線性代數(shù)復(fù)習(xí)題

第一部分專項(xiàng)同時(shí)練習(xí)第一章行列式一、單選題1．下列排列是5階偶排列的是().(A)24315(B)14325(C)41523(D)243512．如果階排列的逆序數(shù)是,則排列的逆序數(shù)是().(A)(B)(C)(D)3.階行列式的展開式中含的項(xiàng)共有()項(xiàng).(A)0(B)(C)(D)4．().(A)0(B)(C)(D)25.().(A)0(B)(C)(D)26．在函數(shù)中項(xiàng)的系數(shù)是().(A)0(B)(C)(D)27.若，則().(A)4(B)(C)2(D)8．若，則().(A)(B)(C)(D)9．已知4階行列式中第1行元依次是,第3行元的余子式依次為,則().(A)0(B)(C)(D)210.若，則中第一行元的代數(shù)余子式的和為().(A)(B)(C)(D)11.若，則中第四行元的余子式的和為().(A)(B)(C)(D)12.等于下列選項(xiàng)中哪個(gè)值時(shí)，齊次線性方程組有非零解.()(A)(B)(C)(D)二、填空題1.階排列的逆序數(shù)是.2．在六階行列式中項(xiàng)所帶的符號(hào)是.3．四階行列式中包含且?guī)д?hào)的項(xiàng)是.4．若一種階行列式中最少有個(gè)元素等于,則這個(gè)行列式的值等于.5.行列式.6．行列式.7．行列式.8．如果，則.9．已知某5階行列式的值為5，將其第一行與第5行交換并轉(zhuǎn)置，再用2乘全部元素，則所得的新行列式的值為.10．行列式.11．階行列式.12．已知三階行列式中第二列元素依次為1,2,3,其對(duì)應(yīng)的余子式依次為3,2,1，則該行列式的值為.13．設(shè)行列式，為D中第四行元的代數(shù)余子式，則.14．已知，D中第四列元的代數(shù)余子式的和為.15．設(shè)行列式，為的代數(shù)余子式，則，.16．已知行列式，D中第一行元的代數(shù)余子式的和為.17．齊次線性方程組僅有零解的充要條件是.18．若齊次線性方程組有非零解，則=.三、計(jì)算題1.;2．；3．解方程；4．；5.()；6.7.；8．;9.;10．11．.四、證明題1．設(shè)，證明：.2．.3．.4．.5．設(shè)兩兩不等，證明的充要條件是.參考答案一．單選題ADACCDABCDBB二．填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.;11.;12.;13.;14.;15.;16.;17.;18.三．計(jì)算題1．；2.；3.;4.5.;6.;7.;8.;9.;10.;11..第二章矩陣一、單選題1.A、B為n階方陣，則下列各式中成立的是()。(a)(b)(c)(d)2.設(shè)方陣A、B、C滿足AB=AC,當(dāng)A滿足()時(shí)，B=C。(a)AB=BA(b)(c)方程組AX=0有非零解(d)B、C可逆3.若為n階方陣，為非零常數(shù)，則()。(a)(b)(c)(d)4.設(shè)為n階方陣，且，則()。(a)中兩行(列)對(duì)應(yīng)元素成比例(b)中任意一行為其它行的線性組合(c)中最少有一行元素全為零(d)中必有一行為其它行的線性組合5.設(shè)，為n階可逆矩陣,下面各式恒對(duì)的的是()。(a)(b)(c)(d)6.設(shè)為n階方陣,為的隨著矩陣,則()。(a)(b)(c)(d)7.設(shè)為3階方陣,行列式,為的隨著矩陣,則行列式()。(a)(b)(c)(d)8.設(shè)，為n階方矩陣,,則下列各式成立的是()。(a)(b)(c)(d)9.設(shè)，均為n階方矩陣,則必有()。(a)(b)(c)(d)10.設(shè)為階可逆矩陣，則下面各式恒對(duì)的的是（）。（a）(b)(c)(d)11.如果，則（）。（a）(b)(c)(d)12.已知，則（）。（a）(b)（c）（d）13.設(shè)為同階方陣，為單位矩陣，若，則（）。（a）（b）（c）（d）14.設(shè)為階方陣，且，則（）。（a）經(jīng)列初等變換可變?yōu)閱挝魂嚕╞）由，可得（c）當(dāng)經(jīng)有限次初等變換變?yōu)闀r(shí)，有（d）以上（a）、（b）、（c）都不對(duì)15.設(shè)為階矩陣，秩，則（）。（a）中階子式不全為零（b）中階數(shù)不大于的子式全為零（c）經(jīng)行初等變換可化為（d）為滿秩矩陣16.設(shè)為矩陣，為階可逆矩陣，，則()。(a)秩()>秩()(b)秩()=秩()(c)秩()<秩()(d)秩()與秩()的關(guān)系依而定17.，為n階非零矩陣，且，則秩()和秩()()。(a)有一種等于零(b)都為n(c)都不大于n(d)一種不大于n，一種等于n18.n階方陣可逆的充足必要條件是()。(a)(b)的列秩為n(c)的每一種行向量都是非零向量(d)隨著矩陣存在19.n階矩陣可逆的充要條件是()。(a)的每個(gè)行向量都是非零向量(b)中任意兩個(gè)行向量都不成比例(c)的行向量中有一種向量可由其它向量線性表達(dá)(d)對(duì)任何n維非零向量，都有二、填空題1.設(shè)為n階方陣,為n階單位陣,且,則行列式_______2.行列式_______3.設(shè)2，則行列式的值為_______4.設(shè)，且已知，則行列式_______5.設(shè)為5階方陣，是其隨著矩陣，且，則_______6.設(shè)4階方陣的秩為2，則其隨著矩陣的秩為_______7.非零矩陣的秩為________8.設(shè)為100階矩陣，且對(duì)任何100維非零列向量，都有，則的秩為_______9.若為15階矩陣，則的第4行第8列的元素是_______10.若方陣與相似，則_______11._______12._______三、計(jì)算題1.解下列矩陣方程(X為未知矩陣).1)；2)；3),其中；；4),其中；5),其中；2.設(shè)為階對(duì)稱陣,且,求.3.已知,求.4.設(shè),,,,求.5.設(shè),求一秩為2的方陣,使.6.設(shè),求非奇異矩陣,使.7.求非奇異矩陣,使為對(duì)角陣.1)2)8.已知三階方陣的三個(gè)特性根為1,1,2,其對(duì)應(yīng)的特性向量依次為,求矩陣.9.設(shè),求.四、證明題1.設(shè)、均為階非奇異陣,求證可逆.2.設(shè)(為整數(shù)),求證可逆.3.設(shè)為實(shí)數(shù),且如果,如果方陣滿足,求證是非奇異陣.4.設(shè)階方陣與中有一種是非奇異的,求證矩陣相似于.5.證明可逆的對(duì)稱矩陣的逆也是對(duì)稱矩陣.6.證明兩個(gè)矩陣和的秩不大于這兩個(gè)矩陣秩的和.7.證明兩個(gè)矩陣乘積的秩不不不大于這兩個(gè)矩陣的秩中較小者.8.證明可逆矩陣的隨著矩陣也可逆，且隨著矩陣的逆等于該矩陣的逆矩陣的隨著矩陣.9.證明不可逆矩陣的隨著矩陣的逆不不不大于1.10.證明每一種方陣均可表達(dá)為一種對(duì)稱矩陣和一種反對(duì)稱矩陣的和。第二章參考答案一：1.a；2.b；3.c；4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；10.d；11.b；12.c；13.b；14.a；15.a；16.b；17.c；18.b；19.d.二．1.1或-1；2.0；3.-4；4.1；5.81；6.0；7.1；8.100；9.；10.I；12.0；11..三、1.1）、；2）、；3）、；4）、；5）、.2.0；3.；4.；5.不唯一；6.；7.1）、.2)、；8.；9..第三章向量一、單選題，都是四維列向量，且四階行列式,,則行列式設(shè)為階方陣，且,則（）。設(shè)為階方陣，，則在的個(gè)行向階方陣可逆的充足必要條件是（）維向量組線性無關(guān)的充足條件是()都不是零向量中任一向量均不能由其它向量線性表達(dá)中任意兩個(gè)向量都不成比例中有一種部分組線性無關(guān)維向量組線性有關(guān)的充要條件是()中最少有一種零向量中最少有兩個(gè)向量成比例中任意兩個(gè)向量不成比例中最少有一向量可由其它向量線性表達(dá)維向量組線性無關(guān)的充要條件是()使得中任意兩個(gè)向量都線性無關(guān)中存在一種向量,它不能被其他向量線性表達(dá)中任一部分組線性無關(guān)設(shè)向量組的秩為,則()中最少有一種由個(gè)向量構(gòu)成的部分組線性無關(guān)中存在由個(gè)向量構(gòu)成的部分組線性無關(guān)中由個(gè)向量構(gòu)成的部分組都線性無關(guān)中個(gè)數(shù)不大于的任意部分組都線性無關(guān)設(shè)均為維向量,那么下列結(jié)論對(duì)的的是()若,則線性有關(guān)若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù),都有,則線性無關(guān)若線性有關(guān),則對(duì)任意不全為零的數(shù),都有若,則線性無關(guān)已知向量組線性無關(guān)，則向量組（）線性無線性無關(guān)線性無線性無關(guān)若向量可被向量組線性表達(dá)，則（）存在一組不全為零的數(shù)使得存在一組全為零的數(shù)使得存在一組數(shù)使得對(duì)的體現(xiàn)式唯一下列說法對(duì)的的是（）若有不全為零的數(shù)，使得，則線性無關(guān)若有不全為零的數(shù)，使得，則線性無關(guān)若線性有關(guān)，則其中每個(gè)向量均可由其他向量線性表達(dá)任何個(gè)維向量必線性有關(guān)設(shè)是向量組，的線性組合，則=（）設(shè)有向量組，，，，，則該向量組的極大線性無關(guān)組為（）設(shè)，，，，下列對(duì)的的是（）二、填空題若，，線性有關(guān)，則t=▁▁▁▁。n維零向量一定線性▁▁▁▁關(guān)。向量線性無關(guān)的充要條件是▁▁▁▁。若線性有關(guān)，則線性▁▁▁▁關(guān)。n維單位向量組一定線性▁▁▁▁。設(shè)向量組的秩為r,則中任意r個(gè)▁▁▁▁的向量都是它的極大線性無關(guān)組。設(shè)向量與正交，則▁▁▁▁。正交向量組一定線性▁▁▁▁。若向量組與等價(jià)，則的秩與的秩▁▁▁▁。若向量組可由向量組線性表達(dá)，則▁▁▁▁。向量組，，的線性關(guān)系是▁▁▁▁。設(shè)n階方陣,則▁▁▁▁.設(shè)，，若是原則正交向量，則x和y的值▁▁▁▁.兩向量線性有關(guān)的充要條件是▁▁▁▁.三、計(jì)算題設(shè)，，，，問（1）為什么值時(shí)，能由唯一地線性表達(dá)？（2）為什么值時(shí)，能由線性表達(dá)，但體現(xiàn)式不唯一？（3）為什么值時(shí)，不能由線性表達(dá)？設(shè)，，，，問：（1）為什么值時(shí)，不能表達(dá)為的線性組合？（2）為什么值時(shí)，能唯一地表達(dá)為的線性組合？求向量組，，，，的一種極大線性無關(guān)組，并將其他向量用該極大無關(guān)組線性表達(dá)。設(shè)，，，t為什么值時(shí)線性有關(guān)，t為什么值時(shí)線性無關(guān)？將向量組，，原則正交化。四、證明題設(shè)，試證線性有關(guān)。設(shè)線性無關(guān)，證明在n為奇數(shù)時(shí)線性無關(guān)；在n為偶數(shù)時(shí)線性有關(guān)。設(shè)線性有關(guān)，而線性無關(guān)，證明能由線性表達(dá)且表達(dá)式唯一。設(shè)線性有關(guān)，線性無關(guān)，求證不能由線性表達(dá)。證明：向量組線性有關(guān)的充要條件是其中最少有一種向量是其他向量的線性組合。設(shè)向量組中，并且每一種都不能由前個(gè)向量線性表達(dá)，求證線性無關(guān)。證明：如果向量組中有一種部分組線性有關(guān)，則整個(gè)向量組線性有關(guān)。8.設(shè)是線性無關(guān)向量組，證明向量組也線性無關(guān)。第三章向量參考答案單選1.b2.d3.a4.b5.b6.d7.d8.a9.b10.c11.c12.d13.a14.b15.a二、填空題1.52.有關(guān)3.4.有關(guān)5.無關(guān)6.線性無關(guān)7.-18.無關(guān)9.相等10.11.線性無關(guān)12.013.14.對(duì)應(yīng)分量成比例三、解答題1.解：設(shè)則對(duì)應(yīng)方程組為其系數(shù)行列式（1）當(dāng)時(shí)，，方程組有唯一解，因此可由唯一地線性表達(dá);（2）當(dāng)時(shí)，方程組的增廣陣，，方程組有無窮多解，因此可由線性表達(dá)，但表達(dá)式不唯一;（3）當(dāng)時(shí)，方程組的增廣陣，，方程組無解，因此不能由線性表達(dá)。2.解:覺得列構(gòu)造矩陣（1）不能表達(dá)為的線性組合；（2）能唯一地表達(dá)為的線性組合。3.解：為一種極大無關(guān)組，且,4.解：，當(dāng)時(shí)線性有關(guān)，當(dāng)時(shí)線性無關(guān)。5.解：先正交化：令==再單位化：，，為原則正交向量組。四、證明題1.證：∵∴∴線性有關(guān)2.證：設(shè)則∵線性無關(guān)∴其系數(shù)行列式=∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，只能為零，線性無關(guān)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，能夠不全為零，線性有關(guān)。3.證：∵線性有關(guān)∴存在不全為零的數(shù)使得若，則，（）與線性無關(guān)矛盾因此于是∴能由線性表達(dá)。設(shè)①②則①-②得∵線性無關(guān)∴∴即表達(dá)法唯一4.證：假設(shè)能由線性表達(dá)∵線性無關(guān)，∴線性無關(guān)∵線性有關(guān)，∴線性表達(dá)，∴能由線性表達(dá)，從而線性有關(guān)，矛盾∴不能由線性表達(dá)。5.證：必要性設(shè)向量組線性有關(guān)則存在不全為零的數(shù)使得不妨設(shè)，則，即最少有一種向量是其他向量的線性組合。充足性設(shè)向量組中最少有一種向量是其他向量的線性組合不妨設(shè)則，因此線性有關(guān)。6.證：用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)s=1時(shí)，，線性無關(guān)，當(dāng)s=2時(shí)，∵不能由線性表達(dá)，∴線性無關(guān)，設(shè)s=i-1時(shí)，線性無關(guān)則s=i時(shí)，假設(shè)線性有關(guān)，線性無關(guān)，可由線性表達(dá)，矛盾，因此線性無關(guān)。得證7.證：若向量組中有一部分組線性有關(guān)，不妨設(shè)（r<s）線性有關(guān)，則存在不全為零的數(shù)使得于是由于0，┈，0不全為零因此線性有關(guān)。8.證：設(shè)則因線性無關(guān)，因此解得因此向量組線性無關(guān)。第四章線性方程組一、單選題1．設(shè)元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則有非零解的充足必要條件是（）(A)(B)(C)(D)2．設(shè)是矩陣，則線性方程組有無窮解的充要條件是（）(A)(B)(C)(D)3．設(shè)是矩陣，非齊次線性方程組的導(dǎo)出組為，若，則（）(A)必有無窮多解(B)必有唯一解(C)必有非零解(D)必有唯一解4．方程組無解的充足條件是（）(A)1(B)2(C)3(D)45．方程組有唯一解的充足條件是（）(A)1(B)2(C)3(D)46．方程組有無窮解的充足條件是（）(A)1(B)2(C)3(D)47．已知是非齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解，是導(dǎo)出組的基本解系，為任意常數(shù)，則的通解是（）(A)(B)(C)(D)8．設(shè)為矩陣，則下列結(jié)論對(duì)的的是（）(A)若僅有零解，則有唯一解(B)若有非零解，則有無窮多解(C)若有無窮多解，則僅有零解(D)若有無窮多解，則有非零解9．設(shè)為矩陣，齊次線性方程組僅有零解的充要條件為（）(A)的列向量線性無關(guān)(B)的列向量線性有關(guān)(C)的行向量線性無關(guān)(D)的行向量線性有關(guān)10．線性方程組（）(A)無解(B)有唯一解(C)有無窮多解(D)其導(dǎo)出組只有零解二、填空題1.設(shè)為100階矩陣，且對(duì)任意100維的非零列向量，都有，則的秩為.2.線性方程組僅有零解的充足必要條件是.3.設(shè)和均為非齊次線性方程組的解（為常數(shù)），則.4.若線性方程組的導(dǎo)出組與有相似的基礎(chǔ)解系，則.5.若線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則其增廣矩陣的秩為.6.設(shè)矩陣的秩為，則的解向量組的秩為.7.如果階方陣的各行元素之和均為，且，則線性方程組的通解為.8.若元齊次線性方程組有個(gè)線性無關(guān)的解向量，則.9.設(shè)，若齊次線性方程組只有零解，則.10.設(shè)，若線性方程組無解，則.11.階方陣，對(duì)于，若每個(gè)維向量都是解，則.12.設(shè)矩陣的秩為，是非齊次線性方程組的三個(gè)不同的解向量，若，則的通解為.13.設(shè)為矩陣，，則有個(gè)解，有個(gè)線性無關(guān)的解.三、計(jì)算題1.已知是齊次線性方程組的一種基礎(chǔ)解系，問與否是該方程組的一種基礎(chǔ)解系？為什么？2.設(shè)，，已知的行向量都是線性方程組的解，試問的四個(gè)行向量能否構(gòu)成該方程組的基礎(chǔ)解系？為什么？3.設(shè)四元齊次線性方程組為（Ι）：1）求（Ι）的一種基礎(chǔ)解系2）如果是某齊次線性方程組（II）的通解，問方程組（Ι）和（II）與否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若無，闡明理由。4.問為什么值時(shí)，下列方程組無解？有唯一解？有無窮解？在有解時(shí)求出全部解（用基礎(chǔ)解系表達(dá)全部解）。1）2）5.求一種非齊次線性方程組，使它的全部解為6.設(shè)，求一種矩陣，使得，且。參考答案一、單選題1.B2.D3.C4.B5.A6.C7.B8.D9.A10.C二、填空題1.1002.3.14.5.6.77.（為任意實(shí)數(shù)）8.09.10.11.012.13.無窮，三、計(jì)算題1.是2.不能3.1）2）4.1）當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)有唯一解：；當(dāng)時(shí)有無窮多解：2）當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)有唯一解：；當(dāng)時(shí)有無窮多解：5.6.第五章特性值與特性向量一、單選題設(shè),則的特性值是()。(a)-1,1,1(b)0,1,1(c)-1,1,2(d)1,1,2設(shè),則的特性值是()。(a)0,1,1(b)1,1,2(c)-1,1,2(d)-1,1,1設(shè)為階方陣,,則()。(a)(b)的特性根都是1(c)(d)一定是對(duì)稱陣若分別是方陣的兩個(gè)不同的特性值對(duì)應(yīng)的特性向量,則也是的特性向量的充足條件是()。(a)(b)(c)(d)若階方陣的特性值相似,則()。(a)(b)(c)與相似(d)與合同設(shè)為階可逆矩陣,是的特性值,則的特性根之一是()。(a)(b)(c)(d)設(shè)2是非奇異陣的一種特性值,則最少有一種特性值等于()。(a)4/3(b)3/4(c)1/2(d)1/4設(shè)階方陣的每一行元素之和均為,則有一特性值為()。(a)a(b)2a(c)2a+1(d)+1矩陣A的屬于不同特性值的特性向量（）。(a)線性有關(guān)(b)線性無關(guān)(c)兩兩相交(d)其和仍是特性向量是階矩陣與相似的()。(a)充要條件(b)充足而非必要條件(c)必要而非充足條件(d)既不充足也不必要條件階方陣有個(gè)不同的特性根是與對(duì)角陣相似的()。(a)充要條件(b)充足而非必要條件(c)必要而非充足條件(d)既不充足也不必要條件設(shè)矩陣與相似,則的值分別為()。(a)0,0(b)0,1(c)1,0(d)1,1設(shè)為相似的階方陣,則()。(a)存在非奇異陣,使(b)存在對(duì)角陣,使與都相似于(c)存在非奇異陣,使(d)與有相似的特性向量若階方陣與某對(duì)角陣相似,則()。(a)(b)有個(gè)不同的特性值(c)有個(gè)線性無關(guān)的特性向量(d)必為對(duì)稱陣若相似于,則()。(a)(b)(c)及與同一對(duì)角陣相似(d)和有相似的隨著矩陣設(shè),則與相似的矩陣是()。(a)(b)(c)(d)下列說法不當(dāng)?shù)氖牵ǎ?a)由于特性向量是非零向量，因此它所對(duì)應(yīng)的特性向量非零(b)屬于一種特性值的向量可能只有一種(c)一種特性向量只能屬于一種特性值(d)特性值為零的矩陣未必是零矩陣若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）(a)(b)(c)存在可逆矩陣，使(d)二、填空題n階零矩陣的全部特性值為_______。設(shè)為n階方陣，且，則的全部特性值為_______。設(shè)為n階方陣，且(m是自然數(shù))，則的特性值為_______。若，則的全部特性值為_______。若方陣與相似，則_______。若n階矩陣有n個(gè)對(duì)應(yīng)于特性值的線性無關(guān)的特性向量，則_______。設(shè)三階矩陣的特性值分別為-1,0,2,則行列式。設(shè)二階矩陣滿足，則的特性值為。特性值全為1的正交陣必是陣。若四階矩陣相似，的特性值為，則=。若，則，=。三、計(jì)算題若階方陣的每一行元素之和都等于,試求的一種特性值及該特性值對(duì)應(yīng)的一種特性向量.求非奇異矩陣,使為對(duì)角陣.1)2)已知三階方陣的三個(gè)特性根為1,1,2,其對(duì)應(yīng)的特性向量依次為,求矩陣.設(shè)，有一種特性向量，求的值，并求出對(duì)應(yīng)于的特性值。設(shè)，有一種特性向量，求的值。設(shè)有三個(gè)線性無關(guān)的特性向量，求滿足的條件。求正交陣，使為對(duì)角陣，其中。設(shè)三階矩陣的特性值為-1,2,5，矩陣，求（1）的特性值；（2）可否對(duì)角化，若可對(duì)角化求出與相似的對(duì)角陣；（3）求.已知矩陣與相似，求；求一種滿足的可逆陣。設(shè),求.四、證明題設(shè)是非奇異陣,是的任一特性根,求證是的一種特性根,并且有關(guān)的特性向量也是有關(guān)的特性向量.設(shè),求證的特性根只能是.設(shè)階方陣與中有一種是非奇異的,求證矩陣相似于.證明:相似矩陣含有相似的特性值.設(shè)n階矩陣，如果，證明：-1是的特性值。設(shè)，證明。設(shè)是n階矩陣分別屬于的特性向量，且，證明不是的特性向量。第五章參考答案一、單選題1.a2.c3.c4.d5.b6.b7.b8.d9.b10.c11.b12.a13.a14.c15.b16.b17.a18.a二、填空題1.02.1,-13.04.0,15.4I6.7.78.1,29.單位10.2411.-17,-12三、計(jì)算題1.2.(1)(2)3.4.5.6.78.(1)-4,2,-10(2),(3)89.（1）（2）特性值2,2,6；10.第六章二次型一、單選題1．階對(duì)稱矩陣正定的充足必要條件是（）。存在階陣C，使負(fù)慣性指數(shù)為零各階次序主子式為正2．設(shè)為n階方陣，則下列結(jié)論對(duì)的的是（）。A必與一對(duì)角陣合同若A的全部次序主子式為正，則A正定若A與正定陣B合同，則A正定若