基于有限元的黏彈性流體環(huán)空內(nèi)流動(dòng)速度分析

基于有限元的黏彈性流體環(huán)空內(nèi)流動(dòng)速度分析

由內(nèi)、外兩個(gè)壁面組成的環(huán)形通道（環(huán)空）是該工程中常見(jiàn)的流量通道之一。研究了牛頓流和非牛頓流的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這些研究工作大多是在環(huán)空內(nèi)、外壁面相對(duì)靜止且流動(dòng)處于穩(wěn)定狀態(tài)的條件下進(jìn)行的,但是工程中還會(huì)遇到流體在內(nèi)壁面沿軸向不斷地做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的環(huán)空內(nèi)流動(dòng)時(shí)的情形,如采油工程中作為內(nèi)壁面的抽油桿在生產(chǎn)過(guò)程中就是沿軸向不斷地做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。由于受內(nèi)壁面往復(fù)運(yùn)動(dòng)的影響,此時(shí)環(huán)空內(nèi)的流動(dòng)是非定常的,這增加了流動(dòng)規(guī)律研究的復(fù)雜性。部分學(xué)者對(duì)非牛頓流體在內(nèi)壁面沿軸向做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的偏心環(huán)空內(nèi)的流動(dòng)規(guī)律進(jìn)行了數(shù)值分析。筆者采用理論分析的方法研究Maxwell型黏彈性流體在內(nèi)壁面沿軸向做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的同心環(huán)空內(nèi)的流動(dòng)規(guī)律。1本構(gòu)方程的材料和基本假設(shè)在如圖1所示的內(nèi)壁面半徑為Ri、外壁面半徑為Ro的同心環(huán)空內(nèi)充滿了物性參數(shù)為常數(shù)的不可壓縮黏彈性流體,初始時(shí)刻突然受到恒定壓力梯度dp/dz的作用,與此同時(shí)內(nèi)壁面以正弦規(guī)律沿軸向開始做周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)。作假設(shè)如下:(1)忽略黏性耗散效應(yīng);(2)忽略入口段效應(yīng),流動(dòng)已充分發(fā)展,即環(huán)空內(nèi)具有如下形式的速度場(chǎng):這樣,柱坐標(biāo)系下環(huán)空內(nèi)流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程可簡(jiǎn)化為ρ?u?t=1r??r(rτrz)+Gz.(2)其中式中,τrz為剪切應(yīng)力,Pa;Gz為環(huán)空內(nèi)的壓力梯度,Pa/m。由于Oldroyd速率型本構(gòu)方程中的上隨體Maxwell模型給出的法向應(yīng)力差基本符合試驗(yàn)結(jié)果,因此這里采用上隨體Maxwell模型作為黏彈性流體的本構(gòu)方程,表示為τij+λ?τij=μ0Aij,其中?τij=?τij?t+uk?τij?xk-τkj?ui?xk-τik?uj?xk.式中,λ為黏彈性流體的松弛時(shí)間,s;μ0為流體的零剪切黏度,Pa·s;τij為偏應(yīng)力張量的逆變分量;Aij為一階Rinlin-Erickson張量的逆變分量;?τij為上隨體導(dǎo)數(shù)。根據(jù)式(1)中的速度場(chǎng),柱坐標(biāo)系下本構(gòu)方程中的τrz可表示為τrz+λ?τrz?t=μ0?u?r.(3)由運(yùn)動(dòng)方程(2)和本構(gòu)方程(3)可以得到ρ(λ?2u?t2+?u?t)=μ0(?2u?r2+1r?u?r)+Gz.(4)方程(4)應(yīng)滿足的定解條件為初始條件:t=0時(shí),u=0;邊界條件:在內(nèi)壁面r=Ri處,u=u0sin(ωt);在外壁面r=Ro處,u=0.式中,u0為內(nèi)壁面做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的振幅,m/s;ω為運(yùn)動(dòng)的頻率,s-1。式(4)就是黏彈性流體在內(nèi)壁面沿軸向做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的環(huán)空內(nèi)流動(dòng)時(shí)的數(shù)學(xué)模型。2基于bessl方程的正絕為便于分析,定義如下的無(wú)量綱參數(shù):ˉr=rRo,ˉt=tΤc=μ0tρR2o,ˉu=uuc=μ0uR2oGz.式中,Tc為流動(dòng)的特征時(shí)間,s;uc為特征速度,m/s。將各無(wú)量綱參數(shù)代入到式(4)中,整理得到無(wú)量綱的數(shù)學(xué)模型為其中式中,Ha表示流體彈性大小的無(wú)量綱數(shù),Ha越大表示彈性越強(qiáng);A為內(nèi)壁面往復(fù)運(yùn)動(dòng)的無(wú)量綱振幅;Rev為振蕩雷諾數(shù);α為環(huán)空內(nèi)外半徑比。為了將非齊次定解條件齊次化,令ˉu(ˉr,ˉt)=ˉv(ˉr,ˉt)+ˉw(ˉr,ˉt),將其代入到邊界條件中,解得ˉw(ˉr,ˉt)=ˉr-1α-1Asin(Revˉt).有ˉu(ˉr,ˉt)=ˉv(ˉr,ˉt)+ˉr-1α-1Asin(Revˉt).(6)再將式(6)代入到式(5)中,整理得到其中f(ˉr,ˉt)=1+1ˉrAsin(Revˉt)α-1+ˉr-1α-1ARev×[ΗaRevsin(Revˉt)-cos(Revˉt)].數(shù)學(xué)模型(7)為非齊次拋物型偏微分方程的定解問(wèn)題,可采用固有函數(shù)法求解。首先由分離變量法得到如下的本征函數(shù):R0(βm,ˉr)=Y0(βm)J0(βmˉr)-J0(βm)Y0(βmˉr).式中,J0,Y0分別為第一類和第二類的零階Bessel函數(shù);βm是Bessel方程的正零點(diǎn)。將初始條件、解ˉv(ˉr,ˉt)和非齊次項(xiàng)f(ˉr,tˉ)按本征函數(shù)展開,得uˉ|tˉ=0=0=∑m=1∞Τm(0)R0(βm,rˉ),(8)vˉ(rˉ,tˉ)=∑m=1∞Τm(tˉ)R0(βm,rˉ),(9)f(rˉ,tˉ)=∑m=1∞fm(tˉ)R0(βm,rˉ).(10)利用Bessel函數(shù)的正交性,得到其中C0=Ι1Ν(βm),C1=AΙ0+AΗaRev2(Ι2-Ι1)Ν(βm)(α-1),C2=-ARev(Ι2-Ι1)Ν(βm)(α-1)?Ι0=∫α1R0(βm,rˉ)drˉ,Ι1=R1(βm,1)-αR1(βm,α)βm?Ι2=∫α1rˉ2R0(βm,rˉ)drˉ=R1(βm,1)-α2R1(βm,α)βm+R0(βm,1)-αR0(βm,α)-Ι0βm2,R1(βm,rˉ)=Y0(βm)J1(βmrˉ)-J0(βm)Y1(βmrˉ).式中,J1,Y1分別為第一類和第二類的一階Bessel函數(shù)。將式(9)和(10)代入到方程(7)中,整理得到d2Τm(tˉ)dtˉ2+1ΗadΤm(tˉ)dtˉ+βm2ΗaΤm(tˉ)=fm(tˉ)Ηa.(12)假設(shè)在初始時(shí)刻Tm(tˉ)為時(shí)間tˉ的線性函數(shù),并由式(8),(12)得到它的定解條件為二階非齊次方程(12)的一個(gè)特解為Τm*(tˉ)=C0βm2+CAsin(Revtˉ)+CBcos(Revtˉ).其中CA=(βm2-ΗaRev2)C1+RevC2(βm2-ΗaRev2)2+Rev2,CB=-RevC1-(βm2-ΗaRev2)C2(βm2-ΗaRev2)2+Rev2.通過(guò)對(duì)常微分方程(12)所對(duì)應(yīng)的特征方程根的討論,得到它的通解為(1)當(dāng)1-4Haβm2>0時(shí),Τm1(tˉ)=C0+C2-CARevr2-r1(exp(r2tˉ)-exp(r1tˉ))+C0+βm2CBβm2(r2-r1)(r1exp(r2tˉ)-r2exp(r1tˉ))+Τm*(tˉ)?其中r1=-1+1-4Ηaβm22Ηa,r2=-1-1-4Ηaβm22Ηa.式中,r1,r2為特征方程的兩個(gè)不等實(shí)根。(2)當(dāng)1-4Haβm2=0時(shí),Τm2(tˉ)=(C0+C2-CARev)tˉexp(atˉ)+C0+βm2CBβm2(-1+atˉ)exp(atˉ)+Τm*(tˉ),其中r1=r2=a=-12Ηa.式中,a為特征方程的兩個(gè)相等實(shí)根。(3)當(dāng)1-4Haβm2<0時(shí),Τm3(tˉ)=C0+C2-CARevbexp(atˉ)sinbtˉ+C0+βm2CBbβm2exp(atˉ)(asinbtˉ-bcosbtˉ)+Τm*(tˉ),其中a=-12Ηa,b=4Ηaβm2-12Ηa.它們來(lái)自特征方程的兩個(gè)共軛復(fù)根,r1=-1+i4Ηaβm2-12Ηa,r2=-1-i4Ηaβm2-12Ηa.這樣,由式(6)和(9)可以得到定解問(wèn)題(5)的解為uˉ(rˉ,tˉ)=rˉ-1α-1Asin(Revtˉ)+∑1-4Ηaβm2>0Τm1(tˉ)R0(βm,rˉ)+∑1-4Ηaβm2=0Τm2(tˉ)R0(βm,rˉ)+∑1-4Ηaβm2<0Τm3(tˉ)R0(βm,rˉ).(13)式(13)就是黏彈性流體在內(nèi)壁面沿軸向做周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)的環(huán)空內(nèi)流動(dòng)時(shí)速度分布的分析解。環(huán)空內(nèi)的平均速度定義為um=1π(Ro2-Ri2)∫RiRo2πrudr,帶入無(wú)量綱參數(shù),整理得到uˉm=umuc=21-α2∫α1rˉuˉdrˉ.將速度分布式(13)代入到上式中,可以得到環(huán)空內(nèi)的平均速度隨時(shí)間的變化規(guī)律。3結(jié)論分析3.1不同環(huán)空內(nèi)速度分布的變化在內(nèi)壁面以正弦規(guī)律在環(huán)空內(nèi)做周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)的情形下,當(dāng)流場(chǎng)隨時(shí)間呈周期性充分發(fā)展?fàn)顟B(tài)時(shí),不同Ha數(shù)的黏彈性流體在某周期內(nèi)不同時(shí)刻的速度剖面見(jiàn)圖2。由圖2看出:低Ha數(shù)下(即流體的彈性較弱)環(huán)空內(nèi)任一時(shí)刻的速度分布均近似為拋物線型,雖然不同時(shí)刻環(huán)空內(nèi)的速度分布曲線周期性地隨內(nèi)壁面移動(dòng),但拋物線的形狀基本上不變(圖2(a));隨著Ha數(shù)的增加,流體的彈性效應(yīng)增強(qiáng),環(huán)空內(nèi)部分時(shí)刻的速度分布曲線發(fā)生了變化,特別是在周期開始(t=0,t=Tc/8)和即將結(jié)束的一段時(shí)間內(nèi)(t=3Tc/4,t=7Tc/8),速度的拋物線型分布不再明顯,某些時(shí)刻(t=0,3Tc/4和7Tc/8時(shí))環(huán)空內(nèi)甚至出現(xiàn)整體逆流現(xiàn)象(圖2(b));隨著流體彈性的進(jìn)一步增強(qiáng),在前半周期內(nèi)(0<t<Tc/2)速度分布曲線發(fā)生變形,某些時(shí)刻內(nèi)、外壁面附近流體的速度變化不再同步,在后半周期內(nèi)速度分布曲線仍為拋物線型(圖2(c))?？傮w而言,受內(nèi)壁面運(yùn)動(dòng)的影響,內(nèi)壁面附近流體的速度變化幅度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外壁面附近流體的。振蕩雷諾數(shù)Rev對(duì)速度剖面的影響規(guī)律類似于流體彈性的影響,如圖3所示。振蕩雷諾數(shù)較小時(shí),環(huán)空內(nèi)不同時(shí)刻的速度分布均呈現(xiàn)出近似拋物線型(圖3(a));隨著Rev增加,它對(duì)環(huán)空內(nèi)速度分布曲線的影響類似于圖2(c)中的變化規(guī)律。圖4中給出了內(nèi)壁面往復(fù)運(yùn)動(dòng)的振幅變化對(duì)速度剖面的影響。圖中表明,振幅的變化基本上不影響速度剖面形狀,但是振幅越大,內(nèi)壁面附近流體速度的變化幅度越大,環(huán)空內(nèi)流體的最大速度就越大。不同環(huán)空間距下的瞬時(shí)速度剖面如圖5所示。圖中表明,隨著環(huán)空半徑比的增加,內(nèi)壁面對(duì)流體速度的影響范圍逐漸加大,體現(xiàn)在大α下流體的拋物線型速度分布被扯平,環(huán)空內(nèi)的正向和反向的最大速度均在內(nèi)壁面處。3.2振幅與環(huán)空間距對(duì)平均速度的影響環(huán)空內(nèi)的平均速度變化反映了環(huán)空中的流量變化。穩(wěn)定周期內(nèi)不同黏彈性流體及雷諾數(shù)的環(huán)空平均速度隨時(shí)間的變化規(guī)律見(jiàn)圖6。由圖6(a)可見(jiàn),由于受壁面周期性運(yùn)動(dòng)的影響,平均速度隨時(shí)間也呈現(xiàn)出周期性的變化規(guī)律。在Ha數(shù)較小時(shí),平均速度的變化幅度隨Ha數(shù)的增加而增大,并在某Ha數(shù)下達(dá)到最大值。此后再隨Ha數(shù)增加,速度變化的幅度卻開始減小。低Ha數(shù)下平均速度和內(nèi)壁面運(yùn)動(dòng)的相位基本一致,但隨Ha數(shù)的增加,和內(nèi)壁面運(yùn)動(dòng)的相位差逐漸增大。由圖6(b)可見(jiàn),當(dāng)Rev較小時(shí),平均速度的變化幅度隨Rev的增加而增大,并達(dá)到最大值;爾后又隨Rev的增加而減小,但相位差總是隨Rev的增加而增大。振幅與環(huán)空間距對(duì)平均速度的影響規(guī)律見(jiàn)圖7。由圖7(a)可知,振幅越大,速度變化的幅度就越大,平均速度變化的幅度也越大。圖7(b)表明,間距對(duì)平均速度隨時(shí)間的變化規(guī)律沒(méi)有影響,變化幅度也大致相同。但是,環(huán)空間距對(duì)流體的周期平均速度有比較大的影響,間距越小,環(huán)空的周期平均速度的平均值越小,即環(huán)空內(nèi)的流量也就越小。4環(huán)空速度分布的影響因素(1)受內(nèi)壁面往復(fù)運(yùn)動(dòng)的影響,環(huán)空內(nèi)的速度和