求不定積分與求導(dǎo)運(yùn)算的互逆關(guān)系，我們將學(xué)習(xí)過的求導(dǎo)公式反過來就成了求不定積分的公式：定積分的計(jì)算二.微積分基本定理在上一節(jié)例2中，曾討論過變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題，得到了速度為v(t)的物體在時(shí)間段[a,b]經(jīng)過的路程可表示為定積分如果做直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律s=s(t)是已知的，顯然物體在時(shí)間段[a,b]上經(jīng)過的路程又可表示為s(b)-s(a),而由導(dǎo)數(shù)的物理意義知：s’(t)=v(t),于是有其中s(t)是v(t)的原函數(shù)。定積分的計(jì)算二.微積分基本定理定理3.1(微積分基本定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則有如下公式：定理結(jié)論中的式3.1就是著名的牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式，它以一個(gè)簡單的等式表示了定積分與不定積分之間的密切關(guān)系，同時(shí)也表示了微分與積分之間的基本關(guān)系，因而該定理被稱為微積分基本定理.它給出了計(jì)算連續(xù)函數(shù)定積分的一種簡單方法，為了方便，公式也常被簡寫為如下形式：我們用公式3.2再來計(jì)算上節(jié)例1中的曲邊三角形的面積就非常簡便：定積分的計(jì)算1.不定積分的直接積分法

所謂不定積分的直接積分法是指對積分函數(shù)進(jìn)行一定的整理變形就可直接利用積分的線性性質(zhì)和積分公式計(jì)算不定積分的一種方法。2.不定積分的湊微分法積分函數(shù)是復(fù)合函數(shù)的不定積分，用直接積分法是不行的，例如根據(jù)積分運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算的關(guān)系，我們從復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法推出求不定積分的另一種重要而有效的方法——湊微分法。三、不定積分的求法

由牛頓-萊布尼茨公式可知，定積分的計(jì)算關(guān)鍵在于計(jì)算積分函數(shù)的原函數(shù)，即先要求出積分函數(shù)的不定積分，我們先來學(xué)習(xí)兩種求不定積分的方法——直接積分法和湊微分法。定積分的計(jì)算1.定積分的換元積分法

所謂定積分的換元積分法，就是通過變量換元，將一個(gè)較難計(jì)算的定積分轉(zhuǎn)化為另一個(gè)數(shù)值相等的較簡單定積分的計(jì)算。其原理如下：式(3.5)稱為定積分的換元公式，其中β,α由確定.通俗地講，即“上限對上限，下限對下限",同時(shí)定積分的積分變量也由原來的x代換為t。四、定積分的求法

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩種求不定積分的方法直接積分法和湊微分法，在用上述方法求出原函數(shù)后，只要運(yùn)用牛頓一萊布尼茨公式就可以計(jì)算定積分.然而，由于定積分自身的特點(diǎn)，我們還需要學(xué)習(xí)兩種定積分的求法，將定積分先作一定的化簡處理再進(jìn)行計(jì)算。定積分的計(jì)算2.定積分的分部積分法在化簡定積分的計(jì)算時(shí)，除了可以用前面介紹的換元法將其轉(zhuǎn)化為另一個(gè)較簡單的定積分進(jìn)行計(jì)算，還可以用分部積分法實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化。分部積分法就是根據(jù)乘法求導(dǎo)法則推出的來簡化定積分計(jì)算的一種公式方法：式(3.6)被稱為定積分的分部積分公式。分部積分法一般用于解決積分函數(shù)為冪函數(shù)與其他基本初等函數(shù)乘積、三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積形式的定積分計(jì)算問題。其關(guān)鍵在于如何湊成一個(gè)函數(shù)的微分dv,才能使公式右邊的定積分比公式左邊的定積分

容易求出。定積分的計(jì)算五、反常積分定積分的計(jì)算03定積分的應(yīng)用PARTTHREE定積分的應(yīng)用一、微元法定積分的思想是17世紀(jì)人類最偉大的成果之一，它對于解決那些不規(guī)則、非均勻、非恒定的整體量計(jì)算問題非常有用，因而定積分在各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，定積分的無限求和思想常被歸納為一種更為廣泛意義下的微元法。定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用二、求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積1.平面圖形的面積設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(x)>g(x),求由曲線y=f(x),y=g(x)及直線x=a,x=b所圍平面圖形的面積。2.旋轉(zhuǎn)體的體積所謂旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)平面圖形繞著這個(gè)平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體，這條直線稱為旋轉(zhuǎn)軸車床切削加工出來的工件很多都是旋轉(zhuǎn)體，常見的有圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球等，它們可分別看成是由矩形繞它的一條邊、直角三角形繞它的直角邊、直角梯形繞它的直角腰和半圓繞它的直徑旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體。定積分的應(yīng)用三、定積分在工程上的應(yīng)用舉例

1.計(jì)算光滑曲線的弧長工程上的曲面大多都是光滑的，經(jīng)常需要求曲面上一些曲線的長，即存在如下問題：設(shè)曲線弧由參數(shù)方程：給定，其中φ(t),ψ(t)在區(qū)間[α,β]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且φ′(t),ψ′(t)不同時(shí)為零，求該曲線弧的長度。分析采用微元法，選擇參數(shù)為積分變量，任取積分區(qū)間[α,β]上一個(gè)微小區(qū)間[t,t+△t],該微小區(qū)間上小弧段的長度可近似等于對應(yīng)的弦的長度定積分的應(yīng)用2.求變力做功如果物體受恒力F作用沿著力的方向移動(dòng)一段距離s,那么力所做的功W=F·s。工程上經(jīng)常要考慮這樣的問題：如果物體在變力F(x)作用下沿著x軸從x=a運(yùn)動(dòng)到x=b,求變力F(x)所做的功。3.求液體側(cè)壓力由物理學(xué)壓強(qiáng)知識知道，在液面下深度為h處的壓強(qiáng)為p=pgh,其中p是液體的密度，g是重力加速度，如果有一個(gè)面積為A的薄板水平地放置于該液面下h處，則薄板一側(cè)所受到的液體壓力為F=pA。但在實(shí)際問題中，往往要計(jì)算薄板豎直放置在