倒立擺與自動控制原理課程設(shè)計

自動化-課程設(shè)計FinalProject倒立擺與自動控制原理課程設(shè)計學院：物理與光電信息科技學院專業(yè)：電子信息工程專業(yè)年級：2009級姓名：王雪、陳一淳、林嘉瑩學號：106032009122目錄1摘要倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定性研究的背景和意義 倒立擺系統(tǒng)控制的研究歷史及現(xiàn)狀 倒立擺涉及領(lǐng)域 2倒立擺系統(tǒng)2.1倒立擺的工作原理 2.2倒立擺系統(tǒng)特性分析 3一級倒立擺的物理建模3.1微分方程的推導 3.2傳遞函數(shù)的推導 3.3狀態(tài)空間方程的推導 一級倒立擺系統(tǒng)的定性分析 4倒立擺的穩(wěn)定性控制及仿真4.1頻率響應(yīng)分析 4.2頻率響應(yīng)設(shè)計及仿真 4.3MATLAB仿真 摘要對于倒立擺系統(tǒng)的控制研究長期以來被認為是控制領(lǐng)域里引起人們極大興趣的問題。倒立擺系統(tǒng)是一個典型的快速、多變量、非線性、不穩(wěn)定的系統(tǒng)。研究倒立擺系統(tǒng)能有效地反應(yīng)控制中的許多問題。倒立擺研究具有重要的理論價值和應(yīng)用價值。倒立擺廣泛應(yīng)用于控制理論研究、航空航天控制、機器人、雜技項桿表演等領(lǐng)域，在自動化領(lǐng)域中具有重要的價值直線一級倒立擺由直線運動模塊和一級擺體組件組成，是最常見的倒立擺之一，見圖1所示。圖1倒立擺實物圖用牛頓力學方法建模：在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖2所示：F小車導軌<■圖2F小車導軌<■圖2直線一級倒立擺模型擺桿V我們不妨做以下假設(shè)：M小車質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車摩擦系數(shù)l擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度I擺桿慣量F加在小車上的力x小車位置9 擺桿與垂直向上方向的夾角0 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）圖是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作力的水平和垂直方向的分量。注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖3示，圖示方向為矢量

正方向。圖3正方向。圖3及擺桿受力分析分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：Mx=F-bx-N由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式：d2n=m(x+1sm0)dt21)即：...2n=mx+m”cos0-ml0sin02)把這個等式代入式(3-1)中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程：(M+m)x+bx+ml0cos0一ml02sin0=F(3) ?-為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程：p一p一mgd2=m-dt2p一mg=一mlQsin0一ml02cos0(5)力矩平衡方程如下：一plsin0一Nlcos0=l0..(6)注意：此方程中力矩的方向，由于e=n+JCOS屮=-cos6,sin屮=-sin0,故等式前面有負號。合并這兩個方程，約去P和N,得到第二個運動方程：(I+ml2)0+mglsin0=-mlxcos0⑺?-設(shè)e=n+屮(屮是擺桿與垂直向上方向之間的夾角)假設(shè)屮與1(單位是弧de2度)相比很小，即屮<<i，則可以進行近似處理:cos0=-1,sin0=-^,()2=0dt(8)用，來代表被控對象的輸入力F，線性化后兩個運動方程如下：(M+m)x+bx一ml?=u⑼--…(I+ml2)?一mgl?=mlx注意：推導傳遞函數(shù)時假設(shè)初始條件為0。由于輸出為角度9,求解方程組的第一個方程，可以得到:TOC\o"1-5"\h\z(I+ml2)gx(s)=[ -他(s)mls2(11)或0(s) mls2X(S) (I+ml2)s2-mgl(12)如果令v=X，則有：0(s)_ mlV(s) (I+ml2)s2-mgl(13)把上式代入方程組的第二個方程，得到：(M+m)[(l+ml2)-g]0(s)s2+b[(l+ml2)+亙]0(s)s-ml0(s)s2=U(s)mls mls2(14)整理后得到傳遞函數(shù)：mls20(s)= q U(s) b(I+ml2) (M+m)mgl bmgls4 s3 s2 sq q q(15)其中

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：x=AX+Buy=CX+Du由(9)方程為：(I+ml2)?—mgl?=mix-對于質(zhì)量均勻分布的擺桿有：I=-ml23于是可以得到：(1ml2+ml2)?—mgl?=mixTOC\o"1-5"\h\z?-化簡得到：.. 3g3?= ?+x4l 4l(19)實際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下:M 小車質(zhì)量 1.096Kgm 擺桿質(zhì)量 0.109Kgb小車摩擦系數(shù)0.1N/m/secl 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 0.25mI擺桿慣量I擺桿慣量0.0034kg*m*m把上述參數(shù)代入，可以得到系統(tǒng)的實際模型。擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)：0(s)_mis2X(S) (I+ml2)s2-mgl(20)擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為：G(s)=Ksh= 0.02725s—X(S)—0.0102125S2—0.26705(21)可以看出，系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)，系統(tǒng)的輸出完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)輸出向量y的維數(shù)，所以系統(tǒng)可控，因此可以對系統(tǒng)進行控制器的設(shè)計，使系統(tǒng)穩(wěn)定。1.2直線一級倒立擺頻率響應(yīng)控制實驗系統(tǒng)對正弦輸入信號的響應(yīng)，稱為頻率響應(yīng)。在頻率響應(yīng)方法中，我們在一定范圍內(nèi)改變輸入信號的頻率，研究其產(chǎn)生的響應(yīng)。頻率響應(yīng)可以采用以下三種比較方便的方法進行分析，一種為伯德圖或?qū)?shù)坐標圖，伯德圖采用兩幅分離的圖來表示，一幅表示幅值和頻率的關(guān)系，一幅表示相角和頻率的關(guān)系；一種是極坐標圖，極坐標圖表示的是當3從0變化到無窮大時，向量G(j3)G(j3)的軌跡，極坐標圖也常稱為奈奎斯特圖，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)使我們有可能根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應(yīng)特性信息，研究線性閉環(huán)系統(tǒng)的絕的穩(wěn)定性和相對穩(wěn)定性。1.2.1頻率響應(yīng)分析原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：22)G(s)亠=22)X(S) 0.0102125S2—0.26705其中輸入為小車的加速度v(s),輸出為擺桿的角度①⑸。在MATLAB下繪制系統(tǒng)的Bode圖和奈奎斯特圖。繪制Bode圖的命令為：Bode(sys)繪制奈魁斯特圖的命令為：Nyquist(sys)在MATLAB中鍵入以下命令：clear;num=[0.02725];den=[0.01021250-0.2z=roots(num);p=roots(den);subplot(2,1,1)bode(num,den)subplot(2,1,2)nyquist(num,den)得到如圖4示的結(jié)果：z=Emptymatrix:0-by-1p=5.1136-5.1136rFigure2 |3?岡FileEditVih-a' Inssr+Tr-filsD^sktep }{乜lp□耳日冒te食直心?晅ne■口BodeDiagram〔BP〕①p「是」rTIinzci①p〕-rlw^jzdJIJHI--O9O7—〔BP〕①p「是」rTIinzci①p〕-rlw^jzdJIJHI--O9O7—Frequency.]^ad/aec)NyquistDiagram5_u5o.o.M3A-l-nu'aEUJ--.9□.-0.8 -0.7 -0.6Re希卜氐屣-0.4 -0.3 -0.2 -Q.1圖4原系統(tǒng)Bodel圖和Nyquist圖可以得到，系統(tǒng)沒有零點，但存在兩個極點，其中一個極點位于右半s平面，根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當3從-8到變+8化時，開環(huán)傳遞函數(shù)G(j3)沿逆時針方向包圍-1點p圈，其中p為開環(huán)傳遞函數(shù)在右半S平面內(nèi)的極點數(shù)。對于直線一級倒立擺，由圖3-21我們可以看出，開環(huán)傳遞函數(shù)在S右半平面有一個極點，因此G(jw)需要沿逆時針方向包

圍-1點一圈。可以看出，系統(tǒng)的奈奎斯特圖并沒有逆時針繞-1點一圈，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定，需要設(shè)計控制器來鎮(zhèn)定系統(tǒng)。1.2.2頻率響應(yīng)設(shè)計及仿真直線一級倒立擺的頻率響應(yīng)設(shè)計可以表示為如下問題：考慮一個單位負反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：G(s)=Ks!= 0.02725⑻—X(S)—0.0102125S2—0.26705(23)設(shè)計控制器G(s)，使得系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差常數(shù)為10，相位裕量為50°，增益裕量等于或大于10分貝根據(jù)要求，控制器設(shè)計如下：選擇控制器，上面我們已經(jīng)得到了系統(tǒng)的Bode圖，可以看出，給系統(tǒng)增加一個超前校正就可以滿足設(shè)計要求，設(shè)超前校正裝置為：GcGc(S)=K啟=尺1aT已校正系統(tǒng)具有開環(huán)傳遞函數(shù)Gc(s)G(s)。G(s)G(s)=KG(s)=10.0102125s2—0.26705

(25)式中K=Kea。(s+T)(s+T) T—x(丄1、0.0102125s2—0.26705(s+)aT0.02725K=limG(s)G(s)=limKpstOC stO(26)可以得到：K=98于是有：廠/、 0.02725x98G(s)=i 0.0102125s2—0.26705(27)在MATLAB中畫出G(s)的Bode圖：clear;num1=[2.6705];den1=[0.01021250-0.26705];bode(num1,den1)可以獲得圖5的結(jié)果：r■」Figure1□Fili Jdit Vi IrLE5rt Tool蘭 D亡蘭kt心口 ￥ind_ow H^lr-口力口豊te食蟲聳?哽ne■口BadeDiagram_u2o-uo-u-4~r-「1T〔83tiiwjmwfl-71

rf—--173.5-180.5〔EimsasCBLId_u2o-uo-u-4~r-「1T〔83tiiwjmwfl-71

rf—--173.5-180.5〔EimsasCBLId□1210 10 1QFrequency 亡u〕圖5加入增益后的Bode圖輸入：nyquist(numl,denl)可以獲得圖6:

NyquisiDiagram-6 -5 -4 -3 -2 -1 0RealAxisNyquisiDiagram-6 -5 -4 -3 -2 -1 0RealAxis圖6增加增益后的Nyquist圖出，系統(tǒng)的相位裕量為0°，根據(jù)設(shè)計要求，系統(tǒng)的相位裕量為50°，因此需要增加的相位裕量為50°，增加超前校正裝置會改變Bode的幅曲線，這時增益交界頻率會向右移動，必須對增益交界頻率增加所造成的G1(j3)的相位滯后增量進行補償，因此，假設(shè)需要的最大相位超前量?m近似等于55。。因為Sinp=l-a/l+a計算可以得到：a=0.0994確定了衰減系統(tǒng)，就可以確定超前校正裝置的轉(zhuǎn)角頻率3=1/T和3二l/(aT)，可以看出，最大相位超前角?m發(fā)生在兩個轉(zhuǎn)角頻率的幾何中m心上，即3,在3點上，由于包含Ts+l)/(aTs+l)I頁，所以幅值的變化為：

1+1+jwT1+j?aT(28)于是G1(j3)=-10.0261分貝對應(yīng)于3=28.5rad/s，我們選擇此頻率作為新的增益交界頻率3c,這一頻率相應(yīng)于3,即：1/T=8.8735 1/Ta=90.3965于是校正裝置確定為：Gc(s)=Kca(Ts+1)/(aTs+1)=Kc(s+8.8735)/(s+90.3965)(29)Kc=985.9155增加校正后系統(tǒng)的根軌跡和奈魁斯特圖如下：(進入MATLABSimulink實時控制工具箱"GoogolEducationProducts”打開"InvertedPendulum\LinearInvertedPendulum\Linear1-StageIPExperiment\FrequencyResponseExperiments””中的"FrequencyResponseControlMFiles”)輸入：clear;num=98*[0.02725];den=[0.01021250-0.26705];subplot(2,1,1)bode(num,den)subplot(2,1,2)nyquist(num,den)z=roots(num);p=roots(den);za=[z;-8.9854];pa=[p;-90.3965];k=985.9155;sys=zpk(za,pa,k);figuresubplot(2,1,1)bode(sys)subplot(2,1,2)nyquist(sys)figuresysc=sys/(1+sys);t=0:0.005:5;impulse(sysc,t)凹壬aM=、87BodeSB^Nyquistffl耳引-h.'lagnitude(dBj—X-_Xr-joi=ioPhase[deg]i■IlI―*oS—3.1=1BddIII門二ag『LLI=i一FrIIIllclllncy〔『wd&enjIrriiaginaryAxis：ffl7Bodefflffl8Nyquisilffl心Figure3FiltJdi+Vih-a'Inssr+T^1sD^sktd.p衛(wèi)in&owH^lp□耳日冒te食直心?<ne"ho2no4oILIP「七-CJEq2no4oILIP「七-CJEq圖9利用頻率響應(yīng)方法校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖（一階控制器）從Bode圖中可以看出,系統(tǒng)具有要求的相角裕度和幅值裕度，從奈魁斯特圖中可以看出，曲線繞-1點逆時針一圈，因此校正后的系統(tǒng)穩(wěn)定。利用頻率響應(yīng)方法校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖可以看出，系統(tǒng)在遇到干擾后，在1秒內(nèi)可以達到新的平衡，但是超調(diào)量比較大。8）打開“LldofFreq.mdl”，在MATLABSimulink下對系統(tǒng)進行仿真（本例和以下的例子都不再仔細說明每步的操作方法，詳細的步驟請參見前一章內(nèi)容）.（進入MATLABSimulink實時控制工具箱"GoogolEducationProducts”打開“InvertedPendulum\LinearInvertedPendulum\Linear1-StageIPExperiment\FrequencyResponseExperiments”中的“FrequencyResponseControlSimulink”）圖10系統(tǒng)仿真圖E3FunctionBlockParaseters:Zero-Pole XZero-PoleMatrixexpressionfr-rzeros.Vectorexpreisioriforpulesandgain.Outputwidthequalsthenumtierofcolumns：inzeros「口弓t「ix.oroneifzerosisavector.ParametersZeros:[-S.9854]Poles:[-90.3956]Gain;[985.9155]Absolutetolerance:autoStateName:(e.g./positior'JOK Cancel Help Apply圖11環(huán)節(jié)參數(shù)設(shè)計圖可以獲得圖12的結(jié)果：

圖12增加超前校正后的單位階躍響應(yīng)圖9） 可以看出，系統(tǒng)存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差，為使系統(tǒng)獲得快速響應(yīng)特性，又可以得到良好的靜態(tài)精度，我們采用滯后－超前校正（通過應(yīng)用滯后－超前校正，低頻增益增大，穩(wěn)態(tài)精度提高，又可以增加系統(tǒng)的帶寬和穩(wěn)定性裕量），設(shè)滯后－超前控制器為：(s+4s+4)"Z"G(s)=K— "Z"c (s+匕)(s+—)t Pt12(30)10）設(shè)計滯后-超前控制器。設(shè)控制器為：(s+丄)((s+丄)(s+亠)G(s)=KT T-c c(s+且)(s+亠)T1 PT2可以得到靜態(tài)誤差系數(shù):=1191.3445Xs+8.7099s+2

X—s+106.0284s+0.1988(31)K=limG(s)G(s)=liml465xs+8.1164x三x 0.02725 沁100.6ps?c s_0 s+121.3221s+0.19880.0102125s2-0.26705比超前校正提高了很多，因為－2零點和－0.1988極點比較接近，所以對相角裕度影響等不是很大，帶后-超前校正后的系統(tǒng)Bode圖和奈魁斯特圖如所示：輸入：clear;num=98*[0.02725];den=[0.01021250-0.26705];subplot(2,1,1)bode(num,den)subplot(2,1,2)nyquist(num,den)z=roots(num);p=roots(den);za=[z;-8.9854;-2];pa=[p;-90.3965;-0.1988];k=985.9155;sys=zpk(za,pa,k);figuresubplot(2,1,1)bode(sys)subplot(2,1,2)nyquist(sys)syscHsys、(l+sys)八7000055impulse(syscj)13s14耳引s沖冊-k'lagnrtude(dBjPhase(deg)t'jaI”igaOOcn cnoOOOOmcdeDiagram利用頻率響應(yīng)方法校正后的Bode圖和Nyquist圖（二階控制器）進入MATLABSimulink實時控制工具箱“GoogolEducationProducts”打開“InvertedPendulum\LinearInvertedPendulum\Linear1-StageIPExperiment\FrequencyR