2021年寧夏大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科）（解析版）

2021年寧夏大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科)

一、選擇題(共12小題，每小題5分，共60分).

1.設(shè)集合A=3-2VxV0},B={x\x1-1^0},則AA8=()

A.(-2,0)B.[-1,0)C.(-2,1)D.[-1,1]

2.復(fù)數(shù)z=(1+i)(2-i)-i的共瓶復(fù)數(shù)為()

A.3zB.3C?-3iD.-3

3.在等差數(shù)列{〃〃}中，已知。3+。5+。7=15,則。1+。9=()

A.4B.6C.8D.10

TT

4.己知信=1,F3=2,且之與己的夾角為二-，則二-丁品=()

0

A.V7B.2&C.萬D.779

OJT1

5.已知sin(a+———)=一,則cos2a=()

23

771

A.—B.—C.——

993

6.2020年中秋加國慶8天小長假結(jié)束后，根據(jù)中商產(chǎn)業(yè)研究院的國慶假期旅游統(tǒng)計數(shù)據(jù)，

分別繪制了8個省的接待游客數(shù)量(單位：萬人次)和旅游收入(單位：億元)的折線

圖(分別為圖1和圖2),根據(jù)折線圖，下列敘述錯誤的是()

接待游客數(shù)6:/萬人次

8000

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000---------------------------------------------------------------------------------

Qtillin,，

河南江西湖北貴州廣東江蘇陜西福建

圖1

旅游收入/億元

600

500

400

300

200

100

0

河南江西湖北貴州廣東江界陜西福建

圖2

A.河南省的接待游客數(shù)量在這8個省中排名第一，江西省的接待游客數(shù)量排名第二

B.河南、江西、湖北三省的旅游收入的平均數(shù)和江蘇、陜西、福建三省的旅游收入的平

均數(shù)相差不到1億元

C.貴州省的旅游收入在這8個省中排名第三

D.這8個省的旅游收入的中位數(shù)高于河南省的旅游收入

7.從2名教師和5名學(xué)生中，選出3人參加“我愛我的祖國”主題活動.要求入選的3人

中至少有一名教師，則不同的選取方案的種數(shù)是（）

A.20B.25C.30D.55

8.已知兩條不同的直線/,加和不重合的兩個平面a,0,且有下面四個命題：

①若，"_L0,則/〃如

②若a〃仇則/_La；

③若a_Lp,則/〃a；

④若則，7?〃0.

其中真命題的序號是()

A.①②B.②③C.②③④D.①④

9.已知函數(shù)/CO=Asin(3x+(p),(A>0,0)>0,|。有兩個相鄰的極值點(diǎn)

TTTT

分別為:：和T，為了得到函數(shù)g(x)=ACOS3X的圖象，只需將7(X)圖象()

63

A.向左平移等個單位長度B.向右平移2個單位長度

00

TTTT

C.向左平移勺個單位長度D.向右平移多個單位長度

66

10.若M(x,y)在直線上x+2y+l=0移動，貝U2"+4、'的最小值是()

A.唱B.&C.272D.472

11.下列命題中的假命題是()

A.對于命題，p：3xoGR,x()2+xoWO,則一1〃：VxGR,x2+x>0

B.拋物線y=8P的準(zhǔn)線方程是丁=-2

C.“x=3”是“x2-3x=0”的充分不必要條件

D.若兩直線3x+4)43=0與6x+my+l=0平行，則它們之間的距離為￡

22

12.已知雙曲線E：25-工5=1(a>0,h>0)的左焦點(diǎn)為Q,過點(diǎn)Fi的直線與兩條漸近

線的交點(diǎn)分別為M、N兩點(diǎn)(點(diǎn)Q位于點(diǎn)M與點(diǎn)N之間)，且誦=3不，又過點(diǎn)Fi

作修PLOM于尸(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且|ON|=|OP|,則雙曲線E的離心率《=()

A.臟B.FC.嬰D.第

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若(1-3%)”展開式中各項系數(shù)的和等于64,則展開式中/的系數(shù)是.

14.已知三棱錐P-4BC中，側(cè)棱底面ABC,AC±BC,PA=AB=2BC=2,則三棱錐

P-ABC的外接球的表面積為.

15.已知數(shù)列｛如｝滿足如+i=3a“+4,a\—\,則〃”=.

16.若存在區(qū)間M=[a，b](a<b)使得｛y|y=f(x),XEM｝=M,則稱區(qū)間M為函數(shù)/(X)

的一個“穩(wěn)定區(qū)間”.給出下列4個函數(shù)：

@f(x)

@f(x)=R

jrv

?f(x)=cos2

@f(x)=lnx+\

其中存在穩(wěn)定區(qū)間的函數(shù)有(寫出所有正確命題的序號).

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：

共60分)

17.已知/(x)=J^sinxcosjc+sidx.

(1)求/(x)的最小正周期和最大值；

Q

(2)若I,AABC的周長為12,且/'(B)=p求△ABC的面積.

18.中國提出共建“一帶一路”，旨在促進(jìn)更多的經(jīng)濟(jì)增長和更大的互聯(lián)互通，隨著“一帶

一路”的發(fā)展，中亞面粉、波蘭蘋果、法國紅酒走上了國人的餐桌，中國制造的汽車、

電子元件、農(nóng)產(chǎn)品豐富著海外市場.為拓展海外市場，某電子公司新開發(fā)一款電子產(chǎn)品，

該電子產(chǎn)品的一個系統(tǒng)G有3個電子元件組成，各個電子元件能正常工作的概率為得，

且每個電子元件能否正常工作相互獨(dú)立，若系統(tǒng)G中有超過一半的電子元件正常工作，

則G可以正常工作，否則就需要維修，且維修所需全部費(fèi)用為900元.

(1)求系統(tǒng)需要維修的概率；

(2)該電子產(chǎn)品共由3個系統(tǒng)G組成，設(shè)《為電子產(chǎn)品所需要維修的費(fèi)用，求《的分布

列和數(shù)學(xué)期望.

19.如圖，在四棱錐尸-4BC。中，24,平面A8CO,底面48C。是菱形，PA=AB=2,Z

8Ao=60°.

(I)求證：直線平面PAC；

(II)求直線P8與平面PAO所成角的正切值；

(III)設(shè)點(diǎn)M在線段PC上，且二面角的余弦值為搟，求點(diǎn)M到底面488

的距離.

M

B

20.已知橢圓C：2y座b>0)的離心率為《，并且經(jīng)過P(0,正)點(diǎn).

a"/2

(I)求橢圓C的方程；

(H)設(shè)過點(diǎn)P的直線與x軸交于N點(diǎn)，與橢圓的另一個交點(diǎn)為3,點(diǎn)8關(guān)于x軸的對

稱點(diǎn)為6,直線P9交x軸于點(diǎn)M,求證：|OMqCW|為定值.

21.已知函數(shù)f(x)=ax-型巴，a€R

x

(I)當(dāng)a=l時，求/(X)的圖象在點(diǎn)P(e,7(e))處的切線方程；

(II)設(shè)函數(shù)g(x)^xf(x)-4,討論函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個數(shù).

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的

第一題記分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

'Y=A/2COSa

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C,的參數(shù)方程是《1J(a是參數(shù)).以原點(diǎn)。

y=sind.

為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是

兀

Psin(8

(1)求曲線Ci的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)P為曲線G上的動點(diǎn)，過P點(diǎn)且與x軸垂直的直線交C2于點(diǎn)A,求|PA|的最小

值，并求此時點(diǎn)P的直角坐標(biāo).

［選修4-5：不等式選講］

23.設(shè)函數(shù)/(x)=k-2|-|2x+l|.

(I)求不等式/(x)Wx的解集；

(H)若不等式f(x)，尸-，在xe［-2,-1］時恒成立，求實數(shù)，的取值范圍.

參考答案

一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）.

1.設(shè)集合A={x|-2VxV0},^^{xlx2-1^0},則AA3=()

A.(-2,0)B.[-1,0)C.(-2,1)D.[-1,1]

解：???集合A={x|-2VxV0},

-1W0}={x|-KW1},

：.AQB={x\-l<x<0}=[-1,0).

故選：B.

2.復(fù)數(shù)z=（1+i）（2-/）-i的共輒復(fù)數(shù)為（）

A.3zB.3C.-3zD.-3

解:由z=(1+z)(2-i)-i=3f

得1=3-

故選：B.

3.在等差數(shù)列{〃〃}中，已知。3+。5+。7=15,則〃1+。9=()

A.4B.6C.8D.10

解：根據(jù)題意，等差數(shù)列｛%｝中，

若。3+〃5+〃7=15,則3〃5=15,即。5=5,

所以。1+。9=2的=10.

故選：D.

4.己知市=2,且之與己的夾角為多，則（）

U

A.V?B.272C.5/10D.-719

TT

解：lbl=2'且a與b的夾角為『

0

，Z,E=1X2X^=F，

???la-V3bl2=l2-2與；工+3黃=1-2MX?+3X22=7,

故W-V?bl=V7-

故選：A.

ojr1

5.已知sin（a+J）=K，貝Ucos2a=（）

23

7711

A.—B.—C.——D.—

9933

解：sin（a+芳=-cosa=￡,即有cosa=-羨，

7

cos2a=2cos2a-1=-----

9

故選：A.

6.2020年中秋加國慶8天小長假結(jié)束后，根據(jù)中商產(chǎn)業(yè)研究院的國慶假期旅游統(tǒng)計數(shù)據(jù)，

分別繪制了8個省的接待游客數(shù)量（單位：萬人次）和旅游收入（單位：億元）的折線

圖（分別為圖1和圖2）,根據(jù)折線圖，下列敘述錯誤的是（）

接待游客數(shù)屆/萬人次

8000

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000---------------------------------------------------------------------------------

Q11111na，

河南江西湖北貴州廣東江林陜西福建

圖1

旅漩收入/億元

600

500

400

300

200

100--------------------------------------------------------------------------------------

0a1411al￡

河南江西湖北貴州廣東江蘇陜西福建

A.河南省的接待游客數(shù)量在這8個省中排名第一，江西省的接待游客數(shù)量排名第二

B.河南、江西、湖北三省的旅游收入的平均數(shù)和江蘇、陜西、福建三省的旅游收入的平

均數(shù)相差不到1億元

C.貴州省的旅游收入在這8個省中排名第三

D.這8個省的旅游收入的中位數(shù)高于河南省的旅游收入

解：由圖1可知，河南省的接待游客數(shù)量在這8個省中排名第一，

江西省的接待游客數(shù)量排名第二，故A正確，

由圖2可知，河南、江西、湖北三省的旅游收入的平均數(shù)為

360.71+398.81+34&29（億元）

§-ooy.//<，

江蘇、陜西、福建三省的旅游收入的平均數(shù)為51Z55+25,06+340.駝一丁016（億

O

元），

顯然相差不到1億元，故B正確，

由圖2可知，貴州省的旅游收入在這8個省中排名第三，故C正確，

由圖2可知，這8個省的旅游收入的中位數(shù)為360?7,56.7—358.71（億元），

顯然低于河南省的旅游收入360.71（億元），故。錯誤.

故選：D.

7.從2名教師和5名學(xué)生中，選出3人參加“我愛我的祖國”主題活動.要求入選的3人

中至少有一名教師，則不同的選取方案的種數(shù)是（）

A.20B.25C.30D.55

解：根據(jù)題意，從2名教師和5名學(xué)生中，選出3人，有C73=35種選法，

若入選的3人沒有教師，即全部為學(xué)生的選法有C$3=10種，

則有35-10=25種不同的選取方案，

故選：B.

8.已知兩條不同的直線和不重合的兩個平面a,p,且/，仇有下面四個命題：

①若機(jī)_1_0,則/〃機(jī)；

②若a〃B，則/JLa；

③若a_L0,則/〃a；

④若則相〃0.

其中真命題的序號是（）

A.①②B.②③C.②③④D.①④

解：對于①，由/_1_0,可得/〃H7,故①正確;

對于②，若LL0,a//p,可得/La,故②正確；

對于③，若/_L0,a_L0,則/〃a或/ua,故③錯誤；

對于④，若/_L0,l-Lmf則機(jī)〃0或mu0,故④錯誤.

綜上，真命題的序號是①

故選：4.

JT

9.已知函數(shù)fCO=Asin（3x+（p）,（A>0,3>0,|。|<?。┯袃蓚€相鄰的極值點(diǎn)

分別為鄉(xiāng)和一，為了得到函數(shù)gCO=AC0S3X的圖象，只需將/（X）圖象（）

63

A.向左平移3JT個單位長度B.向右平移勺TT個單位長度

33

兀

C.向左平移多1T個單位長度D.向右平移2個單位長度

66

解：???】斗-（4）;,

26'3'2

，r=n,a）=2,

jryr

將點(diǎn)（""Z-，土A）代入，得sin（f+。）=±1，

63

從而02+2k兀，或。2k兀，k€z,

66

???1016,

0=^-.

中6

11IT11

因此f（x）=Asin（2x十1）變換到g（x）=Acos2x=Asin（2x^^~一）只需向左平移-1個單

位長度.

故選：C.

10.若M（x,y）在直線上x+2y+l=0移動，則2+T的最小值是（）

A.唱B.&C.2MD.V2

解：因為M（x,y）在直線上x+2y+l=0移動，所以x+2y=-l.

所以2'+4V>2,2*,4丫=2\122丫=2^2-1=V2,

所以2*+4,.的最小值是我.

故選：B.

11.下列命題中的假命題是（）

A.對于命題，p：SxoGR,沏2+XOWO,則一'p：VXGR,X2+X>0

B.拋物線y=8/的準(zhǔn)線方程是y=-2

C.“x=3”是“N-3x=0”的充分不必要條件

D.若兩直線3x+4），+3=0與6x+/ny+l=0平行，則它們之間的距離為方

解：對A,根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題可判斷A是真命題，不符合題意；

對B,拋物線k8爐的標(biāo)準(zhǔn)方程為乂24丫，準(zhǔn)線方程為了二卷，故8是假命題，符合

題意；

對C,由/-3x=0可解得x=o或3,所以“x=3”是“x2-3x=0”的充分不必要條件,

故C是真命題，不符合題意；

_|6-1|1-

對。，直線3x+4y+3=0可化為64+8片6=0,兩直線距離為一'彳...；一萬,故。是真命

曠6+8/乙

題，不符合題意.

故選：B.

22

12.已知雙曲線E：t-%=1（。＞°，匕＞。）的左焦點(diǎn)為人，過點(diǎn)K的直線與兩條漸近

abz

線的交點(diǎn)分別為M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)E位于點(diǎn)M與點(diǎn)N之間）,且誦=3不，又過點(diǎn)Fi

作F|P_LOM于P（點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)），且|CW|=|。尸則雙曲線E的離心率6=（)

A.加B.V3C.攣D.坐

22

解：法一、雙曲線氏%-4=1（。＞0,fe＞0）的漸近線方程為了=土且X，

/a

如圖所示，設(shè)M(，""Xi)，N(乂個—,FI(-c,0),

1a1/a/

+

MN=Cx2-xi,—x9-^xJ，F(xiàn)iN=(x9c,—x9)?

aa11乙a'

x-x!=3?2+303

2X12

由而=3不，得，bb3b1解得

-X+-X1=---x3

a94ala9zX2=-7C

I-cbI

又點(diǎn)吊到直線bx+ay=0的距離內(nèi)尸|=77=^=b,|OQ|=c,

va+b

A|OP|=7c2-b2=a，則|02=1。尸1=〃，

又'V。譽(yù)，又°M=/4c）2+（譽(yù)產(chǎn)=誓，

可得3c2即3^=4。2,:.片二上區(qū)

4aa3

故選：C.

法二、在△OPFi與△ONFi中，由|CW|=|OP|,\OFi\=\OFt\,NPOFi=NNOF\,

得△OPFi絲△?可尸i,'：F\PYOM,:.FiN工ON,

|F,P|m1

設(shè)|FiN|=/?,則|F|P|=/M,\MFi\—2m,可得sin/PMF1=q"不^~

|Mr?|2m2

：.ZPMFi=30°,可得NMON=60°,則/BON=30°,

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若（1-3%）〃展開式中各項系數(shù)的和等于64,則展開式中/的系數(shù)是135.

解：令x=l,可得（1-3x）”展開式中各項系數(shù)的和等于（-2）"=64,：.n=6,

則展開式中/的系數(shù)為"?（-3）2=135,

故答案為：135.

14.已知三棱錐尸-A8C中，側(cè)棱尸4,底面ABC,ACLBC,PA=AB=2BC=2,則三棱錐

P-ABC的外接球的表面積為8TT.

解：將所給的幾何體補(bǔ)形為如圖所示的長方體,

由題意可知PA=2,AC=V3>CB=1,

設(shè)長方體的外接球半徑為R,則：2R2=4+3+l=8,R2=2,

從而其外接球的表面積為：S=4TrR2=8n.

故答案為：8n.

15.已知數(shù)列｛知｝滿足3+1=3。“+4,0=1,則a〃=3"-2.

解:根據(jù)題意，知數(shù)列｛〃〃｝滿足為+i=3z+4,

、a+i+2

變形可得：a〃+i+2=3m+6=3(?！?2),即.....-=3?

又0=1,則0+2=3,故｛念+2｝是首項為3,公比為3的等比數(shù)列,

則有aj2=3X3n_1=3”，

=n_

故an32；

故答案為：3"-2

16.若存在區(qū)間M=[mb]Ca<b)使得｛y|y=f(%),xeM)=Mf則稱區(qū)間M為函數(shù)f(x)

的一個“穩(wěn)定區(qū)間”.給出下列4個函數(shù):

?f(x)="

@fCx)=3

JT

@f(X)=COS—

@f(x)=lnx+\

其中存在穩(wěn)定區(qū)間的函數(shù)有②③(寫出所有正確命題的序號).

解：①對于函數(shù)/(x)若存在“穩(wěn)定區(qū)間”b],由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，

故有e^—a,^—b,

即方程F=x有兩個解，即y=F和y=x的圖象有兩個交點(diǎn)，這與即y=e'，和y=x的圖象

沒有公共點(diǎn)相矛盾，故①不存在“穩(wěn)定區(qū)間”.

②對于/(x)=〃存在“穩(wěn)定區(qū)間”,如xe[O,1]時,f(②=&[0,1].

TTK

③對于(x)=sin-^-x,存在“穩(wěn)定區(qū)間"，如x€[0,1]時，f(x)=sin-^-x€[O,1].

④對于,f(x)=bvc,若存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a,b],由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故有

lna=a,且lnb=b,即方程/nx=x有兩個解，

即和y=x的圖象有兩個交點(diǎn)，這與y=lrvc和y=x的圖象沒有公共點(diǎn)相矛盾，

故④不存在“穩(wěn)定區(qū)間”.

故答案為②③.

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(~)必考題:

共60分)

17.已知/'(X)—■^3sirircosx+sin2x.

(1)求/(x)的最小正周期和最大值；

(2)若b=4,AABC的周長為12,且/(8)=-|,求△ABC的面積.

2

解：(1)/(%)=-73sirucosx+sinx=^^-sin2x+^-^^^-=sin(2x-^-)

故函數(shù)的最小正周期7=衛(wèi)匚=兀.

(2)在△A8C中，/(8)=sin(2B—r-)

b/Z

所以2B-r=2kK"r(k￡Z),解得B=3.

由于匕=4,△ABC的周長為12,

所以a+c=8,

由余弦定理a2+c2-ac=16,整理得ac=16,

所以SAABC蔣acsinB=yX16X亨=4>/3'

18.中國提出共建“一帶一路”，旨在促進(jìn)更多的經(jīng)濟(jì)增長和更大的互聯(lián)互通，隨著“一帶

一路”的發(fā)展，中亞面粉、波蘭蘋果、法國紅酒走上了國人的餐桌，中國制造的汽車、

電子元件、農(nóng)產(chǎn)品豐富著海外市場.為拓展海外市場，某電子公司新開發(fā)一款電子產(chǎn)品,

該電子產(chǎn)品的一個系統(tǒng)G有3個電子元件組成，各個電子元件能正常工作的概率為得，

且每個電子元件能否正常工作相互獨(dú)立，若系統(tǒng)G中有超過一半的電子元件正常工作，

則G可以正常工作，否則就需要維修，且維修所需全部費(fèi)用為900元.

(1)求系統(tǒng)需要維修的概率；

(2)該電子產(chǎn)品共由3個系統(tǒng)G組成，設(shè)S為電子產(chǎn)品所需要維修的費(fèi)用，求W的分布

列和數(shù)學(xué)期望.

O

解：(1)系統(tǒng)需要維修的概率為c3

27

(2)設(shè)X為需要維修的系統(tǒng)的個數(shù)，則X?B(3,專)，且E=900X,

7

故所以E(8)=900E(X)=900X3X方=700.

19.如圖，在四棱錐P-ABC。中，PA_L平面ABCD,底面4BCD是菱形，PA=AB=2,Z

BAD=60°.

(I)求證：直線2。_L平面PAC；

(II)求直線尸8與平面PAO所成角的正切值；

(III)設(shè)點(diǎn)用在線段PC上，且二面角C-MB-4的余弦值為,求點(diǎn)例到底面ABCD

的距離.

【解答】(I)證明：由菱形的性質(zhì)可知，BDVAC,

因為PA_L平面ABCC,且平面ABCZ),

則BO_L4P,且APCAC=A,AP,ACu平面尸AC,

故平面PAC；

(II)解：以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則P(0,0,2),B(V3>1，0)，A(O,0,0),D(0,2,0：,

所以說=(?,1,-2)，

由平面PAD的一個法向量為m=(l,0,0)，

設(shè)直線PB與平面PAD所成的角為0,

所以sin9=|cos<PB,/〉卜售:叫=/

IPBIImIV8X1

故cos0=71-sin26條，

所以1ali。=更嗓=叵，

cosy5

故直線PB與平面PAD所成角的正切值為運(yùn)；

5

(III)解：設(shè)M(X,y,z),,api=Xpc(0W入Wl),

因為P(0,0,2),C(V3，3,0),B(V3，1,0),A(0,0,0),

所以(x,y,z-2)=入3,-2),

解得工=愿入，y=3入，z=-2入+2,

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(6入，3入，-2入+2),

設(shè)平面CM8的法向量為1=(a,b,c)，

w

nlfnCB=-2b=0

則—?,

n*MB=(V3-)a+(l-3入)b+(2入-2)c=C

令。=2,則c=?,

故［⑵0,愿)，

設(shè)平面MBA的法向量為工二(p,q,r),

:，AB=V§p+q=0

貝_，

t?MB=(V3-V3)p+(l-3入)q+(2入-2)r=(

令P=l,則q=-dl，r=坐二，

1-人

因為二面角C-MB-A的余弦值為率,

整理可得14入2-19入+6=0,

解得X?或X.=-^-?

27

由點(diǎn)例的坐標(biāo)可知點(diǎn)M到底面ABCD的距離為1或手.

乙乙

20.已知橢圓C：2y崖b>0）的離心率為《1，并且經(jīng)過P（0,正）點(diǎn).

/J2

（I）求橢圓C的方程；

（H）設(shè)過點(diǎn)尸的直線與x軸交于N點(diǎn)，與橢圓的另一個交點(diǎn)為3,點(diǎn)8關(guān)于x軸的對

稱點(diǎn)為6,直線P8交x軸于點(diǎn)M,求證：|OM」。川為定值.

解：（I）由題意可得e=￡=],6=遂，/=層-6,

a2

解得/=4,匕2=3,

22

所以橢圓的方程為：三-+，=1；

43

（II）證明：由題意可得直線PB的斜率存在，設(shè)為k,

設(shè)P（xi,yi）,B（X2,”），則B'（及，-”），N（nt,0）,M（〃，0）,

設(shè)直線PB的方程為：y=k（x-m）,

y=k(x-m)

聯(lián)立|Y22,整理可得：(3+4F)/-86加+以2m2-12=0,

I431

ni2JI22_■?n

△=64初層-4(3+422)(46層-12)>0,Xi+X2=*。,x\X2=-—T—

3+4k23+4k2

①人WO,8,P,M三點(diǎn)共線，kgkpM,

-yYi

-------2--=---------，BPy](X2-n)+yz(xi-n)=0,

x2-nxj-n

整理可得：k(X]-機(jī))(%2-〃)+k(X2-M(xi-n)=0,

2X\X2~(相+〃)(X1+X2)+2m〃=0,

代入韋達(dá)定理可得：2-4――2--2-(,”+〃)?■8k-^-i2/Mn=0,

3+4k"3+4kJ

可得〃?”=4,所以M(—,0),

m

|OM|?|O/V|=〃2〃=4,

②當(dāng)k=0時，PB與X軸重合，也滿足條件，

綜上所述可證得：|OMqCWI=4為定值.

21.已知函數(shù)f(x)=ax-四絲，a€R

x

(I)當(dāng)。=1時，求f(x)的圖象在點(diǎn)P(e,f(e))處的切線方程；

(II)設(shè)函數(shù)g(x)=xf(x)-4,討論函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個數(shù).

解：(I)當(dāng)a=1時，/(x)=x-導(dǎo)數(shù)為，(x)=1-22/x,

XX

可得切線的斜率為/(e)=1,/(e)=e-2,

e

則切線方程為y-e+2=x-e,即為y=x-&

ee

(II)函數(shù)g(x)=xf(x)-4=0^-2lnx-4,x>0,

gr(x)=2奴_2=2(ax--I.),

xx

當(dāng)〃WO時，g'(x)<0,g(x)在%>0遞減，可令xo=^則OVxoVl,

g(xo)>a-2//tro-4=0,g(1)=a-4<0,g(x)在1)上有唯一零點(diǎn);

當(dāng)。>0時，由g'(x)>0,可得x>7=,g(x)在(0,—遞減，(-+8)

Va7a

遞增,

可得g(R)的最小值為g(，")=癡-3.

①當(dāng)時,g(X)的最小值大于0,g(x)無零點(diǎn);

②當(dāng)〃=/時,g(x)的最小值等于0,g(x)有唯一零點(diǎn)；