等差數(shù)列前n項(xiàng)和

等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用洞口縣第二中學(xué)數(shù)學(xué)組

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所建，是世界七大奇跡之一。

傳說陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，你知道這個(gè)圖案中有多少寶石嗎？1+2+3+…+98+99+100=？一、情境引入

袁老師按揭買房,向銀行貸款25萬元，采取等額本金的還款方式，即每月還款額比上月減少一定的數(shù)額。2007年1月，我第一次向銀行還款2348元，以后每月比上月的還款額減少5元，若以2007年1月銀行貸款利率為基準(zhǔn)利率,那么到2026年12月最后一次還款為止，袁老師連本帶利一共還款多少萬元？一、情境引入等差數(shù)列{an}，a1=2348,d=-5,n=240高斯（1777---1855），德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家。他和牛頓、阿基米德，被譽(yù)為有史以來的三大數(shù)學(xué)家。有“數(shù)學(xué)王子”之稱。

計(jì)算：1＋2＋3＋…

＋99＋100探究1：=(100+1)×50=5050.高斯的算法:不同數(shù)的求和相同數(shù)（即101）的求和加法運(yùn)算乘法運(yùn)算首尾

配對(duì)轉(zhuǎn)化化歸

猜想：探究：計(jì)算1＋2＋3＋…＋101=？思考1

?當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)？1+2+3+...+101=?思路1（拿出末項(xiàng)，再首尾配對(duì)）原式=(1+2+3+…

+100)+101思路2（拿出中間項(xiàng)，再首尾配對(duì)）原式=(1+101)+(2+100)+(3+99)+…

+(50+52)+51思路3（先湊成偶數(shù)項(xiàng)，再配對(duì)）原式=(1+2+3+…

+101+102)-102

思路4（先湊成偶數(shù)項(xiàng)，再配對(duì)）原式=0+1+2+3+…

+100+101求偶數(shù)項(xiàng)的和化歸思想求奇數(shù)項(xiàng)的和思考2101101100991123獲得算法：原式=1+2+3+…+99+100+101原式=101+100+99+…+3+2+1二、自主探究1+2+3+...+101=?n＋

(n-1)＋

(n-2)＋…＋

2＋1倒序相加法

那么，對(duì)一般的等差數(shù)列，如何求它的前n項(xiàng)和呢？①②1+2+3+...+(n-1)+n=?二、自主探究

已知等差數(shù)列｛an

｝的首項(xiàng)為a1，項(xiàng)數(shù)是n，第n項(xiàng)為an，求前n項(xiàng)和Sn.①②三、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)

思考：從函數(shù)角度理解公式（2）：

二次型函數(shù)解:由已知每月還款數(shù)成等差數(shù)列,設(shè)為

袁老師按揭買房,向銀行貸款25萬元，采取等額本金的還款方式，即每月還款額比上月減少一定的數(shù)額。2007年1月，我第一次向銀行還款2348元，以后每月比上月的還款額減少5元，若以2007年1月銀行貸款利率為基準(zhǔn)利率,那么到2026年12月最后一次還款為止，袁老師連本帶利一共還款多少萬元？

這個(gè)公式表明，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和可由首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)唯一確定．

如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1，公差為d，那么該等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為：

如何根據(jù)公式的結(jié)構(gòu)特征來記憶公式呢？四、等差數(shù)列的前項(xiàng)和n公式等腰梯形的面積=平行四邊形面積+三角形面積根據(jù)前面的類比推導(dǎo)過程，你能說出等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式與梯形的面積公式之間有什么聯(lián)系嗎？五、公式的幾何理解

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，完成下表：

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共有“a1，d，n，an，Sn”五個(gè)量，故知三可求其二．六、學(xué)以致用題號(hào)a1ndansn(1)100512(2)32n+1195(3)10-102007650132945六、學(xué)以致用七、總結(jié)等差前n項(xiàng)和Sn公式的推導(dǎo)；（從特殊到一般，倒序相加法）等差前n項(xiàng)和Sn公式的記憶與應(yīng)用；（幾何解釋數(shù)形結(jié)