吉林省五校聯(lián)考高三上學期聯(lián)合模擬考試數(shù)學（理）試題

2021屆吉林省五校聯(lián)考高三上學期聯(lián)合模擬考試數(shù)學（理）試題一、單選題1．若集合，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出集合、，再根據(jù)補集、交集的定義計算可得；【詳解】解：所以所以故選：B2．已知是虛數(shù)單位，則的虛部為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復數(shù)的運算法則即可得出．【詳解】解：復數(shù)，則的虛部是．故選：D．3．的展開式中項的系數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先寫出展開式的通項，再代入計算可得；【詳解】解：的展開式的通項，令，解得，所以，所以項的系數(shù)為，故選：B4．若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列.斐波那契螺旋線是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，自然界中存在許多斐波那契螺旋線的圖案，是自然界最完美的經典黃金比例.作圖規(guī)則是在以斐波那契數(shù)為邊的正方形拼成的長方形中畫一個圓心角為的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線，如圖所示的個正方形的邊長分別為，在長方形內任取一點，則該點不在任何一個扇形內的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意求得數(shù)列的前6項，求得長方形的面積，再求出4個扇形的面積和，由測度比是面積比得答案．【詳解】解：由題意可得，數(shù)列的前6項依次為：1，1，2，3，5，8，長方形的面積為．4個扇形的面積之和為．所求概率．故選：D．5．已知向量，若，則實數(shù)（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，平方可得兩個向量同向，利用坐標公式求解即可.【詳解】由，平方得，即，則同向，故有，得，故選：B.6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】按箭頭執(zhí)行運算，一次運算后不滿足判斷框中的條件繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)，二次運算后滿足判斷框中的條件退出循環(huán)，得出答案.【詳解】，不滿足判斷框中的條件繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)，，滿足判斷框中的條件退出循環(huán).故選：C【點睛】直到型循環(huán)，先執(zhí)行循環(huán)體，直到滿足條件退出循環(huán)，注意計算的準確性.7．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的一個單調減區(qū)間可以為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用三角函數(shù)的平移變換的應用得，再利用正弦型函數(shù)單調減區(qū)間的整體思想的應用求出結果即可．【詳解】把的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象，，，即.令，解得，令，可得函數(shù)的一個單調減區(qū)間為.故選：A．8．關于直線與平面，有下列四個命題：①且，則；②且，則；③且，則；④且，則.其中正確命題的個數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】對①，利用特殊情況即可判斷；對②，由線面平行的判定定理以及面面平行的性質定理即可判斷；對③④，根據(jù)面面垂直兩個面的法向量與方向向量的關系即可判斷.【詳解】解：對①，當時，由得，故①錯誤；對②，由線面平行的判定定理以及面面平行的性質定理可知，可能平行，相交，異面，故②錯誤；對③，由知：或，又，平行、相交或異面，故③錯誤；對④，由知：為的法向量，為的法向量，又，，故④正確.故選：A.9．已知，則的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】可直接判斷，，再以為“橋梁”，比較大小即可.【詳解】，所以；，所以；，所以，故.故選：C.10．已知雙曲線的上、下焦點分別為，點在雙曲線上，且軸，若的內切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由雙曲線的性質結合直角三角形的內切圓半徑公式，即可得到離心率.【詳解】代入雙曲線方程，得，所以，內切圓半徑為所以.故選：A.11．已知函數(shù)，則關于的不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出導函數(shù)，結合基本不等式可得，可得是上的增函數(shù)，進而可得結果.【詳解】依題意可得，因為，，所以，是上的增函數(shù)，又，所以.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是：得出函數(shù)是上的增函數(shù).12．在中，的平分線交于點，則的面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，，則，結合正弦定理表示得，由余弦定理可得與的關系式，聯(lián)立前式由同角三角函數(shù)和二次函數(shù)性質化簡即可求解【詳解】如圖，設設，，則由正弦定理可得①，②，又，所以，①②式聯(lián)立可得，則，則，對，由余弦定理可得，則，當時，有最大值，，所以，故選：C【點睛】本題考查由三角形的邊角關系求解面積最值，正弦定理、余弦定理解三角形，屬于難題，本題中的角平分線性質可當結論進行識記：為的角平分線，則二、填空題13．已知函數(shù)，則__________.【答案】0【分析】從內層往外逐層代入即可求解.【詳解】解：，，故答案為：0.14．若x，y滿足約束條件，則的最大值為__________.【答案】2【分析】畫出可行域，表示可行域上的點到原點的斜率，分析并計算的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示，又為可行域內的點到原點的斜率，由圖得的最大值為，又，得的最大值為.故答案為：【點睛】本題考查了線性規(guī)則，正確畫出不等式組表示的平面區(qū)域是解題的基礎，理解目標函數(shù)的意義是解題的關鍵．15．甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束.除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是，假設各局比賽結果相互獨立，則甲隊以獲勝的概率是__________.【答案】【分析】甲隊以獲得比賽勝利是指前四局比賽甲、乙兩隊平，第五比賽甲勝，由此利用次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生次的概率計算公式能求出甲隊以獲得比賽勝利的概率．【詳解】解：甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束．除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是．假設各局比賽結果相互獨立．甲隊以獲得比賽勝利是指前四局比賽甲、乙兩隊平，第五比賽甲勝，甲隊以獲得比賽勝利的概率為：．故答案為：．16．已知拋物線的焦點為是拋物線上動點，點，當取最大值時，點的坐標為__________.【答案】【分析】根據(jù)拋物線的定義，轉化為，結合圖像判斷什么時候取最大值，進而求出點的坐標.【詳解】由題意知，焦點為，且在拋物線的準線上，設點在拋物線準線上的投影為點，則，故，要使取最大，只需最小，此時直線與拋物線相切，設直線：，即，聯(lián)立，得，由直線與拋物線相切，得，即或，結合圖像，可知當時，最小，故，即，因此點的坐標為.故答案為：.【點睛】直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系.三、解答題17．已知等差數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，列出方程組，求得，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）求得，結合“裂項法”求和，即可求解.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，因為，可得，解得，所以數(shù)列的通項公式.（2）由（1）知，可得，所以數(shù)列的前項和：.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的求解，以及“裂項法”求和的應用，其中解答中熟記等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，以及合理利用“裂項法”求和是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力，屬于基礎題.18．為推動長春市校園冰雪運動，充分展示《長春市中小學“百萬學子上冰雪”行動計劃》的工作成果，某學校決定學生全員參與冰雪健身操運動.為了調查學生對冰雪健身操的喜歡程度，現(xiàn)從全校學生中隨機抽取了名男生和名女生的測評成績（滿分為分）組成一個樣本，得到如圖所示的莖葉圖，并且認為得分不低于分的學生為喜歡.（1）請根據(jù)莖葉圖填寫下面的列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認為該校學生是否喜歡冰雪健身操與性別有關？喜歡不喜歡合計男生女生合計（2）從樣本中隨機抽取男生、女生各人，求其中恰有人喜歡冰雪健身操的概率；（3）用樣本估計總體，將樣本頻率視為概率，現(xiàn)從全校男生、女生中各隨機抽取人，求其中喜歡冰雪健身操的人數(shù)的分布列及數(shù)學期望.參考公式及數(shù)據(jù)：【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）答案見解析.【分析】（1）分析數(shù)據(jù)，完成列聯(lián)表，套公式計算，對照參數(shù)下結論；（2）利用等可能性的概率公式直接求概率；（3）分析題意，列舉X的所有可能取值，分別求概率，寫出分布列，套公式求數(shù)學期望.【詳解】（1）列聯(lián)表如下：喜歡不喜歡合計男生51520女生101020合計152540所以，所以有85%的把握該校學生是否喜歡冰雪健身操與性別有關.（2）設事件A：隨機抽取男生、女生各人，求其中恰有人喜歡冰雪健身操，則.（3）的所有可能取值：0,1,2，則，，，所以的分布列為X012P的數(shù)學期望為：.19．等邊三角形的邊長為，點分別是棱上的點，且滿足（如圖①），將沿折起到的位置，連接，點是棱上的動點，點是棱上的動點（如圖②）.（1）若，求證：平面；（2）若，且直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)見詳解；(2).【分析】(1)通過邊長的比例關系，先證明平面∥平面，進而求證平面；(2)根據(jù)已知條件，建立空間直角坐標系，用空間向量的方法求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】(1)證明：過點作的垂線，交于點，連接.由題意易得：，，∥，平面，平面，∥平面,又，，，∥，平面，平面，∥平面，又平面，平面，且，平面∥平面，平面，∥平面；(2)由題意易得、、兩兩垂直，故以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，過點作的垂線交于點，連接，易得平面，又因直線與平面所成角的正弦值為，則直線與平面所成角的正切值為，故，再由，，，得.故在空間坐標系中：，，，，，設平面的法向量，則，得，取，則，同理平面的法向量，故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.20．已知橢圓的左、右焦點分別是，短軸長是，離心率是.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知點是橢圓上任意一點，直線交橢圓于點，直線交橢圓于點，且滿足.求證：是定值.【答案】(1)；(2)為定值.【分析】(1)由已知，易求得，，進而得到橢圓的標準方程；(2)根據(jù)題意，對是否為長軸頂點分類討論，若不是長軸頂點，設直線：，直線：，通過聯(lián)立方程組，以及根與系數(shù)關系，用，來表示，進而證明為定值.【詳解】(1)由題意得，解得，故橢圓的標準方程的標準方程為：.(2)①當點是橢圓為長軸頂點時，易得；②當點是橢圓不為長軸頂點時，設直線：，直線：，設，，，聯(lián)立，得，恒成立，由韋達定理得：，，同理得：，，聯(lián)立，得，又因點在橢圓上，得，化簡得，由，得，故，又因，故，綜上：為定值.【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．21．已知函數(shù).（1）若函數(shù)過原點切線的斜率是，求實數(shù)的值；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）函數(shù)過某點處的切線，需設出切點，利用函數(shù)在切點處的導數(shù)等于切點處切線的斜率，得到關于的方程，求出.（2）恒成立問題分離參數(shù)，轉化為求函數(shù)的最小值，求導，利用隱零點代換，求出的最小值，得到.【詳解】（1）設切點為，且，則切線方程為，由已知切線過原點，則有，解得，所以，因此.（2）若恒成立，即恒成立，即恒成立，令，則，令，則所以在是增函數(shù)，又因此，，使得，所以，當時，,即，在上是減函數(shù)當時，，即，在上是增函數(shù)，則，由得又設，易知在是增函數(shù)，所以，故，因此.【點睛】注意區(qū)別在某點和過某點的切線問題，恒成立分離參數(shù)轉化為求最值問題，零點不可求，需用隱零點代換，最終得解，注意在是增函數(shù)，所以.22．在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），.在以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.（1）寫出的普通方程和的直角坐標方程；（2）若與相交于兩點，求的面積.【答案】（1）：；：；（2）【分析】（1）消元將直線的參數(shù)方程轉化為普通方程，根據(jù)公式將極坐標方程化為直角坐標方程；（2）首先求出圓心到直線的距離，即可求出弦的長，再根據(jù)原點到直線的距離即為高，即可求出三角形的面積；【詳解】解：（1）因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以的普通方程為，因為曲線的極坐標方程為，所以，所以，即曲線的直角坐標方程為（2）因為：的圓心坐標，半徑，所以圓心到直線的距離，所以，原點到直線的距離，所以23．已知．（1）當時，求不等式的解集;（2）若時，不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)．(2).【分析】（1）將a=1代入f（x）中，去絕對值后分別解不等式即可；

（2）x∈（0，1）時，不等式f（x）＜x+2恒成立等價于當x∈（0，1）時，|ax1|＜1恒成立，然后分a≤0和a＞0討論即可．【詳解