概率分布與統(tǒng)計(jì)圖表

2023/10/231

第二講概率分布與統(tǒng)計(jì)圖表

2023/10/232

一、正態(tài)分布的概念

第一節(jié)正態(tài)分布

正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布，若指標(biāo)X的頻率分布曲線對(duì)應(yīng)于數(shù)學(xué)上的正態(tài)分布曲線，則稱該指標(biāo)服從正態(tài)分布。2023/10/2332023/10/234正態(tài)分布的概率密度函數(shù)（即縱向的曲線高度）

-∞＜X＜+∞

圖3.2正態(tài)曲線位置、形狀與μ、σ的關(guān)系2023/10/235

均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布，這種正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。-∞＜Z＜+∞

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)：

對(duì)于任意一個(gè)服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量，可作如下的標(biāo)準(zhǔn)化變換，也稱Z變換，2023/10/236正態(tài)分布的特征

1.關(guān)于對(duì)稱。即正態(tài)分布以均數(shù)為中心，左右對(duì)稱。

2.

在處取得概率密度函數(shù)的最大值，在處有拐點(diǎn)，表現(xiàn)為鐘形曲線。即正態(tài)曲線在橫軸上方均數(shù)處最高。

2023/10/237

3.

正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ。μ是位置參數(shù)，σ是變異度參數(shù)(形狀參數(shù))。常用N(μ,σ2)表示均數(shù)為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布；用N(0,1)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

4.正態(tài)曲線下面積分布有一定規(guī)律。橫軸上正態(tài)曲線下的面積等于1（也常寫作100%）。

2023/10/238

二、正態(tài)曲線下面積的分布規(guī)律正態(tài)方程的積分式(分布函數(shù))：

F(X)為正態(tài)變量X的累計(jì)分布函數(shù)，反映正態(tài)曲線下，橫軸尺度自－∞到X的面積，即下側(cè)累計(jì)面積。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布方程積分式(分布函數(shù))：Φ(Z)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Z的累計(jì)分布函數(shù)，反映標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下，橫軸尺度自－∞到Z的面積，即下側(cè)累計(jì)面積。2023/10/239標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積概率2023/10/2310

用查表代替計(jì)算必須注意：

1）表中曲線下面積為－∞到Z的面積。

2）當(dāng)μ,σ和X已知時(shí)，先求出Z值，

再用Z值查表，得所求區(qū)間占總面積的比例。當(dāng)μ和σ未知時(shí)，要用樣本均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差S來估計(jì)Z值。

3）曲線下對(duì)稱于0的區(qū)間，面積相等。

4）曲線下橫軸上的面積為1（即100%）。

三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表2023/10/2311

正態(tài)分布是一種對(duì)稱分布，其對(duì)稱軸為直線X=μ，即均數(shù)位置，理論上：

μ±1σ范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的68.27%

μ±1.96σ范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的95%

μ±2.58σ范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的99%

實(shí)際應(yīng)用中：

±1S范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的68.27%

±1.96S范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的95%

±2.58S范圍內(nèi)曲線下的面積占總面積的99%

2023/10/2312正態(tài)分布曲線下的面積

μ±σ0.6827μ±1.64σ0.9090μ±1.96σ0.9500μ±2.58σ

0.99002023/10/2313標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的μ=0，σ=1，則μ±σ相當(dāng)于區(qū)間(-1，1)，μ±1.96σ相當(dāng)于區(qū)間(-1.96，1.96),μ±2.58σ的區(qū)間相當(dāng)于區(qū)間(-2.58，2.58)。區(qū)間(-1,1)的面積：1-2Φ(-1)=1-2×0.1587=0.6826=68.26%

區(qū)間(-1.96,1.96)的面積：1-2Φ(-1.96)=1-2×0.0250=0.9500=95.00%

區(qū)間(-2.58,2.58)的面積：1-2Φ(-2.58)=1-2×0.0049=0.9902=99.02%

2023/10/2314

正態(tài)曲線下面積對(duì)稱，則區(qū)間（1.96，∞）的面積也是0.025。Z取值于（-1.96，1.96）的概率為1-2×0.025=0.95，即X取值在區(qū)間上的概率為95%。

例1X服從均數(shù)為μ

，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布，試估計(jì)（1）X取值在區(qū)間上的概率；（2）X取值在區(qū)間上的概率；先做標(biāo)準(zhǔn)化變換:2023/10/2315例2已知某地1986年120名8歲男童身高均數(shù)，S=4.79cm，估計(jì)(1)該地8歲男孩身高在130cm以上者占該地8歲男孩總數(shù)的百分比；(2)身高界于120cm~128cm者占該地8歲男孩總數(shù)的比例；(3)該地80%男孩身高集中在哪個(gè)范圍？先做標(biāo)準(zhǔn)化變化:

理論上該地8歲男孩身高在130cm以上者占該地8歲男孩總數(shù)的7.21%。2023/10/2316（2）2023/10/2317（3）查附表1，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下左側(cè)面積為0.10所對(duì)應(yīng)的Z值為-1.28，所以80%的8歲男孩身高值集中在區(qū)間內(nèi)，即116.9cm~129.2cm查附表，求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下的面積。（-∞，-1.96），（-∞，-2.58），（-1.96，1.96），（-1，1），（-∞，0.00）。練習(xí)：2023/10/2319（一）制定醫(yī)學(xué)參考值范圍參考值范圍：指特定的“正?！比巳旱慕馄省⑸?、生化、免疫等各種數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍。制定參考值范圍的步驟：

1.選擇足夠數(shù)量的正常人作為調(diào)查對(duì)象。

2.樣本含量足夠大。

3.確定取單側(cè)還是取雙側(cè)正常值范圍。

4.選擇適當(dāng)?shù)陌俜纸缦蕖?/p>

5.選擇適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法。四、

正態(tài)分布的應(yīng)用2023/10/2320估計(jì)醫(yī)學(xué)參考值范圍的方法：

1.正態(tài)近似法：適用于正態(tài)分布或近似正態(tài)分布的資料。

2.百分位數(shù)法：適用于偏態(tài)分布資料。過低異常過低異常過高異常過高異常2023/10/2321

例3某地調(diào)查120名健康女性血紅蛋白，直方圖顯示，其分布近似于正態(tài)分布，得均數(shù)為117.4g/L，標(biāo)準(zhǔn)差為10.2g/L，試估計(jì)該地正常女性血紅蛋白的95%醫(yī)學(xué)參考值范圍。

分析：正常人的血紅蛋白過高過低均為異常，要制定雙側(cè)正常值范圍。

該指標(biāo)的95%醫(yī)學(xué)參考值范圍為2023/10/2322

例4某地調(diào)查110名正常成年男子的第一秒肺通氣量，得均數(shù)為4.2L，標(biāo)準(zhǔn)差為0.7L，試估計(jì)該地正常成年男子第一秒肺通氣量的95%參考值范圍。

該地正常成年男子第一秒肺通氣量的95%參考值范圍為：不低于3.052L。分析：正常人的第一秒肺通氣量近似正態(tài)分布，且只以過低為異常，要制定單側(cè)下限。2023/10/2323

例5某年某市調(diào)查了200例正常成人血鉛含量（μg/100g)如下，試估計(jì)該市成人血鉛含量的95%醫(yī)學(xué)參考值范圍。2023/10/2324

分析：血鉛的分布為偏峰分布，且血鉛含量只以過高為異常，要用百分位數(shù)法制定單側(cè)上限。2023/10/2325（二）質(zhì)量控制

為了控制實(shí)驗(yàn)中的檢測(cè)誤差，常用±2S作上下警戒線，以±3S作為上下控制線。這里的2S和3S可視為1.96S和2.58S的約數(shù)。其依據(jù)是正常情況下檢測(cè)誤差是服從正態(tài)分布的。

2023/10/2326判斷異常的8種情況是：有一個(gè)點(diǎn)距中心線的距離超過3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（控制限以外）在中心線的一側(cè)連續(xù)有9個(gè)點(diǎn)連續(xù)6個(gè)點(diǎn)穩(wěn)定地增加或減少連續(xù)14個(gè)點(diǎn)交替上下連續(xù)3個(gè)點(diǎn)中有兩個(gè)點(diǎn)距中心線距離超過2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（警戒限以外）2023/10/2327連續(xù)5個(gè)點(diǎn)中有4個(gè)點(diǎn)距中心線距離超過1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差中心線一側(cè)或兩側(cè)連續(xù)15個(gè)點(diǎn)距中心線距離都在1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差以內(nèi)中心線一側(cè)或兩側(cè)連續(xù)8個(gè)點(diǎn)距中心線距離都超出1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍。2023/10/2328

五、統(tǒng)計(jì)處理方法的理論基礎(chǔ)如統(tǒng)計(jì)描述中計(jì)算算術(shù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、統(tǒng)計(jì)推斷中進(jìn)行總體均數(shù)置信區(qū)間估計(jì)、

t檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)、相關(guān)與回歸等分析2023/10/2329（一）成敗型實(shí)驗(yàn)（Bernoulli實(shí)驗(yàn)）

在醫(yī)學(xué)衛(wèi)生領(lǐng)域的許多實(shí)驗(yàn)或觀察中，人們感興趣的是某事件是否發(fā)生。如用白鼠做某藥物的毒性實(shí)驗(yàn)，關(guān)心的是白鼠是否死亡；某種新療法臨床實(shí)驗(yàn)觀察患者是否治愈；觀察某指標(biāo)的化驗(yàn)結(jié)果是否呈陽性等。將我們關(guān)心的事件A出現(xiàn)稱為成功，不出現(xiàn)稱為失敗，這類試驗(yàn)就稱為成-敗型實(shí)驗(yàn)。第二節(jié)二項(xiàng)分布

一、二項(xiàng)分布的概念與特征2023/10/2330

成-敗型（Bernoulli）實(shí)驗(yàn)序列：滿足以下三個(gè)條件的n次實(shí)驗(yàn)構(gòu)成的序列稱為成-敗型實(shí)驗(yàn)序列。

1）每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果，只能是兩個(gè)互斥的結(jié)果之一（A或非A）。

2)相同的實(shí)驗(yàn)條件下，每次實(shí)驗(yàn)中事件A的發(fā)生具有相同的概率π。（非A的概率為1-π）。實(shí)際工作中要求π是從大量觀察中獲得的較穩(wěn)定的數(shù)值。

3)各次實(shí)驗(yàn)獨(dú)立。各次的實(shí)驗(yàn)結(jié)果互不影響。2023/10/2331（二）二項(xiàng)分布的概率函數(shù)二項(xiàng)分布是指在只能產(chǎn)生兩種可能結(jié)果（如“陽性”或“陰性”）之一的n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)每次試驗(yàn)的“陽性”概率保持不變時(shí)，出現(xiàn)“陽性”的次數(shù)X=0,1,2,…,n的一種概率分布。若從陽性率為π的總體中隨機(jī)抽取大小為n的樣本，則出現(xiàn)“陽性”數(shù)為X的概率分布即呈現(xiàn)二項(xiàng)分布，記作B(n,π)。2023/10/2332舉例設(shè)實(shí)驗(yàn)白鼠共3只，要求它們同種屬、同性別、體重相近，且他們有相同的死亡概率，即事件“白鼠用藥后死亡”為A，相應(yīng)死亡概率為π。記事件“白鼠用藥后不死亡”為，相應(yīng)不死亡概率為1-π。設(shè)實(shí)驗(yàn)后3只白鼠中死亡的白鼠數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2和3，則死亡鼠數(shù)為X的概率分布即表現(xiàn)為二項(xiàng)分布。2023/10/2333獨(dú)立事件的乘法定理互不相容事件的加法定理2023/10/23342023/10/2335

構(gòu)成成-敗型實(shí)驗(yàn)序列的n次實(shí)驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)X的概率分布為：

其中X=0，1，2…，n。

n，π是二項(xiàng)分布的兩個(gè)參數(shù)。

對(duì)于任何二項(xiàng)分布，總有

2023/10/2336例6臨床上用針灸治療某型頭疼，有效的概率為60%，現(xiàn)以該療法治療3例，其中2例有效的概率是多大？分析：治療結(jié)果為有限和無效兩類，每個(gè)患者是否有效不受其他病例的影響，有效概率均為0.6，符合二項(xiàng)分布的條件。2例有效的概率是0.4322023/10/2337有效數(shù)不少于1例的概率為：或2023/10/2338（三）二項(xiàng)分布的特征1.二項(xiàng)分布的圖形特征

n，π是二項(xiàng)分布的兩個(gè)參數(shù)，所以二項(xiàng)分布的形狀取決于n，π?？梢钥闯?，當(dāng)π=0.5時(shí)分布對(duì)稱，近似對(duì)稱分布。當(dāng)π≠0.5時(shí)，分布呈偏態(tài)，特別是n較小時(shí)，π偏離0.5越遠(yuǎn)，分布的對(duì)稱性越差，但只要不接近1和0時(shí)，隨著n的增大，分布逐漸逼近正態(tài)。因此，π或1-π不太小，而n足夠大，我們常用正態(tài)近似的原理來處理二項(xiàng)分布的問題。2023/10/23392023/10/23402023/10/2341

2.二項(xiàng)分布的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)于任何一個(gè)二項(xiàng)分布B(n,π)，如果每次試驗(yàn)出現(xiàn)“陽性”結(jié)果的概率均為π

，則在n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，出現(xiàn)陽性次數(shù)X的總體均數(shù)為方差為標(biāo)準(zhǔn)差為2023/10/2342例7實(shí)驗(yàn)白鼠3只，白鼠用藥后死亡的死亡概率π=0.6，則3只白鼠中死亡鼠數(shù)X的總體均數(shù)

=3×0.6=1.8（只）方差為標(biāo)準(zhǔn)差為2023/10/2343

如果以率表示，將陽性結(jié)果的頻率記為，則p的總體均數(shù)總體方差為總體標(biāo)準(zhǔn)差為式中是頻率p的標(biāo)準(zhǔn)誤，反映陽性頻率的抽樣誤差的大小。2023/10/2344例8如果某地鉤蟲感染率為6.7%,隨機(jī)觀察當(dāng)?shù)?50人,樣本鉤蟲感染率為p,求p的抽樣誤差。2023/10/2345

二、二項(xiàng)分布的應(yīng)用（一）

概率估計(jì)例9如果某地鉤蟲感染率為13%，隨機(jī)觀察當(dāng)?shù)?50人，其中有10人感染鉤蟲的概率有多大?2023/10/2346

(二)單側(cè)累計(jì)概率計(jì)算

二項(xiàng)分布出現(xiàn)陽性次數(shù)至少為k次的概率為陽性次數(shù)至多為k次的概率為2023/10/2347例10如果某地鉤蟲感染率為13%，隨機(jī)觀察當(dāng)?shù)?50人，其中至多有2人感染鉤蟲的概率有多大?至少有2人感染鉤蟲的概率有多大?至少有20人感染鉤蟲的概率有多大?至多有2名感染的概率為:2023/10/2348至少有2名感染的概率為:至少有20名感染的概率為:2023/10/2349

第三節(jié)Poisson分布的概念與特征

一、Poisson分布的概念

Poisson分布也是一種離散型分布，用以描述罕見事件發(fā)生次數(shù)的概率分布。Poisson分布也可用于研究單位時(shí)間內(nèi)(或單位空間、容積內(nèi))某罕見事件發(fā)生次數(shù)的分布，如分析在單位面積或容積內(nèi)細(xì)菌數(shù)的分布，在單位空間中某種昆蟲或野生動(dòng)物數(shù)的分布，粉塵在觀察容積內(nèi)的分布，放射性物質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)放射出質(zhì)點(diǎn)數(shù)的分布等。Poisson分布一般記作。2023/10/2350

Poisson分布可以看作是發(fā)生的概率π

很小，而觀察例數(shù)很大時(shí)的二項(xiàng)分布。除要符合二項(xiàng)分布的三個(gè)基本條件外，Poisson分布還要求π或1-π接近于0和1。有些情況π和n都難以確定，只能以觀察單位(時(shí)間、空間、容積、面積)內(nèi)某種稀有事件的發(fā)生數(shù)X等來表示，如每毫升水中大腸桿菌數(shù)，每個(gè)觀察單位中粉塵的計(jì)數(shù)，單位時(shí)間內(nèi)放射性質(zhì)點(diǎn)數(shù)等，只要細(xì)菌、粉塵、放射性脈沖在觀察時(shí)間內(nèi)滿足以上條件，就可以近似看為Poisson分布。Poisson分布作為二項(xiàng)分布的一種極限情況2023/10/2351

二、Poisson分布的特征1.Poisson分布的概率函數(shù)為:式中為Poisson分布的總體均數(shù)，X為觀察單位時(shí)間內(nèi)某稀有事件的發(fā)生次數(shù)；e為自然對(duì)數(shù)的底，為常數(shù)，約等于2.71828。2023/10/2352

如某地20年間共出生短肢畸形兒10名，平均每年0.5名。就可用代入Poisson分布的概率函數(shù)來估計(jì)該地每年出生此類短肢畸形兒的人數(shù)為0，1，2…的概率P(X)。2023/10/23532023/10/23542.Poisson分布的特性：（1）Poisson分布的的總體均數(shù)與總體方差相等，均為。（2）Poisson分布的觀察結(jié)果有可加性。即對(duì)于服從Poisson分布的m個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2…Xm，它們之和也服從Poisson分布，其均數(shù)為這m個(gè)隨機(jī)變量的均數(shù)之和。2023/10/2355

從總體均數(shù)為的服從Poisson分布總體中隨機(jī)抽出一份樣本，其中稀有事件的發(fā)生次數(shù)為X1，再獨(dú)立地從總體均數(shù)為的Poisson分布總體中隨機(jī)抽出另一份樣本，其中稀有事件的發(fā)生次數(shù)為X2，則他們的合計(jì)發(fā)生數(shù)T=X1+X2也服從Poisson分布，總體均數(shù)為。2023/10/2356Poisson分布的這些性質(zhì)還可以推廣到多個(gè)Poisson分布的情形。例如，從同一水源獨(dú)立地取水樣5次，進(jìn)行細(xì)菌培養(yǎng)，每次水樣中的菌落數(shù)分別為，均服從Poisson分布，分別記為，把5份水樣混合，其合計(jì)菌落數(shù)也服從Poisson分布，記為，其均數(shù)為。

醫(yī)學(xué)研究中常利用Poisson分布的可加性，將小的觀察單位合并以增大發(fā)生次數(shù)X，以便用正態(tài)近似法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。2