重慶市二0三中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題 數(shù)學(xué)（解析版）

二0三中學(xué)校2022-23上期高三第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A B. C. D.2.根據(jù)分類變量與觀察數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，依據(jù)下表給出的獨(dú)立性檢驗(yàn)中（）A.有的把握認(rèn)為變量與獨(dú)立B.有的把握認(rèn)為變量與不獨(dú)立C.變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過D.變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過3.函數(shù)圖象大致是（）A. B.C. D.4.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素后，在距釋放處的地方測(cè)得信息素濃度y滿足，其中A，K為非零常數(shù).已知釋放1s后，在距釋放處2m的地方測(cè)得信息素濃度為a，則釋放信息素4s后，信息素濃度為的位置距釋放處的距離為（）A. B. C.2m D.4m5.六名大四學(xué)生（其中4名男生、2名女生）被安排到A、B、C三所學(xué)校實(shí)習(xí)，每所學(xué)校2人，且2名女生不到同一學(xué)校，也不到C學(xué)校，男生甲不到A學(xué)校，則不同的安排方法共有（）A.9種 B.12種 C.15種 D.18種6.曲線上點(diǎn)到直線的最短距離是（）A.2 B. C. D.7.若，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.8.若，且的解集為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二?多選題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，定義函數(shù)為取值不超過的概率，即.若，則下列說法正確的有（）A. B.C.在上是增函數(shù) D.10.已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.D.在上的值域?yàn)?1.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.在單調(diào)遞增B.為的一個(gè)極小值點(diǎn)C.無最大值D.有唯一零點(diǎn)12.已知a，，滿足，則（）A. B. C. D.三?填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.命題“，”是______（填：真/假）命題，它的否定是________.14.已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，則sinβ的值為________．15.函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為__________．16.記定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，，則不等式的解集為______．四、解答題：本大題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17.設(shè)函數(shù)，在處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間和最值.18.（1）設(shè)，為銳角，且，，求的值；（2）化簡(jiǎn)求值：．19.高三年級(jí)某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，成績(jī)分組區(qū)間為：，，，，，，．其中，，成等差數(shù)列且．物理成績(jī)統(tǒng)計(jì)如表．（說明：數(shù)學(xué)滿分150分，物理滿分100分），若數(shù)學(xué)成績(jī)不低于140分等第為“優(yōu)”，物理成績(jī)不低于90分等第為“優(yōu)”.分組頻數(shù)6920105（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求出實(shí)數(shù)，，的值以及數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”的人數(shù)；（2）已知本班中至少有一個(gè)“優(yōu)”同學(xué)總數(shù)為6人，從該6人中隨機(jī)抽取3人，記為抽到兩個(gè)“優(yōu)”的學(xué)生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．20已知函數(shù).（1）求的最小正周期和對(duì)稱軸方程；（2）若函數(shù)在存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.2022年冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)主辦城市是北京，北京成為第一個(gè)舉辦過夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)以及亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)三項(xiàng)國(guó)際賽事的城市.為迎接冬奧會(huì)的到來，某地很多中小學(xué)開展了模擬冬奧會(huì)賽事的活動(dòng)，為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動(dòng)的參與情況，在該地隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：（1）在這10所學(xué)校中隨機(jī)選取3所來調(diào)查研究，求在抽到學(xué)校至少有一個(gè)參與“自由式滑雪”超過40人的條件下，“單板滑雪”不超過30人的概率；（2）現(xiàn)在有一個(gè)“單板滑雪”集訓(xùn)營(yíng)，對(duì)“滑行?轉(zhuǎn)彎?停止”這3個(gè)動(dòng)作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測(cè)試.規(guī)定：在一輪測(cè)試中，這3個(gè)動(dòng)作中至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”.則該輪測(cè)試記為“優(yōu)秀”，在集訓(xùn)測(cè)試中，小明同學(xué)3個(gè)動(dòng)作中每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個(gè)動(dòng)作互不影響且每輪測(cè)試互不影響.如果小明同學(xué)在集訓(xùn)測(cè)試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平均值達(dá)到3次，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪測(cè)試？22.設(shè)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）令，若在上恒成立，求的最小值．

二0三中學(xué)校2022-23上期高三第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，然后根據(jù)交集運(yùn)算即可得到答案【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，故選：D2.根據(jù)分類變量與的觀察數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，依據(jù)下表給出的獨(dú)立性檢驗(yàn)中（）A.有的把握認(rèn)為變量與獨(dú)立B.有的把握認(rèn)為變量與不獨(dú)立C.變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過D.變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過【答案】D【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的含義進(jìn)行判斷可得.【詳解】由題意，，所以有的把握認(rèn)為變量與不獨(dú)立，即變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過.故選：D3.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性排除兩個(gè)選項(xiàng)，再利用時(shí)，值為正即可判斷作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，，即是奇函數(shù)，A，B不滿足；當(dāng)時(shí)，即，則，而，因此，D不滿足，C滿足.故選：C4.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素后，在距釋放處的地方測(cè)得信息素濃度y滿足，其中A，K為非零常數(shù).已知釋放1s后，在距釋放處2m的地方測(cè)得信息素濃度為a，則釋放信息素4s后，信息素濃度為的位置距釋放處的距離為（）A. B. C.2m D.4m【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，根據(jù)和時(shí)的表達(dá)式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由，，，得當(dāng)，時(shí)，，即，因此，故.故選：D.5.六名大四學(xué)生（其中4名男生、2名女生）被安排到A、B、C三所學(xué)校實(shí)習(xí)，每所學(xué)校2人，且2名女生不到同一學(xué)校，也不到C學(xué)校，男生甲不到A學(xué)校，則不同的安排方法共有（）A.9種 B.12種 C.15種 D.18種【答案】D【解析】【分析】用分步方法安排：第一步安排2名女生到兩個(gè)學(xué)校，第二步學(xué)校選除男生甲外的1名男生，第三步學(xué)校再?gòu)氖Ｏ碌?名男生中選1名，第四步最后2名男生安排到學(xué)校，由乘法原理計(jì)數(shù)．【詳解】第一步2名女生分配到兩個(gè)學(xué)校，方法數(shù)為，第二步學(xué)校選1名男生，方法數(shù)為（不含男生甲），第三步學(xué)校從剩下的3名男生中選1名，方法為，最后還有2名男生到學(xué)校，所以總方法數(shù)為．故選：D．6.曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出曲線與直線平行的切線的切點(diǎn)，則到直線的距離即為所求．【詳解】解：由題知：，再令得，故與直線平行的切線的切點(diǎn)為，所以所求的距離為：．故選：D．7.若，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由及二倍角的余弦公式可得，根據(jù)兩角差的正弦公式可得，由誘導(dǎo)公式及的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】解：∵，∴.由，可得，即.∴，∴.∵，∴，且.由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，即.故選:C.8.若，且的解集為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，由，得到，求導(dǎo)得到單調(diào)遞增，從而求得的范圍，再求得當(dāng)時(shí)，的范圍，再結(jié)合題意得到結(jié)果即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由，可得，設(shè)，則，則在遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，的解集為當(dāng)時(shí)，的解集為，不滿足題意，舍去因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為當(dāng)時(shí)，，滿足當(dāng)時(shí)，，不滿足綜上可得:的取值范圍是故選:B.二?多選題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，定義函數(shù)為取值不超過的概率，即.若，則下列說法正確的有（）A. B.C.在上是增函數(shù) D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)和逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，，所以，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，，所以當(dāng)時(shí)，隨的增大，的值在增大，所以在上是增函數(shù)，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以D正確，故選：ACD10.已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱CD.在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緼C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)圖像求出的解析式，進(jìn)而判斷AC；利用代入檢驗(yàn)法可判斷B；利用換元法和三角函數(shù)性質(zhì)求出在上的值域可判斷D.【詳解】由圖像可知，，，故A正確；從而，又由，，因?yàn)?，所以，從而，故C正確；因?yàn)?，所以不是的?duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，，所以，故，即，從而，即在上的值域?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.在單調(diào)遞增B.為的一個(gè)極小值點(diǎn)C.無最大值D.有唯一零點(diǎn)【答案】ABC【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)分析、推理判斷選項(xiàng)A，B，C；舉例說明判斷D作答.【詳解】依題意，，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，令，則，即在上遞增，，則在上遞增，，因此在上遞增，A正確；當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，顯然函數(shù)在上遞增，而，，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，則，因此為的一個(gè)極小值點(diǎn)，B正確；當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上遞增，當(dāng)時(shí)，，而在上遞增，值域?yàn)?，因此?dāng)時(shí)，，所以無最大值，C正確；因，即和是函數(shù)的零點(diǎn)，D不正確.故選：ABC【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是，且在左側(cè)與右側(cè)的符號(hào)不同．12.已知a，，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A、D利用基本不等式即可判斷，注意等號(hào)成立條件；B由，構(gòu)造且，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；C根據(jù)A、B的分析，應(yīng)用特殊值法判斷.【詳解】A：由，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，正確；B：由，則且，令且，則，遞減，所以，，即成立，正確；C：當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；D：由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，正確.故選：ABD三?填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.命題“，”是______（填：真/假）命題，它的否定是________.【答案】①.真②.，【解析】【分析】利用判定全稱量詞命題真假方法判斷，再寫出其否定作答.【詳解】命題“，”是全稱量詞命題，因，，則，所以命題“，”是真命題，其否定是：，.故答案為：真；，14.已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，則sinβ的值為________．【答案】【解析】【詳解】2tan(π－α)－3cos＋5＝0化為－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1化為tanα－6sinβ＝1，解方程組因而sinβ＝.故填.15.函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為__________．【答案】9【解析】【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，，作出這兩個(gè)函數(shù)的部分圖象，確定兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再結(jié)合性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】由，令，，顯然與的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)，的圖象，如圖，觀察圖象知，函數(shù)，的圖象有6個(gè)公共點(diǎn)，其橫坐標(biāo)依次為，這6個(gè)點(diǎn)兩兩關(guān)于直線對(duì)稱，有，則，所以函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為9.故答案為：916.記定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，，則不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】首先設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，不等式等價(jià)于，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】設(shè)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，且，不等式，所以.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17.設(shè)函數(shù)，在處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)，值；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間和最值.【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為1，最小值為.【解析】【分析】（1）由題意先求的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切點(diǎn)的性質(zhì)，建立的方程求解即可.（2）求的導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)在上的最值.【小問1詳解】因，所以，又的圖象在處的切線方程為，所以解得【小問2詳解】由（1）可知，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，又，所以在上的最大值為1，最小值為.18.（1）設(shè)，為銳角，且，，求的值；（2）化簡(jiǎn)求值：．【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求得，然后算出的值，結(jié)合范圍即可得到答案；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、輔助角公式和二倍角公式，求得所給式子的值.【詳解】解：（1）∵為銳角，，且，∴；∵為銳角，，且，∴，∴，∵，∴；（2）19.高三年級(jí)某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，成績(jī)分組區(qū)間為：，，，，，，．其中，，成等差數(shù)列且．物理成績(jī)統(tǒng)計(jì)如表．（說明：數(shù)學(xué)滿分150分，物理滿分100分），若數(shù)學(xué)成績(jī)不低于140分等第為“優(yōu)”，物理成績(jī)不低于90分等第為“優(yōu)”.分組頻數(shù)6920105（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求出實(shí)數(shù)，，的值以及數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”的人數(shù)；（2）已知本班中至少有一個(gè)“優(yōu)”同學(xué)總數(shù)為6人，從該6人中隨機(jī)抽取3人，記為抽到兩個(gè)“優(yōu)”的學(xué)生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1），，，4人；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）根據(jù)題中條件和頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程，從而解得結(jié)果；（2）依題意可得抽取6人中，兩科均為“優(yōu)”的同學(xué)為3人，寫出的可能值，求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而可得分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由于，，．解得，，，數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”的人數(shù)：（人）（2）數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”的同學(xué)有4人，物理成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”有5人，因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)“優(yōu)”的同學(xué)總數(shù)為6名同學(xué)，故兩科均為“優(yōu)”的同學(xué)為3人，故的取值為0，1，2，3．，，．則的分布列為0123．20.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和對(duì)稱軸方程；（2）若函數(shù)在存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）最小正周期為，對(duì)稱軸方程為（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在上有解，根據(jù)時(shí)，得到，即可求解.【小問1詳解】解：對(duì)于函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期為，令，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱軸的方程為.【小問2詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在存在零點(diǎn)，即方程在上有解，當(dāng)時(shí)，可得，可得，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.21.2022年冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)主辦城市是北京，北京成為第一個(gè)舉辦過夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)以及亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)三項(xiàng)國(guó)際賽事的城市.為迎接冬奧會(huì)的到來，某地很多中小學(xué)開展了模擬冬奧會(huì)賽事的活動(dòng)，為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動(dòng)的參與情況，在該地隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：（1）在這10所學(xué)校中隨機(jī)選取3所來調(diào)查研究，求在抽到學(xué)校至少有一個(gè)參與“自由式滑雪”超過40人的條件下，“單板滑雪”不超過30人的概率；（2）現(xiàn)在有一個(gè)“單板滑雪”集訓(xùn)營(yíng)，對(duì)“滑行?轉(zhuǎn)彎?停止”這3個(gè)動(dòng)作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測(cè)試.規(guī)定：在一輪測(cè)試中，這3個(gè)動(dòng)作中至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”.則該輪測(cè)試記為“優(yōu)秀”，在集訓(xùn)測(cè)試中，小明同學(xué)3個(gè)動(dòng)作中每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個(gè)動(dòng)作互不影響且每輪測(cè)試互不影響.如果小明同學(xué)在集訓(xùn)測(cè)試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平