余弦定理(同名638)

PAGE4第4頁(yè)共6頁(yè)人教版數(shù)學(xué)必修5§1.1.2余弦定理的教學(xué)設(shè)計(jì)溫州市五十一中學(xué)俞美丹教學(xué)內(nèi)容解析余弦定理是繼正弦定理教學(xué)之后又一關(guān)于三角形的邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化的一個(gè)重要定理。在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)邊角關(guān)系的定性的結(jié)果，就是“在任意三角形中大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”，“如果已知兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊及其所夾的角相等，則這兩個(gè)三角形全等”。同時(shí)學(xué)生在初中階段能解決直角三角形中一些邊角之間的定量關(guān)系。在高中階段，學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握任意三角形中邊角之間的定量關(guān)系，從而進(jìn)一步運(yùn)用它們解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生能更深地體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，數(shù)學(xué)服務(wù)于生活。教學(xué)目標(biāo)解析1、使學(xué)生掌握余弦定理及推論，并會(huì)初步運(yùn)用余弦定理及推論解三角形。2、通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。3、在發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理中，通過(guò)聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法比較證明余弦定理的不同方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。4、能用余弦定理解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是有用的。教學(xué)問(wèn)題診斷分析1、通過(guò)前一節(jié)正弦定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生已能解決這樣兩類解三角形的問(wèn)題：①已知三角形的任意兩個(gè)角與邊，求其他兩邊和另一角；②已知三角形的任意兩個(gè)角與其中一邊的對(duì)角，計(jì)算另一邊的對(duì)角，進(jìn)而計(jì)算出其他的邊和角。而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計(jì)算出另一邊和另兩個(gè)角的問(wèn)題上，學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關(guān)系的另一種定量關(guān)系。所以，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)放在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明上。2、在以往的教學(xué)中存在學(xué)生認(rèn)知比較單一，對(duì)余弦定理的證明方法思考也比較單一，而本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)就在于余弦定理的證明。如何啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化多角度地對(duì)余弦定理進(jìn)行證明，從而突破這一難點(diǎn)。3、學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理，學(xué)生在解三角形中，如何適當(dāng)?shù)剡x擇定理以達(dá)到更有效地解題，也是本節(jié)內(nèi)容應(yīng)該關(guān)注的問(wèn)題，特別是求某一個(gè)角有時(shí)既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時(shí)，教學(xué)中應(yīng)注意讓學(xué)生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。教學(xué)支持條件分析為了將學(xué)生從繁瑣的計(jì)算中解脫出來(lái)，將精力放在對(duì)定理的證明和運(yùn)用上，所以本節(jié)中復(fù)雜的計(jì)算借助計(jì)算器來(lái)完成。當(dāng)使用計(jì)算器時(shí)，約定當(dāng)計(jì)算器所得的三角函數(shù)值是準(zhǔn)確數(shù)時(shí)用等號(hào)，當(dāng)取其近似值時(shí)，相應(yīng)的運(yùn)算采用約等號(hào)。但一般的代數(shù)運(yùn)算結(jié)果按通常的運(yùn)算規(guī)則，是近似值時(shí)用約等號(hào)。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1、教學(xué)基本流程：①?gòu)囊坏郎钪械膶?shí)際問(wèn)題的解決引入問(wèn)題，如何用已知的兩條邊及其所夾的角來(lái)表示第三條邊。②余弦定理的證明：?jiǎn)l(fā)學(xué)生從不同的角度得到余弦定理的證明，或引導(dǎo)學(xué)生自己探索獲得定理的證明。③應(yīng)用余弦定理解斜三角形。2、教學(xué)情景：①創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題問(wèn)題1：現(xiàn)有卷尺和測(cè)角儀兩種工具，請(qǐng)你設(shè)計(jì)合理的方案，來(lái)測(cè)量學(xué)校生物島邊界上兩點(diǎn)的最大距離（如圖1所示，圖中AB的長(zhǎng)度）?！驹O(shè)計(jì)意圖】：來(lái)源于生活中的問(wèn)題能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)積極性。讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，數(shù)學(xué)服務(wù)于生活。師生活動(dòng)：教師可以采取小組合作的形式，讓學(xué)生設(shè)計(jì)方案嘗試解決。學(xué)生1—方案1：如果卷尺足夠長(zhǎng)的話，可以在島對(duì)岸小路上取【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)以上平面幾何知識(shí)、向量法、解析法引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)證明余弦定理，更好地讓學(xué)生主動(dòng)投入到整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，拓展學(xué)生思維空間的深度和廣度。③運(yùn)用定理，解決問(wèn)題讓學(xué)生觀察余弦定理及推論的構(gòu)成形式，思考用余弦定理及推論可以解決那些類型的三角形問(wèn)題。例1：①在△ABC中，已知a=2，b=3，∠C=60°，求邊c。②在△ABC中，已知a=7，b=3，c=5，求A、B、C。【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問(wèn)題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內(nèi)角。④小結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標(biāo)等各個(gè)不同的方面進(jìn)行探究，得出的余弦定理無(wú)論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過(guò)是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡(jiǎn)捷、和諧、對(duì)稱”的美，其變式即推論也很協(xié)調(diào)?！驹O(shè)計(jì)意圖】：在學(xué)生探究數(shù)學(xué)美，欣賞美的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)學(xué)造化之神奇，學(xué)生可以興趣盎然地掌握公式特征、結(jié)構(gòu)及其他變式。⑤作業(yè)第1題：用正弦定理證明余弦定理。【設(shè)計(jì)意圖】：繼續(xù)要求學(xué)生擴(kuò)寬思路，用正弦定理把余弦定理中的邊都轉(zhuǎn)化成角，然后利用三角公式進(jìn)行推導(dǎo)證明。而這種把邊轉(zhuǎn)化為角、或把角轉(zhuǎn)化為邊的思想正是我們解決三角形問(wèn)題中的一種非常重要的思想方法。第2題：在△ABC中，已知，求角A和C和邊c?！驹O(shè)計(jì)意圖】：本題可以通過(guò)正弦定理和余弦定理來(lái)求解，讓學(xué)生體會(huì)兩種定理在解三角形問(wèn)題上的利弊。運(yùn)用正弦定