2023學(xué)年完整公開課版切割線定理

§3.4切割線定理復(fù)習(xí)：

1、如圖在⊙O中弦AB、CD相交于點P，則有

怎樣的結(jié)論？答：PA?PB=PC?PD怎樣證明上述結(jié)論？答：連接BC、AD證明△PBC∽△PDA

PTAB5001050已知:PT是的切線,且PT=500km,直徑AB=10500km,求PA=?⊙O答：PC2=PA?PB怎樣證明結(jié)論？OBPCA已知：（如圖）點P為⊙O外一點，PC切

⊙O于點C，割線PBA交⊙O于A、B已知：（如圖）點P為⊙O外一點，PC切

⊙O于點C，割線PBA交⊙O于A、B求證：PC2=PA?PB證明：連接AC、BC，∵PC切⊙O于點C∴∠B=∠PCA，又∠P=∠P∴△PCA∽△PBC∴PC：PA=PB：PC∴PC2=PA?PB切割線定理：從圓外一點引圓的切線和條割線切線長是這點到割線與圓的交點的兩條線段長的比例中項。幾何語言描述:∵PC是⊙O的切線∴PC2=PA?PB這也是今后做題的一個基本圖形利用△PCA∽△PBC

得到PA?PB=PC?PD答：PC2=PA?PBOBPCA已知：點P為⊙O外一點，割線PBA、PDC分別交⊙O于A、B和C、D（如下圖）求證：PA?PB=PC?PD證明：連接AC、BD，∵四邊形ABDC為⊙O的內(nèi)接四邊形∴∠PDB=∠A，又∠P=∠P∴△PBD∽△PCA∴PD：PA=PB：PC∴PA?PB=PC?PD割線定理：

從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每一條割線與圓的交點的兩條線段的乘積相等幾何語言描述:∵PAB,PCD是⊙O的割線∴PA?PB=PC?PDPA?PB=PC?PDPA?PB=PC?PD點P從圓內(nèi)移動到遠(yuǎn)外PC2=PA?PBOBPCAAB交CD于點

=>

PA?PB=PC?PDPC切⊙O于點C點

=>

PA?PB=PC2割線PCD、PAB交⊙O于點C、D和A、B

=>

PA?PB=PC?PD思考：從這幾個定理的結(jié)論里大家能發(fā)現(xiàn)什么共同點？結(jié)論都為乘積式幾條線段都是從同一點出發(fā)都是通過三角形相似來證明（都隱含著三角形相似）我們學(xué)過的定理中還有結(jié)論為乘積式的嗎？TABPO已知:PT是的切線,且PT=500km,直徑AB=1050km,求PA=?⊙O這也是今后做題的一個基本圖形∵PＴ是⊙O的切線∴PＴ2=PA?PB(x+1250)(x-200)=0x=200或x=-1250(舍去）設(shè)PA＝x，則5002=x(x+1050)1.如圖,割線PAB,PCD分別交圓于A,B和C,D(1)已知PB=5,PA=8,PC=4,PD=PT=(2)已知PA=5,PB=8,PO=7半徑R=2.如圖,割線PAB,PCD分別交圓于A,B和C,D,連結(jié)AC,BD,下面各比例式中成立的有:(1)(2)(3)小試身手：103

已知：（如圖）過⊙O外一點P作兩條割線，分別交⊙O于點A、B和C、D，再作⊙O的切線PE，E為切點，連接CE、DE。已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm.

（1）求PC的長（2）設(shè)CE=a,試用含a的代數(shù)式表示DE。解：（1）由切割線定理，得PC?PD=PA?PB解得：（負(fù)數(shù)不合題意，舍去）∵AB=3cm,PA=2cm∴PB=AB+PA=5（cm）∵CD=4cm∴PD=PC+CD=PC+4∴PC（PC+4）=2X5化簡，整理得：PC2+4PC?10=0由(1)得PE2=PA?PB=10由弦切角定理,得∠CEP=∠D又∵∠CPE=∠EPD∴△CPE∽△EPD∴PE=∴∴∴例2：（如圖）A是⊙O上一點，過A切線交直徑CB的延長線于點P，AD⊥BC，D為垂足。求證：

PB：PD=PO：PC。分析：要證明PB：PD=PO：PC很明顯PB、PD、PO、PC在同一直線上無法直接用相似證明，且在圓里的比例線段通?；癁槌朔e式來證明，所以可以通過證明PB?PC=PD?PO,而由切割線定理有PA2=PB?PC只需再證PA2=PD?PO，PA為切線所以連接PO由射影定理得到。1、如圖：過點A作⊙O的兩條割線分別⊙O交于B、C和D、E。已知AD=4，DE=2,

CE=5，AB=BC，求AB、BD2、如圖：PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線，已知⊙O的半徑為8，PB=4，PC=9求PA及點到圓心的距離PO大展才干：3、如圖：A、B兩點在x軸上原點的右邊，點A在點B的左邊，經(jīng)過A、B兩點的⊙C與y軸相切于點D（0，-3），如果AB=4（1）求A、B兩點的坐標(biāo)（2）求圓心C的坐標(biāo)