【福建專用】年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)變量與函數(shù)二次函數(shù)

第三章變量與函數(shù)3.4二次函數(shù)中考數(shù)學(xué)

(福建專用)A組

2014-2018年福建中考題組五年中考1.(2016福州,11,3分)已知點(diǎn)A(-1,m),B(1,m),C(2,m+1)在同一個(gè)函數(shù)圖象上,這個(gè)函數(shù)圖象可以是

()

答案

C∵點(diǎn)A(-1,m),B(1,m),∴點(diǎn)A與B關(guān)于y軸對稱,故A,B錯(cuò)誤;∵B(1,m),C(2,m+1),m+1>m,∴C正確,D錯(cuò)誤.故選C.2.(2015福州,10,3分)已知一個(gè)函數(shù)圖象經(jīng)過(1,-4),(2,-2)兩點(diǎn),在自變量x的某個(gè)取值范圍內(nèi),都

有函數(shù)值y隨x的增大而減小,則符合上述條件的函數(shù)可能是

()A.正比例函數(shù)

B.一次函數(shù)C.反比例函數(shù)

D.二次函數(shù)答案

D易知經(jīng)過點(diǎn)(1,-4),(2,-2)的直線不經(jīng)過原點(diǎn),所以所求函數(shù)不是正比例函數(shù),A不符合

題意;若為一次函數(shù)或反比例函數(shù),則在自變量x的某個(gè)取值范圍內(nèi),函數(shù)值y隨x的增大而增大,

所以B、C不符合題意;只有D正確,故選D.3.(2016南平,14,4分)寫出一個(gè)y關(guān)于x的二次函數(shù)的解析式,且它的圖象的頂點(diǎn)在y軸上:

.答案

y=x2(答案不唯一)解析根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在y軸上,可得解析式的一次項(xiàng)系數(shù)為0,進(jìn)而得出答案.4.(2016廈門,15,4分)已知點(diǎn)P(m,n)在拋物線y=ax2-x-a(a≠0)上,當(dāng)m≥-1時(shí),總有n≤1成立,則a的

取值范圍是

.答案-

≤a<0解析根據(jù)已知條件,畫出函數(shù)大致圖象,如圖所示.由已知得

解得-

≤a<0.5.(2018福建,23,10分)如圖,在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻MN,某人利用舊墻和木欄

圍成一個(gè)矩形菜園ABCD,其中AD≤MN.已知矩形菜園的一邊靠墻,另三邊一共用了100米木

欄.(1)若a=20,所圍成的矩形菜園的面積為450平方米,求所利用舊墻AD的長;(2)求矩形菜園ABCD面積的最大值.

解析

(1)設(shè)AD的長為x米,則AB的長為

米.依題意,得

=450.解得x1=10,x2=90.因?yàn)閍=20,x≤a,所以x=90不合題意,舍去.故所利用舊墻AD的長為10米.(2)設(shè)AD的長為x米,0<x≤a,則矩形菜園ABCD的面積S=

=-

(x2-100x)=-

(x-50)2+1250.①若a≥50,則當(dāng)x=50時(shí),S最大,S最大=1250.②若0<a<50,則當(dāng)0<x≤a時(shí),S隨x的增大而增大.故當(dāng)x=a時(shí),S最大,S最大=50a-

a2.綜上,當(dāng)a≥50時(shí),矩形菜園ABCD面積的最大值是1250平方米;當(dāng)0<a<50時(shí),矩形菜園ABCD面積的最大值是

平方米.解后反思

本題考查一元二次方程、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算能力、推理能力、應(yīng)用

意識、創(chuàng)新意識,考查函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想.6.(2018福建,25,14分)已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(0,2).(1)若點(diǎn)(-

,0)也在該拋物線上,求a,b滿足的關(guān)系式;(2)若該拋物線上任意不同兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)都滿足:當(dāng)x1<x2<0時(shí),(x1-x2)(y1-y2)>0;當(dāng)0<x1<x2時(shí),

(x1-x2)·(y1-y2)<0.以原點(diǎn)O為圓心,OA為半徑的圓與拋物線的另兩個(gè)交點(diǎn)為B,C,且△ABC有一個(gè)

內(nèi)角為60°.①求拋物線的解析式;②若點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對稱,且O,M,N三點(diǎn)共線,求證:PA平分∠MPN.解析(1)因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)A(0,2),所以c=2.又因?yàn)辄c(diǎn)(-

,0)也在拋物線上,所以a(-

)2+b(-

)+c=0.即2a-

b+2=0(a≠0).(2)①x1<x2<0時(shí),x1-x2<0,由(x1-x2)(y1-y2)>0,得y1-y2<0,即當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而增大;同理可得,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小.所以拋物線的對稱軸為y軸且開口向下,則b=0.因?yàn)橐設(shè)為圓心,OA為半徑的圓與拋物線交于另兩點(diǎn)B,C,所以△ABC是等腰三角形,又因?yàn)椤?/p>

ABC有一個(gè)內(nèi)角為60°,故△ABC為等邊三角形.設(shè)線段BC與y軸的交點(diǎn)為D,則BD=CD,且∠OCD=30°,又因?yàn)镺C=OA=2,所以CD=OC·cos30°=

,OD=OC·sin30°=1.不妨設(shè)C在y軸右側(cè),則點(diǎn)C坐標(biāo)為(

,-1).因?yàn)辄c(diǎn)C在拋物線上,且c=2,b=0,所以3a+2=-1,解得a=-1.所以所求拋物線的解析式為y=-x2+2.

②證明:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1,-

+2),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x2,-

+2).直線OM的解析式為y=k1x,因?yàn)镺,M,N三點(diǎn)共線,所以x1≠0,x2≠0,且

=

,即-x1+

=-x2+

,化為x1-x2=-

,由x1≠x2,得x1x2=-2,即x2=-

,所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為

,設(shè)點(diǎn)N關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)N',則點(diǎn)N'的坐標(biāo)為

.因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對稱,所以O(shè)P=2OA=4,即點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,4).設(shè)直線PM的解析式為y=k2x+4,因?yàn)辄c(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1,-

+2),所以-

+2=k2x1+4,則k2=-

,即直線PM的解析式為y=-

x+4.因?yàn)?

·

+4=

=-

+2,即點(diǎn)N'在直線PM上,所以PA平分∠MPN.解后反思

本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、等邊三角形的判定與

性質(zhì)、解直角三角形、角平分線的判定等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算能力、推理能力、空間觀念與

幾何直觀、創(chuàng)新意識,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.7.(2017福建,25,14分)已知直線y=2x+m與拋物線y=ax2+ax+b有一個(gè)公共點(diǎn)M(1,0),且a<b.(1)求拋物線頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示);(2)說明直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn);(3)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)記為N.(i)若-1≤a≤-

,求線段MN長度的取值范圍;(ii)求△QMN面積的最小值.解析(1)因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)M(1,0),所以a+a+b=0,即b=-2a.所以y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a

-

,所以拋物線頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

.(2)因?yàn)橹本€y=2x+m經(jīng)過點(diǎn)M(1,0),所以0=2×1+m,解得m=-2.把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0,①所以Δ=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4,由(1)知b=-2a,又a<b,所以a<0,b>0.所以Δ>0,所以方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn).(3)把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0,即x2+

x-2+

=0,所以

=

,解得x1=1,x2=

-2,所以點(diǎn)N

.(i)根據(jù)勾股定理得,MN2=

+

=

-

+45=20

,因?yàn)?1≤a≤-

,由反比例函數(shù)的性質(zhì)知-2≤

≤-1,所以

-

<0,所以MN=2

=3

-

,所以5

≤MN≤7

.(ii)作直線x=-

交直線y=2x-2于點(diǎn)E.

把x=-

代入y=2x-2得,y=-3,即E

.又因?yàn)镸(1,0),N

,且由(2)知a<0,所以△QMN的面積S=S△QEN+S△QEM=

·

=

-

-

.即27a2+(8S-54)a+24=0,②因?yàn)殛P(guān)于a的方程②有實(shí)數(shù)根,所以Δ=(8S-54)2-4×27×24≥0,即(8S-54)2≥(36

)2,又因?yàn)閍<0,所以S=

-

-

>

,所以8S-54>0,所以8S-54≥36

,即S≥

+

,當(dāng)S=

+

時(shí),由方程②可得a=-

滿足題意.故當(dāng)a=-

,b=

時(shí),△QMN面積的最小值為

+

.e28.(2016福州,27,13分)已知,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過原點(diǎn),頂點(diǎn)為A(h,k)(h≠0).(1)當(dāng)h=1,k=2時(shí),求拋物線的解析式;(2)若拋物線y=tx2(t≠0)也經(jīng)過A點(diǎn),求a與t之間的關(guān)系式;(3)當(dāng)點(diǎn)A在拋物線y=x2-x上,且-2≤h<1時(shí),求a的取值范圍.解析根據(jù)題意,拋物線的解析式可化為y=a(x-h)2+k(a≠0).(1)∵h(yuǎn)=1,k=2,∴y=a(x-1)2+2,∵該拋物線經(jīng)過原點(diǎn),∴a+2=0,解得a=-2,∴y=-2(x-1)2+2,即y=-2x2+4x.(2)∵拋物線y=tx2(t≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(h,k),∴k=th2.∴y=a(x-h)2+k可化為y=a(x-h)2+th2.∵拋物線y=a(x-h)2+th2(a≠0)經(jīng)過原點(diǎn),∴ah2+th2=0.∵h(yuǎn)≠0,∴a=-t.(3)∵點(diǎn)A(h,k)在拋物線y=x2-x上,∴k=h2-h.∴y=a(x-h)2+k可化為y=a(x-h)2+h2-h.∵拋物線y=a(x-h)2+h2-h(a≠0)經(jīng)過原點(diǎn),∴ah2+h2-h=0.∵h(yuǎn)≠0,∴a=

-1.分兩類討論:①當(dāng)-2≤h<0時(shí),由反比例函數(shù)性質(zhì)可知

≤-

,∴a≤-

;②當(dāng)0<h<1時(shí),由反比例函數(shù)性質(zhì)可知

>1,∴a>0.綜上所述,a的取值范圍是a≤-

或a>0.評析

本題考查二次函數(shù)等知識,解題的關(guān)鍵是會用參數(shù)解決問題,題目比較難,參數(shù)比較多,

第(3)問要注意分類討論,屬于中考壓軸題.9.(2016南平,24,12分)已知拋物線y=ax2(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(4,4).(1)求拋物線的解析式;(2)如圖1,拋物線上存在點(diǎn)B,使得△AOB是以AO為直角邊的直角三角形,請直接寫出所有符合

條件的點(diǎn)B的坐標(biāo):

;(3)如圖2,直線l經(jīng)過點(diǎn)C(0,-1),且平行于x軸,若點(diǎn)D為拋物線上任意一點(diǎn)(原點(diǎn)O除外),直線DO

交l于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF⊥l,交拋物線于點(diǎn)F,求證:直線DF一定經(jīng)過點(diǎn)G(0,1).

解析

(1)∵拋物線y=ax2(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(4,4),∴16a=4,∴a=

,∴拋物線的解析式為y=

x2.(2)∵△AOB是以AO為直角邊的直角三角形,∴直角頂點(diǎn)是點(diǎn)O或點(diǎn)A,①當(dāng)直角頂點(diǎn)是點(diǎn)O時(shí),過點(diǎn)O作OB⊥OA,交拋物線于點(diǎn)B,∵點(diǎn)A(4,4),∴直線OA的解析式為y=x,∴直線OB的解析式為y=-x,由

得

或

∴B(-4,4);②當(dāng)直角頂點(diǎn)為點(diǎn)A時(shí),過點(diǎn)A作AB⊥OA,由①得,直線OA的解析式為y=x,∵A(4,4),∴直線AB的

解析式為y=-x+8,由

得

或

∴B(-8,16).∴滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-4,4)或(-8,16).(3)證明:設(shè)點(diǎn)D

,∴直線DO的解析式為y=

x,∵l∥x軸,C(0,-1),令y=-1,則x=-

,∴直線DO與l的交點(diǎn)E

,∵EF⊥l,l∥x軸,∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為-

,∵點(diǎn)F在拋物線上,∴F

.設(shè)直線DF的解析式為y=kx+b(k≠0),∴

∴

∴直線DF的解析式為y=

x+1,∵點(diǎn)G(0,1)滿足直線DF的解析式,∴直線DF一定經(jīng)過點(diǎn)G.評析

此題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了待定系數(shù)法,函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo),直角三角形的性質(zhì),判斷點(diǎn)是否在直線上,解本題的關(guān)鍵是確定出點(diǎn)B的坐標(biāo),確定出直線DF的解析式是解本題的難點(diǎn).B組2014—2018年全國中考題組考點(diǎn)一二次函數(shù)的概念1.(2018山西,9,3分)用配方法將二次函數(shù)y=x2-8x-9化為y=a(x-h)2+k的形式為()A.y=(x-4)2+7

B.y=(x-4)2-25C.y=(x+4)2+7

D.y=(x+4)2-25答案

B

y=x2-8x-9=x2-8x+16-16-9=(x-4)2-25,故選B.2.(2015浙江紹興,9,4分)如果一種變換是將拋物線向右平移2個(gè)單位或向上平移1個(gè)單位,我們

把這種變換稱為拋物線的簡單變換.已知拋物線經(jīng)過兩次簡單變換后的一條拋物線是y=x2+1,

則原拋物線的解析式不可能是

()A.y=x2-1

B.y=x2+6x+5C.y=x2+4x+4

D.y=x2+8x+17答案

B因?yàn)閽佄锞€y=x2-1可以向上平移兩次得到y(tǒng)=x2+1,所以A可能.因?yàn)閽佄锞€y=x2+4x+4

=(x+2)2可以先向右平移一次再向上平移一次得到y(tǒng)=x2+1,所以C可能.因?yàn)閽佄锞€y=x2+8x+17=

(x+4)2+1可以向右平移兩次得到y(tǒng)=x2+1,所以D可能.因?yàn)閽佄锞€y=x2+6x+5=(x+3)2-4,所以經(jīng)過任

意兩次簡單變換都不能得到y(tǒng)=x2+1,故選B.3.(2014浙江杭州,15,4分)設(shè)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過A(0,2),B(4,3),C三點(diǎn),其中點(diǎn)C在直線x=2

上,且點(diǎn)C到拋物線的對稱軸的距離等于1,則拋物線的函數(shù)解析式為

.答案

y=

x2-

x+2或y=-

x2+

x+2解析把A(0,2),B(4,3)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c(a≠0),解得c=2,16a+4b=1,由點(diǎn)C到拋物線對

稱軸的距離等于1,可知拋物線的對稱軸是直線x=1或x=3,即-

=1或-

=3,由

得

由

得

故所求解析式為y=

x2-

x+2或y=-

x2+

x+2.考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.(2018湖北黃岡,6,3分)當(dāng)a≤x≤a+1時(shí),函數(shù)y=x2-2x+1的最小值為1,則a的值為

()A.-1

B.2

C.0或2

D.-1或2答案

D

y=x2-2x+1=(x-1)2,當(dāng)a≥1時(shí),函數(shù)y=x2-2x+1在a≤x≤a+1內(nèi),y隨x的增大而增大,其最

小值為a2-2a+1,則a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);當(dāng)a+1≤1,即a≤0時(shí),函數(shù)y=x2-2x+1在a≤x≤

a+1內(nèi),y隨x的增大而減小,其最小值為(a+1)2-2(a+1)+1=a2,則a2=1,解得a=-1或a=1(舍去).當(dāng)0<a<

1時(shí),函數(shù)y=x2-2x+1在x=1處取得最小值,最小值為0,不合題意.綜上,a的值為-1或2,故選D.2.(2018陜西,10,3分)對于拋物線y=ax2+(2a-1)x+a-3,當(dāng)x=1時(shí),y>0,則這條拋物線的頂點(diǎn)一定在

()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限答案

C當(dāng)x=1時(shí),y=a+2a-1+a-3>0,解得a>1,又根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得-

=-

<0,

=

=

<0,所以這條拋物線的頂點(diǎn)一定在第三象限,故選C.3.(2018河北,16,2分)對于題目“一段拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)與直線l:y=x+2有唯一公共

點(diǎn).若c為整數(shù),確定所有c的值.”甲的結(jié)果是c=1,乙的結(jié)果是c=3或4,則

()A.甲的結(jié)果正確B.乙的結(jié)果正確C.甲、乙的結(jié)果合在一起才正確D.甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確答案

D拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)可以看作拋物線y=-x(x-3)(0≤x≤3)沿y軸向上平移c

個(gè)單位形成的,一段拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)與直線l:y=x+2有唯一公共點(diǎn)可以看作直線l:

y=x+2沿y軸向下平移c個(gè)單位形成的直線y=x+2-c與拋物線y=-x(x-3)(0≤x≤3)有唯一公共點(diǎn).當(dāng)

直線y=x+2-c(即l2)經(jīng)過原點(diǎn)時(shí),0+2-c=0,c=2;當(dāng)直線y=x+2-c(即l3)經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)時(shí),3+2-c=0,c=5,

根據(jù)圖象可得當(dāng)2<c≤5時(shí),直線y=x+2-c與拋物線y=-x(x-3)(0≤x≤3)有唯一公共點(diǎn),即一段拋物

線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)與直線l:y=x+2有唯一公共點(diǎn).顯然c=3,4,5.當(dāng)直線y=x+2-c為圖中l(wèi)1時(shí),

直線y=x+2-c與拋物線y=-x(x-3)(0≤x≤3)有唯一公共點(diǎn).令-x(x-3)=x+2-c,得x2-2x+2-c=0,Δ=4-4(2

-c)=0,解得c=1.因此甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確,故選D.

歸納總結(jié)

數(shù)形結(jié)合思想主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系,就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、

數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來,通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”,即通過

抽象思維與形象思維的結(jié)合,可以使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,從而起到優(yōu)化解題途徑

的目的.4.(2017黑龍江哈爾濱,4,3分)拋物線y=-

-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

()A.

B.

C.

D.

答案

B∵拋物線y=a(x-h)2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k),∴拋物線y=-

-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

.故選B.5.(2016四川南充,5,3分)拋物線y=x2+2x+3的對稱軸是

()A.直線x=1

B.直線x=-1C.直線x=-2

D.直線x=2答案

B拋物線的對稱軸為直線x=-

=-

=-1,故選B.6.(2016廣西南寧,12,3分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函數(shù)y=

x的圖象如圖所示,則方程ax2+

x+c=0(a≠0)的兩根之和

()

A.大于0

B.等于0

C.小于0

D.不能確定答案

A根據(jù)題圖可知a>0,b<0,b2-4ac>0.在方程ax2+

x+c=0(a≠0)中,Δ=

-4ac=b2-

b+

-4ac=b2-4ac-

b+

>0,設(shè)此方程的兩根分別為x1,x2,則x1+x2=-

=-

+

>0,故選A.7.(2016湖南長沙,12,3分)已知拋物線y=ax2+bx+c(b>a>0)與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn).現(xiàn)有以下四個(gè)

結(jié)論:①該拋物線的對稱軸在y軸左側(cè);②關(guān)于x的方程ax2+bx+c+2=0無實(shí)數(shù)根;③a-b+c≥0;④

的最小值為3.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為

(

)A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)答案

D∵b>a>0,∴-

<0,∴①正確;∵拋物線與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn),∴b2-4ac≤0,∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c+2=0的判別式Δ=b2-4a(c+2)=b2-4ac-8a<0,∴②正確;∵a>0,且拋物線與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn),∴y≥0,∴當(dāng)x=-1時(shí),a-b+c≥0,∴③正確;∵y≥0,∴當(dāng)x=-2時(shí),4a-2b+c≥0,即a+b+c≥3b-3a,即a+b+c≥3(b-a),∵b>a,∴b-a>0,∴

≥3,∴④正確.故選D.8.(2015內(nèi)蒙古包頭,12,3分)如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),對

稱軸為直線x=1,與y軸的交點(diǎn)B在(0,2)和(0,3)之間(包括這兩點(diǎn)),下列結(jié)論:

①當(dāng)x>3時(shí),y<0;②3a+b<0;③-1≤a≤-

;④4ac-b2>8a.其中正確的結(jié)論是

(

)A.①③④

B.①②③

C.①②④

D.①②③④答案

B由已知條件可知a<0,-

=1,拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),2≤c≤3,∴當(dāng)x>3時(shí),y<0;2a+b=0,∴2a+b+a<0,即3a+b<0;∵當(dāng)x=-1時(shí),a-b+c=0,∴3a+c=0,∴c=-3a,即2≤-3a≤3,亦即-1≤a≤-

;由題意知拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=

>2,∴4ac-b2<8a.故④錯(cuò),①②③正確.故選B.9.(2018貴州貴陽,15,4分)如圖,在△ABC中,BC=6,BC邊上的高為4,在△ABC的內(nèi)部作一個(gè)矩形

EFGH,使EF在BC邊上,另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB,AC邊上,則對角線EG長的最小值為

.

答案

解析如圖,作AM⊥BC于點(diǎn)M,交HG于點(diǎn)N,設(shè)HE=x.由題意知,AM=4,BC=6.

∵四邊形EFGH是矩形,∴HG∥EF,∴△AHG∽△ABC,∴

=

,即

=

,∴HG=

,∴EG2=HG2+HE2=

+x2=

=

+

(0<x<4),∴當(dāng)x=

時(shí),EG2有最小值,最小值為

,即EG有最小值,最小值為

.方法指導(dǎo)

解決本題的方法是設(shè)HE=x,利用相似三角形的性質(zhì)用x表示HG的長,利用勾股定

理,用x表示出EG2,求EG2的最小值即可得EG的最小值.10.(2017甘肅蘭州,18,4分)如圖,若拋物線y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q兩點(diǎn)關(guān)于它的對稱軸x=1對

稱,則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為

.

答案(-2,0)解析

P,Q兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸x=1對稱,則P,Q兩點(diǎn)到對稱軸x=1的距離相等,設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m,

則

=1,解得m=-2.∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0).11.(2018北京,26,6分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,拋物線

y=ax2+bx-3a經(jīng)過點(diǎn)A,將點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長度,得到點(diǎn)C.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)求拋物線的對稱軸;(3)若拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,求a的取值范圍.解析

(1)將x=0代入y=4x+4得y=4,∴B(0,4).∵點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長度得到點(diǎn)C,∴C(5,4).(2)將y=0代入y=4x+4得x=-1,∴A(-1,0).將點(diǎn)A(-1,0)代入拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a,∴拋物線的對稱軸為直線x=-

=-

=1.(3)拋物線始終過點(diǎn)A(-1,0),且對稱軸為直線x=1,由拋物線的對稱性可知拋物線也過點(diǎn)A關(guān)于直

線x=1的對稱點(diǎn)(3,0).①a>0時(shí),如圖1.

圖1將x=5代入拋物線的解析式得y=12a,∴12a≥4,∴a≥

.②a<0,且拋物線頂點(diǎn)不在線段BC上時(shí),如圖2.

圖2將x=0代入拋物線得y=-3a,∵拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn),∴-3a>4,∴a<-

.若拋物線的頂點(diǎn)在線段BC上,則頂點(diǎn)為(1,4),如圖3.

將點(diǎn)(1,4)代入拋物線的解析式得4=a-2a-3a,∴a=-1.綜上所述,a≥

或a<-

或a=-1.解題關(guān)鍵

解決本題第(3)問的關(guān)鍵是要先確定題目中拋物線所過的定點(diǎn),進(jìn)而通過臨界點(diǎn)求

出a的取值范圍.同時(shí)不要忽略拋物線頂點(diǎn)是公共點(diǎn)的情況.思路分析

(1)先求B點(diǎn)坐標(biāo),由B點(diǎn)向右平移5個(gè)單位長度確定C點(diǎn)坐標(biāo).(2)確定A點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線的解析式,利用公式確定對稱軸.(3)結(jié)合圖象和拋物線的對稱性解答.12.(2017江西,22,9分)已知拋物線C1:y=ax2-4ax-5(a>0).(1)當(dāng)a=1時(shí),求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸;(2)①試說明無論a為何值,拋物線C1一定經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn),并求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo);②將拋物線C1沿這兩個(gè)定點(diǎn)所在直線翻折,得到拋物線C2,直接寫出C2的表達(dá)式;(3)若(2)中拋物線C2的頂點(diǎn)到x軸的距離為2,求a的值.

備用圖解析

(1)當(dāng)a=1時(shí),拋物線C1:y=x2-4x-5.

(1分)令y=0,則x2-4x-5=0,解得x1=-1,x2=5,∴拋物線C1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),(5,0),

(2分)對稱軸為直線x=2.

(3分)(2)①由拋物線C1:y=ax2-4ax-5(a>0),可得其對稱軸為直線x=-

=2.

(4分)令x=0,有y=-5.∴拋物線C1過定點(diǎn)(0,-5).

(5分)易知點(diǎn)(0,-5)關(guān)于直線x=2的對稱點(diǎn)為點(diǎn)(4,-5),∴由拋物線的對稱性可知,無論a為何值,拋物線C1一定經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)(0,-5)和(4,-5).

(6分)②y=-ax2+4ax-5(或y=-a(x-2)2+4a-5).

(7分)(3)對于拋物線C2:y=-ax2+4ax-5,當(dāng)x=2時(shí),y=4a-5,∴拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4a-5),

(8分)∴|4a-5|=2,解得a1=

,a2=

.

(9分)13.(2015內(nèi)蒙古呼和浩特,25,12分)已知:拋物線y=x2+(2m-1)x+m2-1經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),且當(dāng)x<0時(shí),y

隨x的增大而減小.(1)求拋物線的解析式,并寫出y<0時(shí),對應(yīng)x的取值范圍;(2)設(shè)點(diǎn)A是該拋物線上位于x軸下方的一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D,再

作AB⊥x軸于點(diǎn)B,DC⊥x軸于點(diǎn)C.①當(dāng)BC=1時(shí),直接寫出矩形ABCD的周長;②設(shè)動點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b),將矩形ABCD的周長L表示為a的函數(shù)并寫出自變量的取值范圍,判斷

周長是否存在最大值,如果存在,求出這個(gè)最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo);如果不存在,請說明

理由.解析

(1)∵拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0),∴m2-1=0,∴m=±1,∴y=x2+x或y=x2-3x.

(2分)∵當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而減小,∴y=x2-3x.

(3分)由圖象知:y<0時(shí),0<x<3.

(4分)(2)①當(dāng)BC=1時(shí),由拋物線的對稱性知點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-2.∴矩形的周長為6.

(5分)②∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b),∴當(dāng)點(diǎn)A在對稱軸左側(cè)時(shí),矩形ABCD的邊BC=3-2a,AB=3a-a2,周長L=-2a2+2a+6,其中0<a<

.

(7分)當(dāng)點(diǎn)A在對稱軸右側(cè)時(shí),矩形ABCD的邊BC=3-(6-2a)=2a-3,AB=3a-a2,周長L=-2a2+10a-6,其中

<a<3,

(9分)∴當(dāng)0<a<

時(shí),L=-2

+

,∴當(dāng)a=

時(shí),L最大=

,A點(diǎn)坐標(biāo)為

.當(dāng)

<a<3時(shí),L=-2

+

,∴當(dāng)a=

時(shí),L最大=

,A點(diǎn)坐標(biāo)為

.

(12分)評析

本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及利用配方法求二次函數(shù)的最值.在第(2)問中,

需要對點(diǎn)A的位置進(jìn)行討論,得到不同的矩形周長的表達(dá)式;在求最值時(shí),一定要注意a的取值

范圍.屬于難題.考點(diǎn)三二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1.(2015浙江溫州,15,5分)某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室,一面靠現(xiàn)有墻(墻足夠長),中間用一道墻

隔開,并在如圖所示的三處各留1m寬的門.已知計(jì)劃中的材料可建墻體(不包括門)總長為27

m,則能建成的飼養(yǎng)室總占地面積最大為

m2.

答案75解析設(shè)垂直于現(xiàn)有墻的一面墻長為xm,建成的飼養(yǎng)室總占地面積為ym2,則利用現(xiàn)有墻的長為(27+3-3x)m,∴y=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75.∵-3<0,∴當(dāng)x=5時(shí),ymax=75,即能建成的飼養(yǎng)室總占地面積最大為75m2.2.(2014浙江紹興,13,5分)如圖的一座拱橋,當(dāng)水面寬AB為12m時(shí),橋洞頂部離水面4m,已知橋

洞的拱形是拋物線.以水平方向?yàn)閤軸,建立平面直角坐標(biāo)系,若選取點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的拋物

線解析式是y=-

(x-6)2+4,則選取點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的拋物線解析式是

.

答案

y=-

(x+6)2+4解析若選B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),則頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-6,4),a=-

不變,則所求拋物線解析式為y=-

(x+6)2+4.3.(2018安徽,22,12分)小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè),第一期培植盆景與花卉各50盆.售后統(tǒng)計(jì),盆景

的平均每盆利潤是160元,花卉的平均每盆利潤是19元.調(diào)研發(fā)現(xiàn):①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利潤減少2元;每減少1盆,盆景的平均每盆利潤增加2元;②花卉的平均每盆利潤始終不變.小明計(jì)劃第二期培植盆景與花卉共100盆,設(shè)培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景與花卉

售完后的利潤分別為W1,W2(單位:元).(1)用含x的代數(shù)式分別表示W(wǎng)1,W2;(2)當(dāng)x取何值時(shí),第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤W最大?最大總利潤是多少?解析

(1)W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8000,W2=[100-(50+x)]×19=(50-x)×19=-19x+950.

(6分)(2)W=W1+W2=-2x2+41x+8950=-2

+

.∵x取整數(shù),∴當(dāng)x=10時(shí),總利潤W最大,最大總利潤是9160元.

(12分)思路分析

(1)根據(jù)題意分別列出W1,W2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;(2)將二次函數(shù)的解析式配方,根據(jù)

x取整數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求出W的最大值.4.(2018貴州貴陽,22,10分)六盤水市梅花山國際滑雪場自建成以來,吸引了大批滑雪愛好者.一

滑雪者從山坡滑下,測得滑行距離y(單位:m)與滑行時(shí)間x(單位:s)之間的關(guān)系可以近似地用二

次函數(shù)來表示.現(xiàn)測得一組數(shù)據(jù),如下表所示.滑行時(shí)間x/s0123…滑行距離y/m041224…(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的表達(dá)式.現(xiàn)測量出滑雪者的出發(fā)點(diǎn)與終點(diǎn)的距離大約為840

米,他需要多少時(shí)間才能到達(dá)終點(diǎn)?(2)將得到的二次函數(shù)圖象補(bǔ)充完整后,向左平移2個(gè)單位,再向下平移5個(gè)單位,求平移后所得

圖象對應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式.解析(1)設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c(a≠0),將(0,0)代入函數(shù)表達(dá)式,得c=0,所以y=ax2+bx.把(1,4),(2,12)代入上式,得

解這個(gè)方程組,得

所以,所求二次函數(shù)表達(dá)式為y=2x2+2x(x≥0).當(dāng)y=840時(shí),840=2x2+2x,解得x1=20,x2=-21(不符合題意,舍去),所以,他需要20s才能到達(dá)終點(diǎn).(2)由y=2x2+2x,得y=2

-

,則該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

,所以,將y=2

-

的圖象向左平移2個(gè)單位,再向下平移5個(gè)單位后所得圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

,所以平移后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式為y=2

-

或y=2x2+10x+7.5.(2017安徽,22,12分)某超市銷售一種商品,成本每千克40元,規(guī)定每千克售價(jià)不低于成本,且不

高于80元.經(jīng)市場調(diào)查,每天的銷售量y(千克)與每千克售價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分?jǐn)?shù)據(jù)

如下表:售價(jià)x(元)506070銷售量y(千克)1008060(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;(2)設(shè)商品每天的總利潤為W(元),求W與x之間的函數(shù)表達(dá)式(利潤=收入-成本);(3)試說明(2)中總利潤W隨售價(jià)x的變化而變化的情況,并指出售價(jià)為多少元時(shí)獲得最大利潤,

最大利潤是多少?解析

(1)設(shè)y=kx+b(k≠0).由題意,得

解得

∴所求函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+200.

(4分)(2)W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8000.

(7分)(3)W=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+1800,其中40≤x≤80.∵-2<0,∴當(dāng)40≤x<70時(shí),W隨x的增大而增大;當(dāng)70<x≤80時(shí),W隨x的增大而減小;當(dāng)售價(jià)為70元時(shí),獲得最大利潤,最大利潤為1800元.

(12分)6.(2015寧夏,25,10分)某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按擬定的價(jià)格

進(jìn)行試銷,通過對5天的試銷情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù):(1)計(jì)算這5天銷售額的平均數(shù);(銷售額=單價(jià)×銷量)(2)通過對上面表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)銷量y(件)與單價(jià)x(元/件)之間存在一次函數(shù)關(guān)系,

求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(不需要寫出函數(shù)自變量的取值范圍)(3)預(yù)計(jì)在今后的銷售中,銷量與單價(jià)仍然存在(2)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是20元/件.為使工

廠獲得最大利潤,該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少?單價(jià)(元/件)3034384042銷量(件)4032242016解析(1)

=

=934.4.

(2分)(2)設(shè)所求一次函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0),將(30,40)、(40,20)代入y=kx+b,得

解得

∴y=-2x+100.

(5分)(3)設(shè)利潤為ω元,根據(jù)題意,得ω=(x-20)(-2x+100)

(7分)=-2x2+140x-2000=-2(x-35)2+450,

(9分)則當(dāng)x=35時(shí),ω取最大值.即當(dāng)該產(chǎn)品的單價(jià)為35元/件時(shí),工廠獲得最大利潤450元.

(10分)評析

本題考查了加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算,一次函數(shù)解析式的確定,二次函數(shù)最值的實(shí)際應(yīng)用,需要

結(jié)合題意提取出有效信息,同時(shí)要理解頂點(diǎn)坐標(biāo)與最值的關(guān)系.屬中檔題.考點(diǎn)四二次函數(shù)的綜合1.(2018湖北黃岡,22,8分)已知直線l:y=kx+1與拋物線y=x2-4x.(1)求證:直線l與該拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn);(2)設(shè)直線l與該拋物線兩交點(diǎn)為A,B,O為原點(diǎn),當(dāng)k=-2時(shí),求△OAB的面積.解析(1)證明:令x2-4x=kx+1,則x2-(4+k)x-1=0,因?yàn)棣?(4+k)2+4>0,所以直線l與該拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn).(2)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),直線l與y軸的交點(diǎn)為C,則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1),易知x1+x2=4+k=2,x1x2=-1,所以(x1-x2)2=8,所以|x1-x2|=2

,所以△OAB的面積S=

·OC·|x1-x2|=

×1×2

=

.2.(2018吉林,26,10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+2ax-3a(a<0)與x軸相交于A,B兩

點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,直線DC與x軸相交于點(diǎn)E.(1)當(dāng)a=-1時(shí),拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為

,OE=

;(2)OE的長是否與a值有關(guān),說明你的理由;(3)設(shè)∠DEO=β,45°≤β≤60°,求a的取值范圍;(4)以DE為斜邊,在直線DE的左下方作等腰直角三角形PDE.設(shè)P(m,n),直接寫出n關(guān)于m的函數(shù)

解析式及自變量m的取值范圍.

解析

(1)(-1,4);3.

(2分)(2)OE的長與a值無關(guān).理由:∵y=ax2+2ax-3a,∴C(0,-3a),D(-1,-4a).∴直線CD的解析式為y=ax-3a.

(4分)當(dāng)y=0時(shí),x=3.∴OE=3.∴OE的長與a值無關(guān).

(5分)(3)當(dāng)β=45°時(shí),在Rt△OCE中,OC=OE.∵OE=3,OC=-3a,∴-3a=3.∴a=-1.

(6分)當(dāng)β=60°時(shí),在Rt△OCE中,OC=

OE.∵OE=3,OC=-3a,∴-3a=3

.

(7分)∴a=-

.∴當(dāng)45°≤β≤60°時(shí),-

≤a≤-1.

(8分)(4)n=-m-1(m<1).(如圖)

(10分)

評分說明:1.第(2)題,證明正確,但不先寫結(jié)論不扣分;2.第(4)題,解析式正確給1分,自變量取值范圍正確給1分.思路分析

(1)將a=-1代入拋物線方程,然后利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求頂點(diǎn)D的坐標(biāo),令x=0可求C點(diǎn)

坐標(biāo),從而求出直線CD的方程,令y=0即可求出OE;(2)求出C、D點(diǎn)坐標(biāo),從而可求直線CD的表

達(dá)式,令y=0,即可判斷;(3)分別求出β=45°和60°時(shí)a的值,即可確定a的取值范圍;(4)如解析圖,由

P(m,n)及二次函數(shù)對稱軸為x=-1可知PM=-1-n,PN=m,由∠DPE=∠PMD=90°,PM∥AE可推出∠

PDM=∠PEN,從而可推出Rt△DPM≌Rt△EPN,可得PM=PN,問題解決.3.(2018四川成都,28,12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以直線x=

為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c與直線l:y=kx+m(k>0)交于A(1,1),B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,5),直線l與y軸交于點(diǎn)D.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)設(shè)直線l與拋物線的對稱軸的交點(diǎn)為F,G是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一點(diǎn),若

=

,且△BCG與△BCD的面積相等,求點(diǎn)G的坐標(biāo);(3)若在x軸上有且只有一點(diǎn)P,使∠APB=90°,求k的值.

解析(1)由題可得

解得

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-5x+5.(2)作AM⊥x軸,BN⊥x軸,垂足分別為M,N,

設(shè)對稱軸與x軸交于Q點(diǎn),則

=

=

.∵M(jìn)Q=

,∴QN=2,∴B

,∴

解得

∴直線l的解析式為y=

x+

,則D

.易知直線BC的解析式為y=-

x+5.∵S△BCD=S△BCG,∴①DG1∥BC(G1在BC下方),直線DG1的解析式為y=-

x+

,∴-

x+

=x2-5x+5,即2x2-9x+9=0,∴x1=

,x2=3,∵x>

,∴x=3,∴G1(3,-1).②G在BC上方時(shí),直線G2G3與DG1關(guān)于BC對稱.∴直線G2G3的解析式為y=-

x+

,∴-

x+

=x2-5x+5,∴2x2-9x-9=0.∴x1=

,x2=

,∵x>

,∴x=

,∴G2

.綜上所述,點(diǎn)G的坐標(biāo)為(3,-1)或

.(3)由題意可知,k+m=1.∴m=1-k,∴y=kx+1-k,∴kx+1-k=x2-5x+5,即x2-(k+5)x+k+4=0,∴x1=1,x2=k+4,∴B(k+4,k2+3k+1).取AB的中點(diǎn)O',

∵P點(diǎn)有且只有一個(gè),∴以AB為直徑的圓與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),即該圓與x軸相切,且P為切點(diǎn),連接O'P,AP,BP.∴O'P⊥x軸,∴P為MN的中點(diǎn),∴P

.作AM⊥x軸,BN⊥x軸,垂足分別為M,N,∵△AMP∽△PNB,∴

=

,∴AM·BN=PN·PM,∴1×(k2+3k+1)=

,即3k2+6k-5=0,Δ=96>0,∵k>0,∴k=

=-1+

.思路分析

(1)根據(jù)已知條件,用待定系數(shù)法可求得拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)作AM⊥x軸,BN⊥x

軸,垂足分別為M,N,根據(jù)

=

=

,求點(diǎn)B的坐標(biāo),進(jìn)而求出直線l的解析式,由S△BCD=S△BCG,根據(jù)平行線間的距離相等,分兩種情況分別求出G點(diǎn)坐標(biāo);(3)當(dāng)以AB為直徑的圓與x軸相切時(shí),存

在滿足條件的點(diǎn)P,由題意知點(diǎn)P為MN的中點(diǎn),運(yùn)用三角形相似的性質(zhì)建立線段間的等量關(guān)系,

列出方程求解即可.解題關(guān)鍵

本題為二次函數(shù)的綜合題,主要考查了用待定系數(shù)法求解析式,二次函數(shù)的性質(zhì),平

行線間的距離,用代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo),三角形的相似等知識點(diǎn),題目綜合性強(qiáng)、難度大.會分

析題中的基本關(guān)系列方程(組)解決問題,并分類討論,會根據(jù)條件構(gòu)建三角形相似的模型,運(yùn)用

相似的性質(zhì)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.4.(2017山西,23,14分)如圖,拋物線y=-

x2+

x+3

與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC.點(diǎn)P沿AC以每秒1個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動,同時(shí),點(diǎn)Q沿

BO以每秒2個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動,當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)

動,連接PQ.過點(diǎn)Q作QD⊥x軸,與拋物線交于點(diǎn)D,與BC交于點(diǎn)E.連接PD,與BC交于點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)P

的運(yùn)動時(shí)間為t秒(t>0).(1)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式;(2)①直接寫出P,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)(用含t的代數(shù)式表示,結(jié)果需化簡);②在點(diǎn)P,Q運(yùn)動的過程中,當(dāng)PQ=PD時(shí),求t的值;(3)試探究在點(diǎn)P,Q運(yùn)動的過程中,是否存在某一時(shí)刻,使得點(diǎn)F為PD的中點(diǎn).若存在,請直接寫出

此時(shí)t的值與點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

解析

(1)令y=0,得-

x2+

x+3

=0.解得x1=-3,x2=9,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(9,0).

(1分)令x=0,得y=3

,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3

).

(2分)設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b(k≠0),由B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)得

(3分)解得

∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=-

x+3

.

(4分)(2)①P

,D

.

(6分)②過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G,PH⊥QD于點(diǎn)H.

∵QD⊥x軸,∴四邊形PGQH是矩形,∴HQ=PG.

(7分)∵PQ=PD,PH⊥QD,∴DQ=2HQ=2PG.

(8分)∵P,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

,

9-2t,-

t2+

t

,∴-

t2+

t=2×

t,

(9分)解得t1=0(舍去),t2=

,∴當(dāng)PQ=PD時(shí),t的值為

.

(10分)(3)存在.t=3,

(12分)F

.

(14分)思路分析

(1)先求出點(diǎn)B,C的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式;(2)①過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G,由AO=3,BO=9,OC=3

,得到∠CAO=60°,∠APG=30°,又AP=t,∴AG=

t,PG=

t,即可得到P的坐標(biāo).由OQ=9-2t,得到點(diǎn)D的橫坐標(biāo),由點(diǎn)D在拋物線上,得到點(diǎn)D的縱坐標(biāo);②過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G,PH⊥QD于點(diǎn)H,得到四邊形PGQH是矩形,從而有DQ=2HQ=2PG,即

可得到關(guān)于t的方程,解之即可;(3)假設(shè)存在點(diǎn)F為PD的中點(diǎn),由中點(diǎn)的特征結(jié)合P、D兩點(diǎn)的坐標(biāo),用含t的式子表示出點(diǎn)F的

坐標(biāo),將其代入直線BC建立方程t2-6t+9=0,求得t=3,從而得到F的坐標(biāo).方法規(guī)律

若點(diǎn)P1,P2的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),且線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則

此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.解后反思

以二次函數(shù)圖象為背景的動點(diǎn)與幾何圖形結(jié)合的存在性問題,問題解決一般分為

兩個(gè)環(huán)節(jié):(1)確定動點(diǎn)的位置,在動點(diǎn)變化的過程中尋找可確定的因素(即可確定的量、可確

定的位置)是突破問題的關(guān)鍵;利用幾何圖形的性質(zhì)或圖形變換的性質(zhì)使動點(diǎn)與這些確定因素

之間建立聯(lián)系,從而確定動點(diǎn)的位置,值得注意的是,一般情況下,都會存在不同位置的情況,進(jìn)

而需要分類討論.(2)解決問題:和點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系可在水平或豎直方向上作輔助線構(gòu)造直角三角

形或者借助幾何圖形的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造直角三角形,然后利用直角三角形的相似、三角函

數(shù)或者勾股定理構(gòu)建方程,從而解決問題.5.(2016新疆烏魯木齊,24,12分)如圖,拋物線y=-x2+2x+n經(jīng)過點(diǎn)M(-1,0),頂點(diǎn)為C.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)設(shè)直線y=2x與拋物線交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)):①在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)G,使∠AGC=∠BGC?若存在,求出點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請

說明理由;②點(diǎn)P在直線y=2x上,點(diǎn)Q在拋物線上,當(dāng)以O(shè),M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求點(diǎn)Q的

坐標(biāo).

解析∵拋物線y=-x2+2x+n過點(diǎn)M(-1,0),∴0=-(-1)2+2×(-1)+n,解得n=3,∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.(1)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,4).(2)①存在.聯(lián)立

解得

∴A(-

,-2

),B(

,2

),∴點(diǎn)B(

,2

)關(guān)于對稱軸x=1的對稱點(diǎn)為B'(2-

,2

).∵∠AGC=∠BGC,∴點(diǎn)B'在直線AG上.設(shè)直線AB'的方程為y=kx+b(k≠0),由

得

∴y=2

x+6-2

,令x=1,得y=6,∴G(1,6).②設(shè)P(m,2m),當(dāng)四邊形OMPQ為平行四邊形時(shí),則Q(m+1,2m),∵點(diǎn)Q在拋物線y=-x2+2x+3上,∴2m=-(m+1)2+2(m+1)+3,解得m=-1±

,∴Q1(-

,-2-2

),Q2(

,-2+2

);當(dāng)四邊形OMQP為平行四邊形時(shí),則Q(m-1,2m),∵點(diǎn)Q在拋物線y=-x2+2x+3上,∴2m=-(m-1)2+2(m-1)+3,解得m=0或2,∴Q3(1,4),Q4(-1,0)(舍);當(dāng)OM為平行四邊形對角線時(shí),則Q(-1-m,-2m),∵點(diǎn)Q在拋物線y=-x2+2x+3上,∴-2m=-(-m-1)2+2(-m-1)+3,解得m=-2或0,∴Q5(1,4),Q6(-1,0)(舍).綜上所述:點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-

,-2-2

)或(

,-2+2

)或(1,4).C組教師專用題組考點(diǎn)一二次函數(shù)的概念1.(2017甘肅蘭州,9,4分)將拋物線y=3x2-3向右平移3個(gè)單位長度,得到新拋物線的表達(dá)式為

()A.y=3(x-3)2-3

B.y=3x2C.y=3(x+3)2-3

D.y=3x2-6答案

A直接根據(jù)二次函數(shù)圖象“左加右減,上加下減”的平移規(guī)律進(jìn)行解答即可.故選A.解題關(guān)鍵

本題考查了二次函數(shù)圖象平移的變化規(guī)律,解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象平移

與解析式的變化規(guī)律的對應(yīng)關(guān)系.方法規(guī)律

二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律:將拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)向上平移k(k>0)個(gè)單位所得

的函數(shù)圖象的關(guān)系式為y=ax2+bx+c+k,向下平移k(k>0)個(gè)單位所得的函數(shù)圖象的關(guān)系式為y=ax2

+bx+c-k;向左、右平移應(yīng)該先將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式,即y=a(x-h)2+m的形式,向左平移k

(k>0)個(gè)單位所得的函數(shù)圖象的關(guān)系式為y=a(x-h+k)2+m,向右平移k(k>0)個(gè)單位所得的函數(shù)圖

象的關(guān)系式為y=a(x-h-k)2+m.以上規(guī)律可簡記為“上加下減,左加右減”.2.(2015浙江紹興,21,10分)如果拋物線y=ax2+bx+c過定點(diǎn)M(1,1),則稱此拋物線為定點(diǎn)拋物線.(1)張老師在投影屏幕上出示了一個(gè)題目:請你寫出一條定點(diǎn)拋物線的一個(gè)解析式.小敏寫出了

一個(gè)答案:y=2x2+3x-4.請你寫出一個(gè)不同于小敏的答案;(2)張老師又在投影屏幕上出示了一個(gè)思考題:已知定點(diǎn)拋物線y=-x2+2bx+c+1,求該拋物線頂點(diǎn)

縱坐標(biāo)的值最小時(shí)的解析式.請你解答.解析

(1)不唯一,如y=x2-2x+2.(2)∵定點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(b,c+b2+1),且-1+2b+c+1=1,∴c=1-2b,∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)c+b2+1=2-2b+b2=(b-1)2+1,∴當(dāng)b=1時(shí),c+b2+1最小,拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值最小,此時(shí)c=-1,∴拋物線的解析式為y=-x2+2x.考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.(2018四川成都,10,3分)關(guān)于二次函數(shù)y=2x2+4x-1,下列說法正確的是

()A.圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)B.圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)C.當(dāng)x<0時(shí),y的值隨x值的增大而減小D.y的最小值為-3答案

D因?yàn)閥=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,所以,當(dāng)x=0時(shí),y=-1,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;該函數(shù)圖象的對稱軸是

直線x=-1,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;當(dāng)x<-1時(shí),y隨x的增大而減小,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;當(dāng)x=-1時(shí),y取得最小值,此時(shí)y=-

3,選項(xiàng)D正確.故選D.思路分析

根據(jù)題中的函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì),可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論是否成

立,從而解答本題.解題關(guān)鍵

解答本題的關(guān)鍵是理解二次函數(shù)的性質(zhì),會用配方法求二次函數(shù)的最值.2.(2018黑龍江齊齊哈爾,10,3分)拋物線C1:y1=mx2-4mx+2n-1與平行于x軸的直線交于A、B兩點(diǎn),

且A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2),請結(jié)合圖象分析以下結(jié)論:①對稱軸為直線x=2;②拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為

(0,-1);③m>

;④若拋物線C2:y2=ax2(a≠0)與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn),則a的取值范圍是

≤a<2;⑤不等式mx2-4mx+2n>0的解作為函數(shù)C1的自變量的取值時(shí),對應(yīng)的函數(shù)值均為正數(shù),其中正

確的結(jié)論有(

)A.2個(gè)

B.3個(gè)

C.4個(gè)

D.5個(gè)答案

B拋物線的對稱軸為直線x=

=2,所以①正確;拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2n-1),所以②錯(cuò)誤;把(-1,2)代入拋物線解析式,可得2n=3-5m,所以拋物線解析式為y1=mx2-4mx+2-5m,

因?yàn)閽佄锞€與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸,所以當(dāng)x=0時(shí),y1<0,即2-5m<0,解得m>

,所以③正確;由拋物線C1與平行于x軸的直線交于A(-1,2)及結(jié)論①,可得B(5,2),易知拋物線C2的對稱軸為y軸,設(shè)A

點(diǎn)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為E,畫圖可知,要使拋物線C2與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn),則拋物線C2與線

段EB(不含點(diǎn)E,含點(diǎn)B)恰有一個(gè)公共點(diǎn),當(dāng)拋物線C2經(jīng)過點(diǎn)E時(shí),a=2,當(dāng)拋物線C2經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),a=

,所以

≤a<2,所以④正確;mx2