第二十一屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽試卷（小高組A卷）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）第二十一屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽試卷（小高組A卷）一、選擇題（每小題10分，共60分.以下每題的四個(gè)選項(xiàng)中，僅有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將表示正確答案的英文字母寫(xiě)在每題的圓括號(hào)內(nèi)．）1．（10分）算式×的結(jié)果中含有（）個(gè)數(shù)字0．A．2017 B．2016 C．2015 D．20142．（10分）已知A，B兩地相距300米．甲、乙兩人同時(shí)分別從A，B兩地出發(fā)，相向而行，在距A地140米處相遇；如果乙每秒多行1米，則兩人相遇處距B地180米．那么乙原來(lái)的速度是每秒（）米．A．2 B．2 C．3 D．33．（10分）在一個(gè)七位整數(shù)中，任何三個(gè)連續(xù)排列的數(shù)字都構(gòu)成一個(gè)能被11或13整除的三位數(shù)，則這個(gè)七位數(shù)最大是（）A．9981733 B．9884737 C．9978137 D．98717734．（10分）將1，2，3，4，5，6，7，8這8個(gè)數(shù)排成一行，使得8的兩邊各數(shù)之和相等，那么共有（）種不同的排法．A．1152 B．864 C．576 D．2885．（10分）在等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB＝6，CD＝14，∠AEC是直角，CE＝CB，則AE2等于（）A．84 B．80 C．75 D．646．（10分）從自然數(shù)1，2，3，…，2015，2016中，任意取n個(gè)不同的數(shù)，要求總能在這n個(gè)不同的數(shù)中找到5個(gè)數(shù)，它們的數(shù)字和相等．那么n的最小值等于（）A．109 B．110 C．111 D．112二、填空題填空題（每小題10分，共40分）7．（10分）兩個(gè)正方形的面積之差為2016平方厘米，如果這樣的一對(duì)正方形的邊長(zhǎng)都是整數(shù)厘米，那么滿足上述條件的所有正方形共有對(duì)．8．（10分）如圖，O，P，M是線段AB上的三個(gè)點(diǎn)，AO＝AB，BP＝AB，M是AB的中點(diǎn)，且OM＝2，那么PM長(zhǎng)為．9．（10分）設(shè)P是一個(gè)平方數(shù)．如果q﹣2和q+2都是質(zhì)數(shù)，就稱q為P型平方數(shù)．例如：9就是一個(gè)P型平方數(shù)．那么小于1000的最大P型平方數(shù)是．10．（10分）有一個(gè)等腰梯形的紙片，上底長(zhǎng)度為2015，下底長(zhǎng)度為2016，用該紙片剪出一些等腰梯形，要求剪出的梯形的兩個(gè)底邊分別在原來(lái)梯形的底邊上，剪出的梯形的兩個(gè)銳角等于原來(lái)梯形的銳角，則最多可以剪出個(gè)同樣的等腰梯形．

第二十一屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽試卷（小高組A卷）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題10分，共60分.以下每題的四個(gè)選項(xiàng)中，僅有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將表示正確答案的英文字母寫(xiě)在每題的圓括號(hào)內(nèi)．）1．（10分）算式×的結(jié)果中含有（）個(gè)數(shù)字0．A．2017 B．2016 C．2015 D．2014【分析】把變形為﹣1，然后根據(jù)乘法的分配律拆分，再進(jìn)一步解答即可．【解答】解：×＝（﹣1）×＝×﹣＝﹣個(gè)位0減9不夠減，需要連續(xù)退位，個(gè)位數(shù)得1，所以數(shù)字0的個(gè)數(shù)是：2016﹣1＝2015（個(gè)）故選：C．2．（10分）已知A，B兩地相距300米．甲、乙兩人同時(shí)分別從A，B兩地出發(fā)，相向而行，在距A地140米處相遇；如果乙每秒多行1米，則兩人相遇處距B地180米．那么乙原來(lái)的速度是每秒（）米．A．2 B．2 C．3 D．3【分析】本題是典型的利用正反比例解行程問(wèn)題．首先根據(jù)不變量判斷正反比．兩次相遇過(guò)程中兩人的時(shí)間相同路程比等于速度比．兩次過(guò)程中甲的速度沒(méi)變．通分比較乙的．即可解決問(wèn)題．【解答】解：第一次相遇過(guò)程中甲乙兩人的路程之比為140：（300﹣140）＝7：8，時(shí)間相同路程比就是速度比．第二次相遇過(guò)程中的路程比是（300﹣180）：180＝2：3，速度比也是2：3．在兩次相遇問(wèn)題中甲的速度是保持不變的，通分得，第一次速度比：7：8＝14：16．第二次速度比2：3＝14：21．速度從16份增加到21份速度增加每秒1米，即1÷（21﹣16）＝．乙原來(lái)的速度是16×＝3.2米/秒．故選：D．3．（10分）在一個(gè)七位整數(shù)中，任何三個(gè)連續(xù)排列的數(shù)字都構(gòu)成一個(gè)能被11或13整除的三位數(shù)，則這個(gè)七位數(shù)最大是（）A．9981733 B．9884737 C．9978137 D．9871773【分析】首先根據(jù)最大的3位數(shù)是11或是13的倍數(shù)開(kāi)始．然后每次向后邊推一位數(shù)字找出最大的倍數(shù)即可．【解答】解：在7位數(shù)中，首先分析前三位數(shù)字，最大的11的倍數(shù)是990，最大13的倍數(shù)是988，因?yàn)?不能做首位．所以7位數(shù)中不能含有數(shù)字0，11倍數(shù)的第二大數(shù)字是979小于988．所以前三位數(shù)字是988．第4位根據(jù)如果是11的倍數(shù)數(shù)字就是880．如果是13的倍數(shù)就是884．最大是884．第5位根據(jù)如果是11的倍數(shù)數(shù)字就是847，如果是13的倍數(shù)就是845．最大是847．第6位根據(jù)如果是11的倍數(shù)數(shù)字就是473，如果是13的倍數(shù)在470﹣479沒(méi)有13的倍數(shù)．所以是473第7位根據(jù)如果是11的倍數(shù)是737，如果是13的倍數(shù)沒(méi)有符合的數(shù)字．所以這個(gè)7位數(shù)是9884737．故選：B．4．（10分）將1，2，3，4，5，6，7，8這8個(gè)數(shù)排成一行，使得8的兩邊各數(shù)之和相等，那么共有（）種不同的排法．A．1152 B．864 C．576 D．288【分析】首先求出1，2，3，4，5，6，7的和是28，判斷出8的兩邊各數(shù)之和都是14；然后分4種情況：（1）8的一邊是1，6，7，另一邊是2，3，4，5時(shí)；（2）8的一邊是2，5，7，另一邊是1，3，4，6時(shí)；（3）8的一邊是3，4，7，另一邊是1，2，5，6時(shí)；（4）8的一邊是1，2，4，7，另一邊是3，5，6時(shí)；求出每種情況下各有多少種不同的排法，即可求出共有多少種不同的排法．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7＝288的兩邊各數(shù)之和是：28÷2＝14（1）8的一邊是1，6，7，另一邊是2，3，4，5時(shí)，不同的排法一共有：（3×2×1）×（4×3×2×1）×2＝6×24×2＝288（種）（2）8的一邊是2，5，7，另一邊是1，3，4，6時(shí)，不同的排法一共有288種．（3）8的一邊是3，4，7，另一邊是1，2，5，6時(shí)，不同的排法一共有288種．（4）8的一邊是1，2，4，7，另一邊是3，5，6時(shí)，不同的排法一共有288種．因?yàn)?88×4＝1152（種），所以共有1152種不同的排法．答：共有1152種不同的排法．故選：A．5．（10分）在等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB＝6，CD＝14，∠AEC是直角，CE＝CB，則AE2等于（）A．84 B．80 C．75 D．64【分析】如圖，連接AC，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CD于點(diǎn)G，構(gòu)建直角△AFC和直角△BGC，結(jié)合勾股定理求得AE2的值．【解答】解：如圖，連接AC，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CD于點(diǎn)G，則AF＝BG，AB＝FG＝6，DF＝CG＝4．在直角△AFC中，AC2＝AF2+FC2＝AF2+102＝AF2+100，在直角△BGC中，BC2＝BG2+GC2＝AF2+42＝AF2+16，又∵CE＝CB，∠AEC＝90°，∴AE2＝AC2﹣EC2＝AF2+100﹣（AF2+16）＝84，即AE2＝84．故選：A．6．（10分）從自然數(shù)1，2，3，…，2015，2016中，任意取n個(gè)不同的數(shù)，要求總能在這n個(gè)不同的數(shù)中找到5個(gè)數(shù)，它們的數(shù)字和相等．那么n的最小值等于（）A．109 B．110 C．111 D．112【分析】首先確定題中要求的是每一個(gè)數(shù)字中的數(shù)字和120的數(shù)字和就是3，那么找到最大的就是1999的是28，最小的是1的情況共有幾個(gè)數(shù)字滿足情況．都至多選出4個(gè)．再選一個(gè)就是滿足條件的．【解答】解：依題意可知：1﹣2019中最大的數(shù)字和是1999數(shù)字和為28．?dāng)?shù)字和最小的為1共有1，10，100，1000共四個(gè)．?dāng)?shù)字和為27的有999，1899，1998，1989共四個(gè)．?dāng)?shù)字和為2﹣26的都超過(guò)5個(gè)數(shù)．那么只要2﹣26的數(shù)字和中挑出4個(gè)數(shù)字，在把數(shù)字和為1，27，28的都算上，再來(lái)一個(gè)就是5個(gè)數(shù)字了滿足情況了．27×4+1+1＝110．故選：B．二、填空題填空題（每小題10分，共40分）7．（10分）兩個(gè)正方形的面積之差為2016平方厘米，如果這樣的一對(duì)正方形的邊長(zhǎng)都是整數(shù)厘米，那么滿足上述條件的所有正方形共有12對(duì)．【分析】假設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為x，小正方形的為y，x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2016，x+y與x﹣y奇偶性相同，乘積2016是偶數(shù)，所以必是偶數(shù)，據(jù)此分解質(zhì)因數(shù)2016＝25×32×7，然后解答即可．【解答】解：假設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為x，小正方形的為y，有題意可得：x2﹣y2＝2016，因式分解：（x+y）（x﹣y）＝2016，x+y與x﹣y奇偶性相同，乘積2016是偶數(shù)，所以必是偶數(shù)，2016＝25×32×7，2016因數(shù)的個(gè)數(shù)：（1+5）×（2+1）×（1+1）＝36（個(gè)），共有因數(shù)36÷2＝18對(duì)因數(shù)，其中奇因數(shù)有：（2+1）×2＝6對(duì)，所以偶數(shù)有：18﹣6＝12對(duì)，即，滿足上述條件的所有正方形共有12對(duì)．故答案為：12．8．（10分）如圖，O，P，M是線段AB上的三個(gè)點(diǎn)，AO＝AB，BP＝AB，M是AB的中點(diǎn)，且OM＝2，那么PM長(zhǎng)為．【分析】如果想求出PM那么必須找到和OM的關(guān)系，在這些線段中都和AB進(jìn)行的比較，可以轉(zhuǎn)換為OM，PM和AB的關(guān)系即可求解．【解答】解：依題意可知：PM＝AM﹣AP＝AB﹣（AB﹣BP）＝AB﹣AB＝AB．OM＝MB﹣OB＝AB﹣（AB﹣AO）＝AB﹣AB＝AB＝2∴AB＝PM＝故答案為：9．（10分）設(shè)P是一個(gè)平方數(shù)．如果q﹣2和q+2都是質(zhì)數(shù)，就稱q為P型平方數(shù)．例如：9就是一個(gè)P型平方數(shù)．那么小于1000的最大P型平方數(shù)是225．【分析】小于1000的最大P型平方數(shù)，33的平方數(shù)是1089，這個(gè)數(shù)需要小于33的平方的平方數(shù)．q﹣2和q+2的差是4．只要找到數(shù)字相差4的不超過(guò)33的質(zhì)數(shù)組合即可．【解答】解：小于33的質(zhì)數(shù)有31，29，23，19，17，13，11，7，5，3，2等數(shù)字差是4的兩個(gè)質(zhì)數(shù)有19和23最大．21﹣2＝19，21+2＝23.21×21＝441．故答案為：441．10．（10分）有一個(gè)等腰梯形的紙片，上底長(zhǎng)度為2015，下底長(zhǎng)度為2016，用該紙片剪出一些等腰梯形，要求剪出的梯形的兩個(gè)底邊分別在原來(lái)梯形的底邊上，剪出的梯形的兩個(gè)銳角等