四川省雅安市2020年中考數(shù)學真題試題含解析

2020年四川省雅安市中考數(shù)學試卷一．選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分．不需寫出解答過程，請把最后結(jié)果填在題后括號內(nèi)．1．實數(shù)2020的相反數(shù)是（）A．2020 B． C．﹣2020 D．﹣【解答】解：2020的相反數(shù)是：﹣2020．故選：C．2．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是A選項．故選：A．3．一個幾何體由若干大小相同的小正方體組成，它的俯視圖和左視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少為（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由俯視圖與左視圖知，該幾何體所需小正方體個數(shù)最少分布情況如下圖所示：所以組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少為5，故選：B．4．下列式子運算正確的是（）A．2x+3x＝5x2 B．﹣（x+y）＝x﹣y C．x2?x3＝x5 D．x4+x＝x4【解答】解：A、2x+3x＝5x，故此選項錯誤；B、﹣（x+y）＝﹣x﹣y，故此選項錯誤；C、x2?x3＝x5，正確；D、x4+x，無法合并，故此選項錯誤．故選：C．5．下列四個選項中不是命題的是（）A．對頂角相等 B．過直線外一點作直線的平行線 C．三角形任意兩邊之和大于第三邊 D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c【解答】解：由題意可知，A、C、D都是命題，B不是命題．故選：B．6．已知+|b﹣2a|＝0，則a+2b的值是（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：∵+|b﹣2a|＝0，∴a﹣2＝0，b﹣2a＝0，解得：a＝2，b＝4，故a+2b＝10．故選：D．7．分式＝0，則x的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0【解答】解：∵分式＝0，∴x2﹣1＝0且x+1≠0，解得：x＝1．故選：A．8．在課外活動中，有10名同學進行了投籃比賽，限每人投10次，投中次數(shù)與人數(shù)如下表：投中次數(shù)578910人數(shù)23311則這10人投中次數(shù)的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．3.9，7 B．6.4，7.5 C．7.4，8 D．7.4，7.5【解答】解：這10人投中次數(shù)的平均數(shù)為＝7.4，中位數(shù)為＝7.5，故選：D．9．如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sinB＝0.5，若AC＝6，則BC的長為（）A．8 B．12 C．6 D．12【解答】解：法一、在Rt△ACB中，∵sinB＝＝＝0.5，∴AB＝12．∴BC＝＝＝6．故選：C．法二、在Rt△ACB中，∵sinB＝0.5，∴∠B＝30°．∵tanB＝＝＝，∴BC＝6．故選：C．10．如果關于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有兩個實數(shù)根，那么k的取值范圍是（）A．k B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k【解答】解：∵關于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有兩個實數(shù)根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，解得k≤且k≠0，故選：C．11．如圖，△ABC內(nèi)接于圓，∠ACB＝90°，過點C的切線交AB的延長線于點P，∠P＝28°．則∠CAB＝（）A．62° B．31° C．28° D．56°【解答】解：連接OC，如圖，∵PC為切線，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∴∠POC＝90°﹣∠P＝90°﹣28°＝62°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，而∠POC＝∠A+∠OCA，∴∠A＝×62°＝31°．故選：B．12．已知，等邊三角形ABC和正方形DEFG的邊長相等，按如圖所示的位置擺放（C點與E點重合），點B、C、F共線，△ABC沿BF方向勻速運動，直到B點與F點重合．設運動時間為t，運動過程中兩圖形重疊部分的面積為S，則下面能大致反映s與t之間關系的函數(shù)圖象是（）A． B． C． D．【解答】解：設等邊三角形ABC和正方形DEFG的邊長都為a，當點A在D點的左側(cè)時，設AC交DE于點H，則CE＝t，HE＝ETtanACB＝t×＝t，則S＝S△CEH＝×CE×HE＝×t×t＝t2，圖象為開口向上的二次函數(shù)；當點A在DG上時，同理可得：S＝a2﹣（a﹣t）2＝（﹣t2+2at），圖象為開口向下的二次函數(shù)；點C在EF的中點右側(cè)時，同理可得：S＝S△BFH＝×BF×HF＝×（t﹣a）×（t﹣a）＝（t﹣a）2，圖象為開口向上的二次函數(shù)．故選：A．二．填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．不需寫出解答過程，請把最后結(jié)果填在題中橫線上．13．如圖，a∥b，c與a，b都相交，∠1＝50°，則∠2＝130°．【解答】解：∵a∥b，∠1＝50°，∴∠1＝∠3＝50°，∴∠2＝180°﹣∠3＝130°，故答案為：130°．14．如果用+3℃表示溫度升高3攝氏度，那么溫度降低2攝氏度可表示為﹣2℃．【解答】解：如果用+3℃表示溫度升高3攝氏度，那么溫度降低2攝氏度可表示為：﹣2℃．故答案為：﹣2℃．15．從﹣，﹣1，1，2，5中任取一數(shù)作為a，使拋物線y＝ax2+bx+c的開口向上的概率為．【解答】解：在所列的5個數(shù)中任取一個數(shù)有5種等可能結(jié)果，其中使拋物線y＝ax2+bx+c的開口向上的有3種結(jié)果，∴使拋物線y＝ax2+bx+c的開口向上的概率為，故答案為：．16．若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，則x2+y2＝6．【解答】解：設x2+y2＝z，則原方程轉(zhuǎn)化為z2﹣5z﹣6＝0，（z﹣6）（z+1）＝0，解得z1＝6，z2＝﹣1，∵x2+y2不小于0，∴x2+y2＝6，故答案為6．17．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD＝2，BC＝4，則AB2+CD2＝20．【解答】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案為：20．三、解答題（本大題共7個小題，共69分）解答要求寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程．18．（12分）（1）計算：（﹣1）2020+（π﹣1）0×（）﹣2；（2）先化簡（﹣x+1）÷，再從﹣1，0，1中選擇合適的x值代入求值．【解答】解：（1）原式＝1+1×＝1+＝；（2）原式＝（﹣）÷＝?＝，∵x≠±1，∴取x＝0，則原式＝﹣1．19．（8分）從某校初三年級中隨機抽查若干名學生摸底檢測的數(shù)學成績（滿分為120分），制成如圖的統(tǒng)計直方圖，已知成績在80～90分（含80分，不含90分）的學生為抽查人數(shù)的15%，且規(guī)定成績大于或等于100分為優(yōu)秀．（1）求被抽查學生人數(shù)及成績在100～110分的學生人數(shù)m；（2）在被抽查的學生中任意抽取1名學生，則這名學生成績?yōu)閮?yōu)秀的概率；（3）若該校初三年級共有300名學生，請你估計本次檢測中該校初三年級數(shù)學成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)．【解答】解：（1）∵成績在80～90分（含80分，不含90分）的學生有3人，占抽查人數(shù)的15%，∴被抽查的學生人數(shù)為3÷15%＝20（人），則成績在100～110分的學生人數(shù)m＝20﹣（2+3+7+3）＝5；（2）這名學生成績?yōu)閮?yōu)秀的概率為＝；（3）估計本次檢測中該校初三年級數(shù)學成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為300×＝120（人）．20．（8分）某班級為踐行“綠水青山就是金山銀山”的理念，開展植樹活動．如果每人種3棵，則剩86棵；如果每人種5棵，則最后一人有樹種但不足3棵．請問該班有多少學生？本次一共種植多少棵樹？（請用一元一次不等式組解答）【解答】解：設該班有x名學生，則本次一共種植（3x+86）棵樹，依題意，得：，解得：44＜x＜45，又∵x為正整數(shù)，∴x＝45，3x+86＝221．答：該班有45名學生，本次一共種植221棵樹．21．（9分）如圖，已知邊長為10的正方形ABCD，E是BC邊上一動點（與B、C不重合），連結(jié)AE，G是BC延長線上的點，過點E作AE的垂線交∠DCG的角平分線于點F，若FG⊥BG．（1）求證：△ABE∽△EGF；（2）若EC＝2，求△CEF的面積；（3）請直接寫出EC為何值時，△CEF的面積最大．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCG＝90°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCG＝∠DCG＝45°，∵∠G＝90°，∴∠GCF＝∠CFG＝45°，∴FG＝CG，∵四邊形ABCD是正方形，EF⊥AE，∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∵∠B＝∠G＝90°，∴△BAE∽△GEF；（2）∵AB＝BC＝10，CE＝2，∴BE＝8，∴FG＝CG，∴EG＝CE+CG＝2+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴＝，∴，∴FG＝8，∴S△ECF＝CE?FG＝×2×8＝8；（3）設CE＝x，則BE＝10﹣x，∴EG＝CE+CG＝x+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴＝，∴，∴FG＝10﹣x，∴S△ECF＝×CE×FG＝×x?（10﹣x）＝﹣（x2﹣10x）＝﹣（x﹣5）2+，當x＝5時，S△ECF最大＝．22．（9分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)y＝（m為常數(shù)且m≠0）的圖象在第二象限交于點C，CD⊥x軸，垂足為D，若OB＝2OA＝3OD＝6．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）求兩個函數(shù)圖象的另一個交點E的坐標；（3）請觀察圖象，直接寫出不等式kx+b≤的解集．【解答】解：（1）∵OB＝2OA＝3OD＝6，∴OB＝6，OA＝3，OD＝2，∵CD⊥OA，∴DC∥OB，∴＝，∴＝，∴CD＝10，∴點C坐標是（﹣2，10），∵B（0，6），A（3，0），∴，解得，∴一次函數(shù)為y＝﹣2x+6．∵反比例函數(shù)y＝經(jīng)過點C（﹣2，10），∴m＝﹣20，∴反比例函數(shù)解析式為y＝﹣．（2）由解得或，∴E的坐標為（5，﹣4）．（3）由圖象可知kx+b≤的解集是：﹣2≤x＜0或x≥5．23．（10分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∠ABC＝60°，對角線BD平分∠ADC．（1）求證：△ABC是等邊三角形；（2）過點B作BE∥CD交DA的延長線于點E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，∴△ABC是等邊三角形（2）過點A作AM⊥CD，垂足為點M，過點B作BN⊥AC，垂足為點N．∴∠AMD＝90°∵∠ADC＝120°，∴∠ADM＝60°，∴∠DAM＝30°，∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，∵CD＝3，∴CM＝CD+DE＝1+3＝4，∴S△ACD＝CD?AM＝×＝，Rt△AMC中，∠AMD＝90°，∴AC＝＝＝，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝，∴BN＝BC＝，∴S△ABC＝×＝，∴四邊形ABCD的面積＝+＝，∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠E＝60°，∴∠E＝BDC，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠EAB＝∠BCD，在△EAB和△DCB中，∴△EAB≌△DCB（AAS），∴△BDE的面積＝四邊形ABCD的面積＝．24．（13分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交于A、B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），（1）求二次函數(shù)的表達式及A點坐標；（2）D是二次函數(shù)圖象上位于第三象限內(nèi)的點，求點D到直線AC的距離取得最大值時點D的坐標；（3）M是二次函數(shù)圖象對稱軸上的點，在二次函數(shù)圖象上是否存在點N．使以M、N、B、O為頂點的四邊形是平行四邊形？若有，請寫出點N的坐標（不寫求解過程）．【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c則有，解得∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2+2x﹣3，令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0）．（2）如圖1中連接AD，CD．∵點D到直線AC的距離取得最大，∴此時△DAC的面積最大設直線AC解析式為：y＝kx+b，∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴，解得，，∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3，過點D作x軸的垂線交AC于點G，設點D的坐標為（x，x2+2x