數(shù)值分析 第4章 數(shù)值積分和數(shù)值微分

第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分數(shù)值積分概論牛頓-柯特斯公式

復(fù)合求積公式龍貝格求積公式自適應(yīng)求積公式高斯求積公式多重積分數(shù)值微分10/23/20231數(shù)值積分與數(shù)值微分4.1.1數(shù)值求積的基本思想4.1數(shù)值積分概論數(shù)值求積的產(chǎn)生背景困難原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示Newton—Leibniz公式f(x)是一張數(shù)據(jù)表數(shù)值求積的基本思想

在[a,b]內(nèi)存在一點,有f(

)

積分中值定理[a,b]上的平均高度10/23/20232數(shù)值積分與數(shù)值微分平均高度f(

)的算法梯形公式

(1.1)(1.2)中矩形公式式中

xk

稱為求積節(jié)點；Ak

稱為求積系數(shù)，亦稱為伴隨節(jié)點

xk

的(1.3)在區(qū)間[a，b]上適當選取某些節(jié)點xk

，用

f(xk

)加權(quán)平均得到平均高度

f(ζ)的近似值權(quán)．權(quán)Ak

僅僅與節(jié)點xk

的選取有關(guān)，而不依賴于被積函數(shù)f(x)使積分公式具有通用性機械求積特點將積分求值問題歸結(jié)為函數(shù)值的計算10/23/20233數(shù)值積分與數(shù)值微分

定義1

如果某個求積公式對于次數(shù)≤m的多項式均能準確地

一般地，欲使求積公式

具有m次代數(shù)(1.4)4.1.2代數(shù)精度的概念成立，但對于m+1次多項式就不準確成立，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度．精度，只要令它對于f(x)=1，x，…，xm

都能準確成立，這就要求確定代數(shù)精度的方法10/23/20234數(shù)值積分與數(shù)值微分f(x)abf(a)f(b)解：逐次檢查公式是否精確成立代入f(x)=1：=代入f(x)=x：=代入f(x)=x2：

代數(shù)精度=1例1：

考察其代數(shù)精度。

(1)如果事先選定求積節(jié)點，譬如，以區(qū)間的等距分點作為節(jié)點，這時取，求解方程組(1.4)即可確定求積系數(shù)，而使求積公式(1.3)至少具有次代數(shù)精度.構(gòu)造形如(1.3)的求積公式，原則上是一個確定參數(shù)和的代數(shù)問題.求積公式的構(gòu)造10/23/20235數(shù)值積分與數(shù)值微分解:3h=A0+A1+A2h2=0+A1h+A22h9h3=0+A1h2+A24h229故求積公式的形式為解之得

A0=h,

A1=0,A2=h.

94

34

f(x)dx

f(0)+f(2h)3h49h43h0由公式的構(gòu)造知,公式至少具有2次代數(shù)精度;而當f(x)=x3時,公式的左邊=h4,右邊=18h4,公式的左邊

右邊,說明此公式對f(x)=x3不能準確成立.因此,公式只具有2次代數(shù)精度.814例2

試構(gòu)造形如

f(x)dx

A0f(0)+A1f(h)+A2f(2h)

的數(shù)值求積公式,使其代數(shù)精度盡可能高,并指出其代數(shù)精度的階數(shù).3h0令公式對

f(x)=1,x,x2

均準確成立,則有10/23/20236數(shù)值積分與數(shù)值微分

(2)在（1.4）中如果節(jié)點和系數(shù)都不確定，那么（1.4）就是關(guān)于及的個參數(shù)的非線性方程組，該方程組在時求解是很困難的.當時，求積公式為可令，由（1.4）知于是中矩形公式再令，代入故它的代數(shù)精度為1.10/23/20237數(shù)值積分與數(shù)值微分

例3

給定形如的求積公式，試確定系數(shù)，使公式具有盡可能高的代數(shù)精度.解當時，得當時，得令分別代入求積公式使它精確成立當時，得解得,于是得當時，而上式右端為，故公式對不精確成立，其代數(shù)精度為2.10/23/20238數(shù)值積分與數(shù)值微分近似計算思路利用插值多項式

則積分易算。

在[a,b]上取a

x0<x1<…<xn

b，做f的

n

次插值多項式，即得到Ak由決定，與無關(guān)。節(jié)點f(x)插值型積分公式4.1.3

插值型的求積公式關(guān)鍵是f(x)10/23/20239數(shù)值積分與數(shù)值微分當是次數(shù)不超過的多項式時，插值多項式就是反之，如果求積公式(1.5)至少具有次代數(shù)精度，則它必定是插值型的.公式對于插值基函數(shù)應(yīng)準確成立，即有具有次代數(shù)精度.函數(shù)本身，余項為零，所以這時插值型求積公式至少（1.5）誤差注意到上式右端實際上即等于，因而成立.10/23/202310數(shù)值積分與數(shù)值微分定理1：形如的求積公式至少有n

次代數(shù)精度

該公式為插值型（即：）（1.5）例

對于[a,b]上1次插值，有此即梯形公式。4.1.4求積公式的余項代數(shù)精度為m的求積公式余項(1.8)其中為不依賴于的待定參數(shù),

顯然地，當是次數(shù)小于等于的多項式時，由于，故此時，即求積公式精確成立.10/23/202311數(shù)值積分與數(shù)值微分(1.9)其中余項(1.10)當時，上式右端，求得梯形公式的代數(shù)精度為1，余項為代數(shù)精度為m的求積公式余項的求法梯形公式的余項10/23/202312數(shù)值積分與數(shù)值微分代數(shù)精度為1，其中余項(1.11)例4

求例3中求積公式的余項。由于此求積公式的代數(shù)精度為2，故余項為故得解.令，得，于是有中矩形公式的余項10/23/202313數(shù)值積分與數(shù)值微分4.1.5求積公式的收斂性與穩(wěn)定性其中在求積公式中，由于計算可能產(chǎn)生誤差，參與運算的是，即則稱該求積公式是收斂的.記定義2

在求積公式中，若(1.12)收斂性穩(wěn)定性就有定義3

對任給

若

只要成立，則稱求積公式(1.3)是穩(wěn)定的.10/23/202314數(shù)值積分與數(shù)值微分定理2

若求積公式(1.3)中系數(shù)則此求積公式是穩(wěn)定的.證明取對任給都有若對則當時有由定義3，知求積公式(1.3)是穩(wěn)定的.只要求積系數(shù)，就能保證計算的穩(wěn)定性.結(jié)論10/23/202315數(shù)值積分與數(shù)值微分4.2牛頓-柯特斯公式

4.2.1柯特斯系數(shù)與辛普森公式牛頓—柯特斯求積公式設(shè)將積分區(qū)間劃分為等分，選取等距節(jié)點構(gòu)造出的插值型求積公式(2.1)稱為牛頓-柯特斯公式，式中稱為柯特斯系數(shù).步長引進變換則利用等距節(jié)點的插值公式10/23/202316數(shù)值積分與數(shù)值微分(2.2)Cotes系數(shù)注：Cotes系數(shù)僅取決于n

和k，可查表得到。與f(x)及區(qū)間[a,b]均無關(guān)。10/23/202317數(shù)值積分與數(shù)值微分當時，梯形公式當時，按(2.2)式，辛普森(Simpson)公式（2.3）柯特斯系數(shù)為柯特斯公式（2.4）這里10/23/202318數(shù)值積分與數(shù)值微分柯特斯系數(shù)表當時，柯特斯系數(shù)出現(xiàn)負值，假定有且則有初始數(shù)據(jù)誤差引起計算結(jié)果誤差增大，即計算不穩(wěn)定，的牛頓-柯特斯公式是不用的.10/23/202319數(shù)值積分與數(shù)值微分（2）(-1)n+k=(-1)n-k特點：Cotes系數(shù)特點：10/23/202320數(shù)值積分與數(shù)值微分n=1時的求積公式梯形公式/*TrapezoidalFormula*/1次代數(shù)精度用梯形面積近似-10/23/202321數(shù)值積分與數(shù)值微分n=2時的求積公式Simpson公式用拋物形面積近似-10/23/202322數(shù)值積分與數(shù)值微分例5：分別利用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式計算積分的近似值。解：10/23/202323數(shù)值積分與數(shù)值微分4.2.2偶階求積公式的代數(shù)精度階的牛頓-柯特斯公式至少具有次的代數(shù)精度.代數(shù)精度是否會高于n？牛頓-柯特斯公式的代數(shù)精度辛普森公式的代數(shù)精度2階牛頓-柯特斯公式，因此至少具有2次代數(shù)精度.用進行檢驗，按辛普森公式計算又這時有，即辛普森公式對次數(shù)不超過3次的多項式均能準確成立，而它對是不準確的，因此，辛普森公式實際上具有3次代數(shù)精度.10/23/202324數(shù)值積分與數(shù)值微分定理3

當階為偶數(shù)時，牛頓-柯特斯公式至少有次代數(shù)精度.

證明當為偶數(shù)時，牛頓-柯特斯公式對的余項為零.

此時作變換又有所以若為偶數(shù)，則為整數(shù)，令則為奇函數(shù)，所以因為被積函數(shù)偶數(shù)階牛頓—柯特斯公式的代數(shù)精度10/23/202325數(shù)值積分與數(shù)值微分4.2.3幾種求積公式的余項梯形公式的余項辛普森公式的余項代數(shù)精度為3，余項表達式為其中為余項（2.5）10/23/202326數(shù)值積分與數(shù)值微分代數(shù)精度為5，可證明余項（2.6）柯特斯公式的余項積分中值定理求余項10/23/202327數(shù)值積分與數(shù)值微分n=1:代數(shù)精度=1n=2:代數(shù)精度=3幾種低階求積公式的余項構(gòu)造三次多項式H3(x),使?jié)M足H3(a)=(a),H3(b)=(b),插值誤差為

(x)C2[a,b]10/23/202328數(shù)值積分與數(shù)值微分Newton—Cotes求積方法的缺陷：從余項公式可以看出，要提高求積公式的代數(shù)精度，必須增加節(jié)點個數(shù)，而節(jié)點個數(shù)的增加，會導(dǎo)致（1）插值多項式出現(xiàn)Runge現(xiàn)象；（2）Newton—Cotes數(shù)值穩(wěn)定性不能保證。（n>7）余項：對于給定的被積函數(shù)而言，積分區(qū)間縮短時，求積誤差以更快的速度減小。

(x)C4[a,b]10/23/202329數(shù)值積分與數(shù)值微分4.3復(fù)合求積公式復(fù)合求積的基本思想4.3.1復(fù)合梯形公式將區(qū)間劃分為等分，分點在每個子區(qū)間上采用梯形公式把積分區(qū)間分成若干子區(qū)間(通常是等分)，再在每個子區(qū)間上用低階求積公式，然后把他們加起來作為整個區(qū)間上的積分，目的是提高精度.(3.1)10/23/202330數(shù)值積分與數(shù)值微分復(fù)合梯形公式(3.2)由由于,且所以使復(fù)合梯形公式的截斷誤差余項(3.3)10/23/202331數(shù)值積分與數(shù)值微分當時有收斂另一方面設(shè)，可得其中定積分與區(qū)間分法和的取法無關(guān)的求積系數(shù)為正。復(fù)合梯形公式穩(wěn)定復(fù)合梯形公式的收斂性10/23/202332數(shù)值積分與數(shù)值微分復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形公式的幾何意義小梯形面積之和近似-10/23/202333數(shù)值積分與數(shù)值微分4.3.2復(fù)合辛普森求積公式將區(qū)間分為等分，在每個子區(qū)間上采用辛普森公式，若記，則得(3.4)復(fù)合辛普森公式(3.5)10/23/202334數(shù)值積分與數(shù)值微分由復(fù)合辛普森公式的截斷誤差設(shè)時，(3.6)有收斂類似地，只要就有計算穩(wěn)定10/23/202335數(shù)值積分與數(shù)值微分例6

對于函數(shù)，給出的函數(shù)表(見表4-2)，試用復(fù)合梯形公式及復(fù)合辛普森公式計算積分并估計誤差.解：復(fù)合梯形將積分區(qū)間劃分為8等分，而如果將分為4等分，復(fù)合辛普森公式

計算量基本相同積分的準確值2位有效數(shù)字，6位有效數(shù)字.，然而精度卻差別很大.10/23/202336數(shù)值積分與數(shù)值微分誤差估計復(fù)合梯形公式誤差復(fù)合辛普森公式誤差10/23/202337數(shù)值積分與數(shù)值微分例7

計算積分若用復(fù)合梯形公式，問區(qū)間應(yīng)分多少等份才能使誤差不超過，若改用復(fù)合辛普森公式，要達到同樣的精度，區(qū)間應(yīng)分多少等份？本題要根據(jù)余項公式求截斷誤差應(yīng)滿足的精度.由復(fù)合梯形公式的余項公式得誤差的上界為由于解：因此有，可取，即將區(qū)間213等份，即可使誤差不超過若采用復(fù)合辛普森公式計算積分，則由余項公式，要滿足精度要求，必須使10/23/202338數(shù)值積分與數(shù)值微分由此得可取，即用的復(fù)合辛普森公式計算即可達到精度要求，此時區(qū)間實際上應(yīng)分為8等份.從這個例子可以看出，為達到同樣的精度，復(fù)合辛普森公式只需計算9個函數(shù)值，而復(fù)合梯形公式則需214個函數(shù)值，工作量相差近24倍.10/23/202339數(shù)值積分與數(shù)值微分復(fù)合Simpson公式復(fù)合Simpson公式的幾何意義小拋物面積之和近似-10/23/202340數(shù)值積分與數(shù)值微分（1）使用復(fù)化梯形公式、Simpson公式，首先要確定步長；（2）而步長要根據(jù)余項確定，這就涉及到高階導(dǎo)數(shù)的估計；（3）高階導(dǎo)數(shù)的估計一般比較困難，且估計值往往偏大；（4）計算機上實現(xiàn)起來不方便，通常采用“事后估計法”。注意事項：10/23/202341數(shù)值積分與數(shù)值微分4.4龍貝格求積公式4.4.1梯形法的遞推化變步長復(fù)合求積公式的思想將積分區(qū)間逐次分半，建立遞推公式計算，直到滿足精度要求.變步長復(fù)合梯形公式逐次分半算法直到滿足精度要求為止。10/23/202342數(shù)值積分與數(shù)值微分設(shè)將區(qū)間分為等分，共有個分點，如果將求積區(qū)間再二分一次，則分點增至個，每個子區(qū)間經(jīng)過二分增加了一個分點用復(fù)合梯形公式求該子區(qū)間上的積分值復(fù)合梯形遞推公式(4.1)實際計算時的遞推公式直到為止，作為積分的近似值.10/23/202343數(shù)值積分與數(shù)值微分上述條件滿足，程序終止；否則，繼續(xù)分半計算。終止條件由復(fù)合梯形公式的余項知變化不大時由此得到近似關(guān)系式誤差控制條件10/23/202344數(shù)值積分與數(shù)值微分逐次分半的復(fù)合梯形遞推公式10/23/202345數(shù)值積分與數(shù)值微分解例7計算積分值定義它在的值而梯形公式先對整個區(qū)間使用梯形公式.對于函數(shù)將區(qū)間二等分，求出中點的函數(shù)值利用遞推公式(4.1)進一步二分求積區(qū)間，并計算新分點上的函數(shù)值再利用式(4.1)10/23/202346數(shù)值積分與數(shù)值微分這樣不斷二分下去，計算結(jié)果見下表.它表明用復(fù)化梯形公式計算積分要達到7位有效數(shù)字的精度需要二分區(qū)間10次，即要有分點1025個，計算量很大.10/23/202347數(shù)值積分與數(shù)值微分變步長復(fù)合辛普森公式實際計算過程：利用復(fù)合梯形公式前后兩次積分近似值和，按照(＊)式作出的線性組合得到了具有更高精度的積分值。印象：(＊)10/23/202348數(shù)值積分與數(shù)值微分4.4.2外推技巧當分為等份時，有記當區(qū)間分為等份時，則有梯形公式余項的級數(shù)形式定理4

設(shè)則有

(4.2)其中系數(shù)與無關(guān).定理4表明是階。10/23/202349數(shù)值積分與數(shù)值微分(4.3)記(4.4)這里是與無關(guān).其誤差階為。在(4.2)中，若用代替，有外推算法在數(shù)值積分中的應(yīng)用將計算的近似值的誤差階由提高到的方法稱為外推算法，也稱為(Richardson)外推算法.類似地(4.5)10/23/202350數(shù)值積分與數(shù)值微分(4.6)它就是把區(qū)間分為個子區(qū)間的復(fù)合柯特斯公式，，它的精度為由辛普森法二分前后的兩個積分值與組合得到(4.7)(4.8)利用外推技巧還可得到逼近階為的算法公式(4.9)余項(4.10)記遞推公式10/23/202351數(shù)值積分與數(shù)值微分10/23/202352數(shù)值積分與數(shù)值微分T0(k)

：區(qū)間2k等分的復(fù)合梯形公式T1(k)

：區(qū)間2k等分的復(fù)合辛普森公式T2(k)

：區(qū)間2k等分的復(fù)合柯特斯公式T3(k)

：區(qū)間2k等分的復(fù)合龍貝格公式一般地10/23/202353數(shù)值積分與數(shù)值微分公式4.4.3龍貝格算法

(1)取令

(2)求梯形值即按遞推公式(4.1)計算

(3)求加速值，按公式(4.11)逐個求出T表(見表4-4)的第行其余各元素求

(4)若(預(yù)先給定的精度)，則終止計算，并取否則令轉(zhuǎn)(2)繼續(xù)計算.（4.11）10/23/202354數(shù)值積分與數(shù)值微分

可以證明，如果充分光滑，那么T表每一列的元素及對角線元素均收斂到所求的積分值，即對于不充分光滑的函數(shù)也可用龍貝格算法計算，只是收斂慢一些，這時也可以直接使用復(fù)合辛普森公式計算.10/23/202355數(shù)值積分與數(shù)值微分例8

用龍貝格算法計算積分的近似值.外推3次解k01230.34657360.37601940.38699950.38564390.38583470.38625950.38629200.38628780.38629420.386292010/23/202356數(shù)值積分與數(shù)值微分解在上僅是一次連續(xù)可微，

例9

用龍貝格算法計算積分用龍貝格算法計算結(jié)果見表4-5.從表中看到用龍貝格算到的精度與復(fù)合辛普森求積精度相當.這里的精確值為10/23/202357數(shù)值積分與數(shù)值微分4.5自適應(yīng)積分方法

(了解)復(fù)合求積方法適合用于計算被積函數(shù)變化不太大的積分.如果在求積區(qū)間中被積函數(shù)變化很大，有的部分函數(shù)值變化劇烈，有的部分變化平緩，這時將區(qū)間等分用復(fù)合求積公式計算工作量會很大.要達到誤差要求對變化劇烈部分必須將區(qū)間細分，而平緩部分則可用大步長，即針對被積函數(shù)在區(qū)間上不同情形采用不同的步長，使得在滿足精度前提下積分計算的工作量盡可能小.針對這類問題的算法技巧是在不同區(qū)間上預(yù)測被積函數(shù)變化的劇烈程度確定相應(yīng)的步長.自適應(yīng)積分方法以常用的復(fù)合辛普森公式為例說明方法的基本思想.10/23/202358數(shù)值積分與數(shù)值微分例10

計算積分若用復(fù)合辛普森法，計算結(jié)果見表4-6.（此處即為公式中的，積分精確值為4）計算到為止，此時的近似值，若再用龍貝格法則得到整個計算是將做32等分，即需要計算33個的值.方法一10/23/202359數(shù)值積分與數(shù)值微分0.210.60.80.4方法二當時有自適應(yīng)積分法故要對及兩區(qū)間再用做積分.10/23/202360數(shù)值積分與數(shù)值微分先計算的積分故在區(qū)間的積分值為0.210.60.80.40.30.5下面計算子區(qū)間的積分，其中10/23/202361數(shù)值積分與數(shù)值微分而對可求得因此還要分別計算及的積分.而當時可求得故可得的積分近似0.210.60.80.30.410/23/202362數(shù)值積分與數(shù)值微分而對區(qū)間，其誤差不小于0.005，故還要分別計算及的積分，且小于允許誤差0.0025，故有其中，當可求得最后子區(qū)間的積分可檢驗出它的誤差小于0.0025，且可得0.210.60.80.40.30.5計算17個的值.10/23/202363數(shù)值積分與數(shù)值微分其中設(shè)給定精度要求，計算積分的近似值.（5.1）若把區(qū)間對分，步長，在每個小區(qū)間上用辛普森公式，則得（5.2）先取步長，應(yīng)用辛普森公式有其中10/23/202364數(shù)值積分與數(shù)值微分(5.2)即為（5.2）’與(5.1)比較，若在上變化不大，可假定從而可得與(5.2)比較，則得這里.如果有則可得到（5.3）此時可取作為的近似，則可達到給定的誤差精度.10/23/202365數(shù)值積分與數(shù)值微分若不等式(5.3)不成立，則應(yīng)分別對子區(qū)間及再用辛普森公式，此時步長,得到及.對滿足要求的區(qū)間不再細分，對不滿足要求的還要繼續(xù)上述過程，直到滿足要求為止，最后應(yīng)用龍貝格法求出相應(yīng)區(qū)間積分的近似值.只要分別考察及是否成立.10/23/202366數(shù)值積分與數(shù)值微分前面介紹的n+1個節(jié)點的Newton-Cotes求積公式，其特征是節(jié)點是等距的。這種特點使得求積公式便于構(gòu)造，復(fù)合求積公式易于形成。但同時也限制了公式的精度。n是偶數(shù)時，代數(shù)精度為n+1，n是奇數(shù)時，代數(shù)精度為n

。我們知道n+1個節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精確度不低于n

。設(shè)想：能不能在區(qū)間[a,b]上適當選擇n+1個節(jié)點x0x1,x2,……,xn

,使插值求積公式的代數(shù)精度高于n？答案是肯定的，適當選擇節(jié)點，可使公式的精度最高達到2n+1，這就是本節(jié)所要介紹的高斯求積公式。10/23/202367數(shù)值積分與數(shù)值微分4.6.1一般理論當為等距節(jié)點時得到的插值求積公式其代數(shù)精度至少為次.求積公式的代數(shù)精度是否會提高？4.6高斯求積公式例10

求積公式（6.1）試確定節(jié)點及和系數(shù)，使其具有近可能高的代數(shù)精度.解令公式(6.1)對于準確成立，得（6.2）引例10/23/202368數(shù)值積分與數(shù)值微分由此得代入前式由此得出與異號，即，從而有于是可取.再由第1式得，于是有（6.3）當時，(6.3)式兩端分別為及，(6.3)式對不精確成立，故公式(6.3)的代數(shù)精度為3.一般節(jié)點的求積公式的代數(shù)精度最高為次.10/23/202369數(shù)值積分與數(shù)值微分為權(quán)函數(shù)（6.4）為不依賴于的求積系數(shù).為求積節(jié)點，可適當選取及使(6.4)具有次代數(shù)精度.定義4

如果求積公式具有次代數(shù)精度，則稱其節(jié)點為高斯點，相應(yīng)公式稱為高斯求積公式.（6.5）高斯求積公式的概念如何構(gòu)造高斯求積公式？10/23/202370數(shù)值積分與數(shù)值微分如果確定了節(jié)點，則(6.5)求是關(guān)于的線性方程組.如何選取節(jié)點才能使求積公式具有次代數(shù)精度.高斯求積節(jié)點的選取設(shè)上的個節(jié)點的拉格朗日插值多項式為其中則10/23/202371數(shù)值積分與數(shù)值微分其中余項顯然當取為時有，此時有即求積公式至少具有次代數(shù)精度.

如何選取節(jié)點才能使求積公式精度提高到次?要求為次多項式時而當時，為次多項式.若要求對，積分10/23/202372數(shù)值積分與數(shù)值微分即相當于要求與每個在上帶權(quán)正交.也就是以節(jié)點為零點的次多項式是上帶權(quán)的正交多項式，故有定理5

插值型求積公式的節(jié)點是高斯點的充分必要條件是以這些節(jié)點為零點的多項式與任何次數(shù)不超過的多項式帶權(quán)正交，(6.7)即10/23/202373數(shù)值積分與數(shù)值微分證明設(shè)則必要性.

是高斯點，因此，如果即有精確成立，則求積公式對于(6.8)因故充分性.用除，記商為，余式為，即，其中.對于由由于求積公式(6.4)是插值型的，它對于是精確的，10/23/202374數(shù)值積分與數(shù)值微分即又知從而因此，為高斯點.

定理表明在上帶權(quán)的次正交多項式的零點就是求積公式的高斯點.利用正交多項式構(gòu)造高斯求積公式的基本步驟：1、以次正交多項式的零點作為積分點（高斯點）.2、利用解此方程則得10/23/202375數(shù)值積分與數(shù)值微分或(2)由構(gòu)造Lagrange插值多項式求出求積系數(shù)

例11

確定求積公式

的系數(shù)及節(jié)點和，使它具有最高的代數(shù)精度.解具有最高代數(shù)精度的求積公式是高斯型求積公式，其節(jié)點為關(guān)于權(quán)函數(shù)的正交多項式零點及,設(shè)得由正交性知與1及帶權(quán)正交，即得10/23/202376數(shù)值積分與數(shù)值微分由此解得即令，則得由于兩個節(jié)點的高斯求積公式具有3次代數(shù)精度，故公式對精確成立，即當時當時由此解出10/23/202377數(shù)值積分與數(shù)值微分利用在節(jié)點的埃爾米特插值于是即(6.9)其中右端第一項積分對次多項式精確成立，故(6.10)高斯求積公式的余項10/23/202378數(shù)值積分與數(shù)值微分高斯求積公式的穩(wěn)定性與收斂性定理6

高斯求積公式的系數(shù)全是正的.考察它是次多項式，因而是次多項式，注意到故上式右端實際上即等于從而證明得證.推論

高斯求積公式是穩(wěn)定的.定理7

設(shè)則高斯求積公式(6.4)收斂，即10/23/202379數(shù)值積分與數(shù)值微分4.6.2高斯-勒讓德求積公式由于勒讓德多項式是區(qū)間上的正交多項式，勒讓德多項式的零點區(qū)間為則得公式若取權(quán)函數(shù)(6.11)常用的高斯求積公式求積公式(6.11)的高斯點:一點高斯-勒讓德求積公式中矩形公式兩點高斯-勒讓德求積公式10/23/202380數(shù)值積分與數(shù)值微分三點高斯-勒讓德求積公式表4-7列出高斯-勒讓德求積公式的節(jié)點和系數(shù).高斯-勒讓德求積公式的余項估計由這里是最高項系數(shù)為1的勒讓德多項式.又余項得(6.12)10/23/202381數(shù)值積分與數(shù)值微分一般區(qū)間的Gauss-Legendre求積公式當積分區(qū)間是時，做變換可將化為,(6.13)從而可使用高斯-勒讓德求積公式計算.例12

用4點()的高斯-勒讓德求積公式計算

解先將區(qū)間化為，得

根據(jù)表4-7中的節(jié)點及系數(shù)值可求得10/23/202382數(shù)值積分與數(shù)值微分4.6.3高斯-切比雪夫求積公式若且取權(quán)函數(shù)有(6.14)高斯點是次切比雪夫多項式的零點，即系數(shù)使用時將個節(jié)點公式改為個節(jié)點，由(6.16)(6.15)10/23/202383數(shù)值積分與數(shù)值微分計算奇異積分.高斯-切比雪夫求積公式的應(yīng)用—例13

用5點()的高斯-切比雪夫求積公式計算積分

解由這里當時由公式可得得10/23/202384數(shù)值積分與數(shù)值微分4.6.4無窮區(qū)間的高斯型求積公式(了解)Gauss-Laguerre公式（6.17）節(jié)點為次拉蓋爾多項式的零點，系數(shù)為（6.18）余項其節(jié)點系數(shù)可見表4-8（6.19）10/23/202385數(shù)值積分與數(shù)值微分例14

用高斯-拉蓋爾求積公式計算如下積分的近似值。取，查表得.

故若取，可得若取，可得而準確值，它表明取的求積公式已相當精確.解10/23/202386數(shù)值積分與數(shù)值微分高斯-埃爾米特求積公式的節(jié)點和系數(shù)可見表4-9.（6.20）節(jié)點為次埃爾米特多項式的零點，求積系數(shù)為（6.21）余項（6.22）Gauss-Hermite公式10/23/202387數(shù)值積分與數(shù)值微分例15

用兩個節(jié)點的高斯-埃爾米特求積公式計算積分于是先求節(jié)點，由，其零點為，由(6.21)可求得高斯型求積公式的代數(shù)精度為3，故對求積公式精確成立，從而得解10/23/202388數(shù)值積分與數(shù)值微分4.7多重積分考慮二重積分它是曲面與平面區(qū)域圍成的體積，對于矩形區(qū)域，化成累次積分（7.1）分別將分為等份，步長令則復(fù)合辛普森求矩形域上的二重積分10/23/202389數(shù)值積分與數(shù)值微分從而得用復(fù)合辛普森公式分別計算求出積分值.例14

用復(fù)合辛普森公式求如下二重積分的近似值：例15

用的高斯求積公式求例14中的二重積分.10/23/202390數(shù)值積分與數(shù)值微分取，即，得例14

用復(fù)合辛普森公式求如下二重積分的近似值：解此積分的真值是（保留小數(shù)后10位）.10/23/202391數(shù)值積分與數(shù)值微分或等價于于是例15

用的高斯求積公式求例14中的二重積分.

先將區(qū)域變換為區(qū)域，其中對于取時的高斯求積公式節(jié)點及系數(shù)，即解10/23/202392數(shù)值積分與數(shù)值微分用的高斯求積公式計算積分可得這里只需計算9個函數(shù)值.而例14中需求15個函數(shù)值，這里的精度也比例14高，達到8位有效數(shù)字.10/23/202393數(shù)值積分與數(shù)值微分非矩形區(qū)域的二重積分用辛普森公式可轉(zhuǎn)化為其中.然后再對每個積分使用辛普森公式，則可求得積分的近似值.10/23/202394數(shù)值積分與數(shù)值微分4.8數(shù)值微分數(shù)值微分——用函數(shù)值的線性組合近似函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值.

在實際問題中，往往會遇到某函數(shù)f(x)是用表格表示的,用通常的導(dǎo)數(shù)定義無法求導(dǎo),因此要尋求其他方法近似求導(dǎo)。常用的數(shù)值微分方法有:一、運用差商求數(shù)值微分二、運用插值函數(shù)求數(shù)值微分三、運用樣條插值函數(shù)求數(shù)值微分四、運用外推算法求數(shù)值微分10/23/202395數(shù)值積分與數(shù)值微分導(dǎo)數(shù)定義其中為一增量，稱為步長.

（8.1）中點公式4.8.1中點方法與誤差分析最簡單直接的數(shù)值微分方法就是用差商代替微商。差商近似導(dǎo)數(shù)數(shù)值微分公式的導(dǎo)出及估計誤差利用Taylor展開10/23/202396數(shù)值積分與數(shù)值微分中點公式步長的選取截斷誤差其中（8.2）步長越小，計算結(jié)果越準確.結(jié)論舍入誤差按中點公式，當很小時，因與很接近，直接相減會造成有效數(shù)字的嚴重損失.因此，從舍入誤差的角度來看，步長是不宜太小的.10/23/202397數(shù)值積分與數(shù)值微分

例用中點公式求在處的一階導(dǎo)數(shù)取4位數(shù)字計算.結(jié)果見表4-10(導(dǎo)數(shù)的準確值).逼近效果最好則計算的舍入誤差上界為這是因為當及分別有舍入誤差及若令它表明越小，舍入誤差越大，故它是病態(tài)的.10/23/202398數(shù)值積分與數(shù)值微分用中點公式計算的誤差上界為要使誤差最小，步長應(yīng)使，由可得如果，有；如果，有.由此得出時最小.假定，則.與表4-10基本相符.當時，10/23/202399數(shù)值積分與數(shù)值微分4.8.2插值型的求導(dǎo)公式列表函數(shù)我們?nèi)〉闹底鳛榈慕浦?，這樣建立的數(shù)值公式

（8.3）插值型的求導(dǎo)公式

設(shè)Pn(x)是f(x)的過點{x0，x1，x2，…xn}[a，b]的n次插值多項式，由Lagrange插值余項,有對任意給定的x[a，b]，有:余項分析式中誤差無法預(yù)估.對隨意給出的點，10/23/2023100數(shù)值積分與數(shù)值微分如果限定求某個節(jié)點上的導(dǎo)數(shù)值，那么變?yōu)榱?，?.4）結(jié)論：插值型求導(dǎo)公式常用于求節(jié)點處的導(dǎo)數(shù)值。余項為假定所給節(jié)點是等距的1.兩點公式設(shè)已給出兩個節(jié)點上的函數(shù)值上式兩端求導(dǎo)，記，有線性插值求導(dǎo)公式：帶余項的兩點公式10/23/2023101數(shù)值積分與數(shù)值微分2.三點公式設(shè)已給出三個節(jié)點上的函數(shù)值，二次插值令上式為兩端對求導(dǎo)，有（8.5）式中撇號（′）表示對變量求導(dǎo)數(shù).分別取得到三種三點公式：10/23/2023102數(shù)值積分與數(shù)值微分帶余項的三點求導(dǎo)公式（8.6）中點公式用插值多項式作為的近似函數(shù)，還可以建立高階數(shù)值微分公式：（8.5）有帶余項的二階三點公式：（8.7）10/23/2023103數(shù)值積分與數(shù)值微分

4.8.3三次樣條求導(dǎo)三次樣條函數(shù)與，不但函數(shù)值很接近，而且導(dǎo)數(shù)值也很接近，并有（8.8）因此利用三次樣條函數(shù)得到這里為一階均差.其誤差10/23/2023104數(shù)值積分與數(shù)值微分4.8.4數(shù)值微分的外推算法中點公式對在點做泰勒級數(shù)展開有其中