應用統計學：ARMA模型

ARMA模型

ARMA模型AR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）

ARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel）AR模型的定義具有如下結構的模型稱為階自回歸模型，簡記為特別當時，稱為中心化模型

AR(P)序列中心化變換稱為的中心化序列，令AR模型平穩(wěn)性判別

判別原因AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一，但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的

判別方法單位根判別法平穩(wěn)域判別法單位根檢驗自回歸序列平穩(wěn)，要求成立的條件AR(2)的平穩(wěn)域MA模型的定義具有如下結構的模型稱為階自回歸模型，簡記為特別當時，稱為中心化模型MA模型的統計性質常數均值常數方差ARMA模型的定義具有如下結構的模型稱為自回歸移動平均模型，簡記為特別當時，稱為中心化模型系數多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡記為

階自回歸系數多項式階移動平均系數多項式平穩(wěn)條件與可逆條件ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)條件P階自回歸系數多項式的根都在單位圓外即ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性完全由其自回歸部分的平穩(wěn)性決定ARMA(p,q)模型的可逆條件q階移動平均系數多項式的根都在單位圓外即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移動平滑部分的可逆性決定ARMA(p,q)模型的統計性質均值協方差自相關系數例3.7:考察ARMA模型的相關性擬合模型ARMA(1,1)

并直觀地考察該模型自相關系數和偏自相關系數的性質。

自相關系數和偏自相關系數拖尾性樣本自相關圖樣本偏自相關圖平穩(wěn)序列建模

建模步驟模型識別參數估計模型檢驗模型優(yōu)化序列預測建模步驟平穩(wěn)非白噪聲序列計算樣本相關系數模型識別參數估計模型檢驗模型優(yōu)化序列預測YN模型識別基本原則選擇模型拖尾P階截尾AR(P)q階截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)例選擇合適的模型ARMA擬合1950年——1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列。序列自相關圖序列偏自相關圖擬合模型識別自相關圖顯示延遲3階之后，自相關系數全部衰減到2倍標準差范圍內波動，這表明序列明顯地短期相關。但序列由顯著非零的相關系數衰減為小值波動的過程相當連續(xù)，相當緩慢，該自相關系數可視為不截尾

偏自相關圖顯示除了延遲1階的偏自相關系數顯著大于2倍標準差之外，其它的偏自相關系數都在2倍標準差范圍內作小值隨機波動，而且由非零相關系數衰減為小值波動的過程非常突然，所以該偏自相關系數可視為一階截尾

所以可以考慮擬合模型為AR(1)例美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSHORT序列

序列自相關圖序列偏自相關圖擬合模型識別自相關圖顯示除了延遲1階的自相關系數在2倍標準差范圍之外，其它階數的自相關系數都在2倍標準差范圍內波動。根據這個特點可以判斷該序列具有短期相關性，進一步確定序列平穩(wěn)。同時，可以認為該序列自相關系數1階截尾偏自相關系數顯示出典型非截尾的性質。綜合該序列自相關系數和偏自相關系數的性質，為擬合模型定階為MA(1)

例1880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列

序列自相關圖序列偏自相關圖擬合模型識別自相關系數顯示出不截尾的性質偏自相關系數也顯示出不截尾的性質綜合該序列自相關系數和偏自相關系數的性質，可以嘗試使用ARMA(1,1)模型擬合該序列參數估計待估參數個未知參數常用估計方法矩估計極大似然估計最小二乘估計例確定1950年——1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合模型的口徑

擬合模型：AR(1)估計方法：極大似然估計模型口徑例確定美國科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSHORTS序列擬合模型的口徑

擬合模型：MA(1)估計方法：條件最小二乘估計模型口徑例確定1880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列擬合模型的口徑

擬合模型：ARMA(1,1)估計方法：條件最小二乘估計模型口徑模型檢驗模型的顯著性檢驗整個模型對信息的提取是否充分參數的顯著性檢驗模型結構是否最簡模型的顯著性檢驗目的檢驗模型的有效性（對信息的提取是否充分）檢驗對象殘差序列判定原則一個好的擬合模型應該能夠提取觀察值序列中幾乎所有的樣本相關信息，即殘差序列應該為白噪聲序列

反之，如果殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著殘差序列中還殘留著相關信息未被提取，這就說明擬合模型不夠有效假設條件原假設：殘差序列為白噪聲序列備擇假設：殘差序列為非白噪聲序列檢驗統計量LB統計量例檢驗1950年——1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合模型的顯著性

殘差白噪聲序列檢驗結果延遲階數LB統計量P值檢驗結論65.830.3229擬合模型顯著有效1210.280.50501811.380.8361參數顯著性檢驗目的檢驗每一個未知參數是否顯著非零。刪除不顯著參數使模型結構最精簡

假設條件檢驗統計量例檢驗1950年——1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列極大似然估計模型的參數是否顯著

參數檢驗結果檢驗參數t統計量P值結論均值46.12<0.0001顯著6.72<0.0001顯著對OVERSHORTS序列的擬合模型進行檢驗

殘差白噪聲檢驗參數顯著性檢驗檢驗參數t統計量P值結論均值－3.75<0.0004顯著10.60<0.0001顯著延遲階數LB統計量P值結論63.150.6772模型顯著有效129.050.6171對1880-1985全球氣表平均溫度改變值差分序列擬合模型進行檢驗

殘差白噪聲檢驗參數顯著性檢驗檢驗參數t統計量P值結論16.34<0.0001顯著3.50.0007顯著延遲階數LB統計量P值結論65.280.2595模型顯著有效1210.300.4247模型優(yōu)化問題提出當一個擬合模型通過了檢驗，說明在一定的置信水平下，該模型能有效地擬合觀察值序列的波動，但這種有效模型并不是唯一的。優(yōu)化的目的選擇相對最優(yōu)模型擬合某一化學序列序列自相關圖序列偏自相關圖擬合模型一根據自相關系數2階截尾，擬合MA(2)模型參數估計模型檢驗模型顯著有效

三參數均顯著

擬合模型二根據偏自相關系數1階截尾，擬合MA(1)模型參數估計模型檢驗模型顯著有效

兩參數均顯著

AR(p)序列的預測預測值預測方差95％置信區(qū)間例已知某超市月銷售額近似服從AR(2)模型（單位：萬元/每月）今年第一季度該超市月銷售額分別為：101，96，97.2萬元請確定該超市第二季度每月銷售額的95％的置信區(qū)間解：預測值計算四月份五月份六月份置信區(qū)間公式估計結果預測時期95％置信區(qū)間四月份（85.36，108.88）

五月份（83.72，111.15）

六月份（81.84，113.35）

北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄比例序列擬合與預測圖

MA(q)序列的預測預測值預測方差例已知某地區(qū)每年常駐人口數量近似服從MA(3)模型（單位：萬）：最近3年的常駐人口數量及一步預測數量如下：預測未來5年該地區(qū)常住人口的95％置信區(qū)間年份統計人數預測人數200210411020031081002004105109解：隨機擾動項的計算估計值的計算預測方差的計算置信區(qū)間的計算預測年份95％置信區(qū)間2005（99，119）

2006（83，109）

2007（87，115）

2008（86，114）

2009（86，114）

ARMA(p,q)序列預測預測值預測方差例已知模型為：且

預測未來3期序列值的95％的置信區(qū)間。