立體幾何的證明

立體幾何的證明1.如圖，矩形中，平面，為上的點(diǎn)，且平面.（1）求證：平面；（2）求證：∥平面.2.如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為，且，為中點(diǎn)．證明：//平面；（2）證明：平面平面；3.如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，點(diǎn)E、F分別為棱AB、PD的中點(diǎn)．（1）求證：AF∥平面PCE；（2）求證：平面PCE⊥平面PCD；（3）求三棱錐C－BEP的體積．3.證明：（1）取PC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG，∴FG為△CDP的中位線，∴FGCD，∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)，∴AECD，∴FGAE，∴四邊形AEGF是平行四邊形，∴AF∥EG，又EG平面PCE，AF平面PCE，∴AF∥平面PCE；………………4分（2）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A，∴CD⊥平面ADP，又AF平面ADP，∴CD⊥AF，……………6分直角三角形PAD中，∠PDA=45°，∴△PAD為等腰直角三角形，∴PA＝AD=2，…………………7分∵F是PD的中點(diǎn)，∴AF⊥PD，又CDPD=D，∴AF⊥平面PCD，…………………8分∵AF∥EG，∴EG⊥平面PCD，………………9分又EG平面PCE，平面PCE⊥平面PCD；…………10分（3）三棱錐C－BEP即為三棱錐P－BCE，…………………11分PA是三棱錐P－BCE的高，Rt△BCE中，BE=1，BC=2，∴三棱錐C－BEP的體積V三棱錐C－BEP=V三棱錐P－BCE=…14分4.如圖，四邊形是等腰梯形，，是矩形.平面,其中分別是的中點(diǎn)，是中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離.4.連接AE，則AE過點(diǎn)P，且P為AE中點(diǎn)，又Q為AC中點(diǎn)，所以PQ是的中位線，于是PQ//CE.平面.……………4分（Ⅱ）平面平面等腰梯形中由可得,又平面.……………8分（Ⅲ）解法一：點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的2倍，又……………12分解法二：,……………12分5.如圖1,在直角梯形中,,,,點(diǎn)為中點(diǎn).將沿折起,使平面平面,得到幾何體,如圖2所示.（I）在上找一點(diǎn),使平面;（II）求點(diǎn)到平面的距離.BACBACD圖1EABCD圖2E(1)取的中點(diǎn),連結(jié),----2分在中,,分別為,的中點(diǎn)AABCDEF為的中位線平面平面平面