山東省棗莊市薛城區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

20222023學(xué)年下學(xué)期高一期中學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，22題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效、3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：.故選：A.2.若向量，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo).【詳解】由題意，∵，∴∴，故選：B.3.對(duì)于橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的向量，若它們的模相同，坐標(biāo)不同，則稱這些向量為“等模整向量”如向量是模為的“等模整向量”，則模為的“等模整向量”的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.8 C.10 D.12【答案】B【解析】【分析】根據(jù)“等模整向量”的概念求解.【詳解】設(shè)向量為，則，又為整數(shù)，所以，從中取值，故符合條件的“等模整向量”為，共有8個(gè).故選：B4.“近水亭臺(tái)草木欣，朱樓百尺回波濆”，位于濟(jì)南大明湖畔的超然樓始建于元代，歷代因戰(zhàn)火及災(zāi)澇等原因，屢毀屢建．今天我們所看到的超然樓為2008年重建而成，共有七層，站在樓上觀光，可俯視整個(gè)大明湖的風(fēng)景．如圖，為測(cè)量超然樓的高度，小劉取了從西到東相距104（單位：米）的A，B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，在A點(diǎn)測(cè)得超然樓在北偏東的點(diǎn)D處（A，B，D在同一水平面上），在B點(diǎn)測(cè)得超然樓在北偏西，樓頂C的仰角為，則超然樓的高度（單位：米）為（）A.26 B. C.52 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合直角三角形分析運(yùn)算即可.【詳解】由題意可得：（米），在中，可得，則（米），在Rt中，可得為等腰直角三角形，即（米）.故選：C.5.矩形中，，M為線段上靠近A的三等分點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)，則（）A. B.0 C.1 D.7【答案】C【解析】【分析】以為基底向量表示，根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律分析運(yùn)算.【詳解】以為基底向量，則，因?yàn)椋瑒t，所以.故選：C.6.三棱錐的側(cè)棱上分別有三點(diǎn)E，F(xiàn)，G，且，則三棱錐與的體積之比是（）A.6 B.8 C.12 D.24【答案】D【解析】【分析】根據(jù)體積公式計(jì)算三棱錐的體積與三棱錐的體積表達(dá)式，再求其比值.【詳解】設(shè)的面積為，設(shè)的面積為，則，，又，，∴，過(guò)點(diǎn)作平面，過(guò)點(diǎn)作平面，如圖，則，∴與相似，又，∴，∵，，∴，∴三棱錐與的體積之比是24.故選：D.7.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算可推得，正弦定理邊化角可得.然后根據(jù)三角形內(nèi)角和以及兩角和的正弦定理化簡(jiǎn)可推得，輔助角公式化簡(jiǎn)可求得，然后根據(jù)角的范圍，即可得出答案.【詳解】由已知可得，.由正弦定理邊化角可得，.因?yàn)椋杂?又，所以，即，所以.因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.8.已知A，B，C，D四點(diǎn)都在表面積為的球O的表面上，若球O的直徑，且，則三棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，圓心為，根據(jù)正弦定理可求r，根據(jù)幾何關(guān)系可求D到平面ABC的距離為定值，當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，三棱椎A(chǔ)－BCD體積最大，利用余弦定理、基本不等式、三角形面積公式可求△ABC面積的最大值，即得.【詳解】設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)榍騉的表面積為，故，即，∵，，設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，圓心為，∴根據(jù)正弦定理知，，即，∴，∵AD是直徑，O是AD中點(diǎn)，故D到平面ABC的距離為，在△ABC中，根據(jù)余弦定理得，，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴△ABC面積的最大值為，∴三棱錐A－BCD體積的最大值.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符!合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的乘法判斷B，C選項(xiàng)，根據(jù)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)判斷D選項(xiàng)，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)及模長(zhǎng)判斷A選項(xiàng).

【詳解】設(shè)，,A選項(xiàng)正確;,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;,C選項(xiàng)正確；,,D選項(xiàng)正確;.故選:ACD.10.已知正四棱臺(tái)中，，則關(guān)于該正四棱臺(tái)，下列說(shuō)法正確的是（）A. B.高為 C.體積為 D.表面積為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】過(guò)分別作底面、的垂線，垂足分別為、，則，可得.對(duì)于A：在Rt中，可得，且為銳角，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：正四棱臺(tái)的高即為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：正四棱臺(tái)的體積，故C正確；對(duì)于D：四棱臺(tái)的表面積，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11.石墨的二維層狀結(jié)構(gòu)存在如圖所示的環(huán)狀正六邊形，正六邊形為其中的一個(gè)六元環(huán)，設(shè)，P為正六邊形內(nèi)一點(diǎn)（包括邊界），則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.在上的投影向量為 D.的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】建系，利用向量坐標(biāo)的運(yùn)算判斷A、B、C，對(duì)于D：結(jié)合向量的投影分析運(yùn)算.【詳解】如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得.對(duì)于A：因?yàn)?，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，則，所以在上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D：分別過(guò)、作直線的垂線，垂足分別為、，則，可得在上的投影的取值范圍為，且，所以的取值范圍為，故D正確；故選：BCD.12.已知內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，內(nèi)一點(diǎn)N滿足與交于點(diǎn)D，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由正弦定理判斷A，再由向量的線性運(yùn)算判斷D，根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算判斷B，由B知在角平分線上可判斷C.【詳解】，由正弦定理可得，故A正確;，可得，故D正確；，故B正確；如圖，是的角平分線，，故C不正確.故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的周期性求解.【詳解】,故答案為：14.中，為邊的中線，，，，則中線的長(zhǎng)為_(kāi)________.【答案】##【解析】【分析】先由三角形構(gòu)建平行四邊形，使轉(zhuǎn)化為，然后在根據(jù)余弦定理求，即可.【詳解】如圖，以邊,為鄰邊做平行四邊形，因?yàn)檫叺闹芯€，則由平行四邊形性質(zhì)知共線，且，在平行四邊形中，，，在中，由余弦定理得：，所以，，故答案為：15.設(shè)M為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合三點(diǎn)共線的結(jié)論確定點(diǎn)的位置，進(jìn)而分析運(yùn)算即可.【詳解】在取點(diǎn)，使得，則，可知：點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，即，所以與的面積之比為.故答案為：.16.早在15世紀(jì)，達(dá)·芬奇就曾提出一種制作正二十面體的方法：如圖（1），先制作三張一樣的黃金矩形，然后從長(zhǎng)邊的中點(diǎn)E出發(fā)，沿著與短邊平行的方向，即，再沿著與長(zhǎng)邊行的方向剪出相同的長(zhǎng)度，即；將這三個(gè)矩形穿插兩兩垂直放置（如圖（2）），連接所有頂點(diǎn)即可得到一個(gè)正二十面體（如圖（3））．若黃金矩形的短邊長(zhǎng)為2，則按如上制作的正二十面體的表面積為_(kāi)_____________，其內(nèi)切球的表面積為_(kāi)_____________．【答案】①.②.【解析】【分析】正二十面體的表面是20個(gè)全等的等邊三角形，且每個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)都等于黃金矩形的短邊長(zhǎng)可得其表面積，根據(jù)對(duì)稱性可知內(nèi)切球的球心在所有黃金矩形的對(duì)角線交點(diǎn)處，從而可求出球的半徑，得出答案.【詳解】正二十面體的表面是20個(gè)全等的等邊三角形，且每個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)都等于黃金矩形的短邊長(zhǎng)2.所以表面積為：根據(jù)對(duì)稱性可知：三個(gè)黃金矩形的對(duì)角線交于一點(diǎn),設(shè)該點(diǎn)為由對(duì)稱性可知，內(nèi)切球和外接球的球心在所有黃金矩形的對(duì)角線交點(diǎn)處，點(diǎn)O連接其中一個(gè)面ABC，如圖，作面ABC，則OA為外接球半徑，為內(nèi)切球的半徑.黃金矩形的短邊長(zhǎng)為2，設(shè)長(zhǎng)邊為，則，即所以黃金矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為所以外接球的半徑為：由正三棱錐的性質(zhì)可知，為的中心，為的外接圓半徑，所以，所以所以所以內(nèi)切球的表面積為故答案為：；四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)．（1）求；（2）若z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)a，b的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法求，進(jìn)而求模長(zhǎng)；（2）將代入方程，根據(jù)復(fù)數(shù)相等列式求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋裕拘?wèn)2詳解】由（1）可得：，將代入方程得：，則，解得：．18.已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中．（1）若，且，求坐標(biāo)；（2）若，且，求與的夾角．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，然后根據(jù)向量模以及向量垂直的坐標(biāo)表示，列出方程組，求解即可得出答案；（2）根據(jù)已知可推得，然后即可得出，進(jìn)而得出答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，由已知可得，解得或所以或．【小問(wèn)2詳解】由已知可得，.由得，即，即，所以，所以.因?yàn)?，，?19.如圖，圓錐的底面半徑為3，此圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓．（1）求圓錐的表面積；（2）若圓錐的底面圓周和頂點(diǎn)S都在球的球面上，求球的體積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，由求得母線后再利用表面積公式求解.（2）令，利用球的截面圓性質(zhì)，由求得半徑即可.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，由題意得：，則．所以．【小問(wèn)2詳解】令，由，得，解得．故．20.中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c．已知．（1）求角A的大??；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用正、余弦定理分析運(yùn)算；（2）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，在結(jié)合三角恒等變換及余弦函數(shù)分析運(yùn)算.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，整理得，所以，且，?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，可得，則，因?yàn)椋?，則所以，即．21.已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D為邊的中點(diǎn)，E為邊上任一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），F(xiàn)在線段延長(zhǎng)線上，且．（1）當(dāng)最小時(shí)，求的值；（2）求取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，把轉(zhuǎn)化為，由求出，從而可知當(dāng)時(shí)，最小，把轉(zhuǎn)化為用表示，再把代入即可求出的值；（2）把轉(zhuǎn)化為用表示，化簡(jiǎn)為只含變量的二次函數(shù)，用二次函數(shù)求最值的方法即可求得的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】如圖，設(shè)因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，最小，此時(shí).【小問(wèn)2詳解】由（1）知，故，因?yàn)?，因?yàn)?，所?22.中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.（1）求的值；（2）若BD是的角平分線.（i）證明：；（ii）若，求的最大值.【答案】（1）（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和正弦公式化簡(jiǎn)，即可得答案；（2）（i）在和中，分別應(yīng)用正余弦定理，得出線段之間的等量關(guān)系，結(jié)合角平分線以及分式的性質(zhì)，即可證明結(jié)論；（ii