實(shí)變函數(shù)(復(fù)習(xí)資料,帶答案)

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《實(shí)變函數(shù)》試卷一

一、單項(xiàng)選擇題（3分×5=15分）1、以下各式正確的是（）

（A）limAn???Ak;（B）limAn???Ak;

n??n?1k?n??n??n?1k?n?????二.填空題(3分×5=15分)

1、(CsA?CsB)?(A?(A?B))?_________2、設(shè)E是?0,1?上有理點(diǎn)全體，則

?（C）limAn???Ak;（D）limAn???Ak;

n??n?1k?nn??n?1k?nE=______,E=______,E=______.

'o2、設(shè)P為Cantor集，則以下各式不成立的是（）（A）P?c(B)mP?0(C)P?P(D)P?P3、以下說(shuō)法不正確的是（）

(A)凡外側(cè)度為零的集合都可測(cè)（B）可測(cè)集的任何子集都可測(cè)(C)開集和閉集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可測(cè)4、設(shè)?fn(x)?是E上的a.e.有限的可測(cè)函數(shù)列,則下面不成立的是()（A）若fn(x)?f(x),則fn(x)?f(x)(B)

sup?fn(x)?是可測(cè)函數(shù)（C）inf?fn(x)?是可測(cè)函數(shù);（D）若

nn3、設(shè)E是Rn中點(diǎn)集，假使對(duì)任一點(diǎn)集T都

_________________________________，則稱E是L可測(cè)的4、f(x)可測(cè)的________條件是它可以表成一列簡(jiǎn)單函數(shù)的極限函數(shù).（填“充分〞，“必要〞，“充要〞）

5、設(shè)f(x)為?a,b?上的有限函數(shù)，假使對(duì)于?a,b?的一切分劃，使_____________________________________,則稱f(x)為

'??a,b?上的有界變差函數(shù)。

三、以下命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則舉反例說(shuō)明.(5分×4=20分)1、設(shè)E?R1，若E是稠密集，則CE是無(wú)處稠密集。

2、若mE?0，則E一定是可數(shù)集.

3、若|f(x)|是可測(cè)函數(shù)，則f(x)必是可測(cè)函數(shù)4．設(shè)f(x)在可測(cè)集E上可積分，若?x?E,f(x)?0，則

fn(x)?f(x),則f(x)可測(cè)

5、設(shè)f(x)是[a,b]上有界變差函數(shù)，則下面不成立的是（）(A)f(x)在[a,b]上有界(B)f(x)在[a,b]上幾乎四處存在導(dǎo)數(shù)

（C）f'(x)在[a,b]上L可積(D)

ba?f'(x)dx?f(b)?f(a)

?Ef(x)?0

（第1頁(yè)，共15頁(yè)）

四、解答題（8分×2=16分）.

?x2,x為無(wú)理數(shù)1、（8分）設(shè)f(x)??，則f(x)在?0,1?上是否R??1,x為有理數(shù)一、1.C2D3.B4.A5.D二、1．?2、?0,1?；?；?0,1?3、

可積，是否L?可積，若可積，求出積分值。

?ln(x?n)?xlimecosxdx2、（8分）求

n?0n五、證明題（6分×4+10=34分）.

1、（6分）證明?0,1?上的全體無(wú)理數(shù)作成的集其勢(shì)為c.2、（6分）設(shè)f(x)是???,???上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù)a,E?{x|f(x)?a}是閉集。

3、（6分）在?a,b?上的任一有界變差函數(shù)f(x)都可以表示為兩個(gè)增函數(shù)之差。

4、（6分）設(shè)mE??,f(x)在E上可積，en?E(|f|?n)，則

limn?men?0.

nm*T?m*(T?E)?m*(T?CE)

?n?4、充要5、??|f(xi)?f(xi?1)|?成一有界數(shù)集。

?i?1?三、1．錯(cuò)誤2分例如：設(shè)E是?0,1?上有理點(diǎn)全體，則E和CE都在?0,1?中稠密5分

2．錯(cuò)誤2分例如：設(shè)E是Cantor集，則mE?0，但E?c，故其為不可數(shù)集5分3．錯(cuò)誤例如：設(shè)E是?a,b?上的不可測(cè)集，

??x,x?E;f(x)??

???x,x??a,b??E;則|f(x)|是?a,b?上的可測(cè)函數(shù)，但f(x)不是?a,b?上的可測(cè)函數(shù)?

4．錯(cuò)誤mE?0時(shí)，對(duì)E上任意的實(shí)函數(shù)f(x)都有?f(x)dx?0

E5、（10分）設(shè)f(x)是E上a.e.有限的函數(shù)，若對(duì)任意??0，存在閉子集F??E，使f(x)在F?上連續(xù)，且m(E?F?)??，證明：f(x)是E上的可測(cè)函數(shù)。(魯津定理的逆定理

四、1．f(x)在?0,1?上不是R?可積的，由于f(x)僅在x?1處連續(xù)，即不連續(xù)點(diǎn)為正測(cè)度集??..3分由于f(x)是有界可測(cè)

試卷一（參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)）

（第2頁(yè)，共15頁(yè)）

函數(shù)，f(x)在?0,1?上是L?可積的?6分

11由于f(x)與x2a.e.相等，進(jìn)一步，?f(x)dx??x2dx??8

0?0,1?3分

ln(x?n)?xecosx，則易知當(dāng)n??時(shí)，2．解：設(shè)fn(x)?n?E?B,?B?c.??????????6分

2．?x?E?,則存在E中的互異點(diǎn)列{xn},使limxn?x???.2

n??分

?xn?E,?f(xn)?a???????.3分

?f(x)在x點(diǎn)連續(xù)，?f(x)?limf(xn)?a

n??fn(x)?02分

?lnt?1?lnt又因???2?0，(t?3)，所以當(dāng)n?3,x?0時(shí)，

t?t?ln(x?n)n?xln(x?n)n?xln3ln3???(1?x)??4分nnx?nn33ln3(1?x)e?x?????????6分從而使得|fn(x)|?3'?x?E??????5分

?E是閉集.??????????.6分

3.對(duì)??1，???0，使對(duì)任意互不相交的有限個(gè)

(ai,bi)?(a,b)

當(dāng)?(bi?ai)??時(shí)，有?f(b)i?f(ai)?1??????2分

i?1i?1nn但是不等式右邊的函數(shù)，在?0,???上是L可積的，故有

lim?fn(x)dx??limfn(x)dx?0???????8分

n00n??五、1．設(shè)E?[0,1],A?E?Q,B?E\\(E?Q).

?B是無(wú)限集，??可數(shù)子集M?B??????2分?A是可數(shù)集，?A?M?M.????????????.3

將[a,b]m等分，使?xi?xi?1??，對(duì)

i?1n?T:xi?1?z0?z1???zk?xi，有?f(zi)?f(zi?1)?1，所以

i?1k分

?B?M?(B\\M),E?A?B?A?M?(B\\M),且(A?M)?(B\\M)??,M?(B\\M)??,f(x)在[xi?1,xi]上是有界變差函數(shù)??????.5分

???..5分

所以V(f)?1,從而V(f)?m，因此，f(x)是[a,b]上的有界

xi?1axib（第3頁(yè)，共15頁(yè)）

變差函數(shù)???..6分4、f(x)在E上可積

?limmE(|f|?n)?mE(|f|???)?0??2分

n??的

可測(cè)函數(shù)????????..10分

《實(shí)變函數(shù)》試卷二

一.單項(xiàng)選擇題（3分×5=15分）

1．設(shè)M,N是兩集合，則M?(M?N)=（）

(A)M(B)N(C)M?N(D)?2.以下說(shuō)法不正確的是()

E中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，則PE的聚點(diǎn)(A)P0的任一領(lǐng)域內(nèi)都有0是

據(jù)積分的絕對(duì)連續(xù)性，???0,???0,?e?E,me??，有

?|f(x)|dx?????.4分

e對(duì)上述??0,?k,?n?k,mE(|f|?n)??，從而

imn?me即ln?men??|f(x)|dx??，

ennn?0???????6分(B)PE中異于PE0的任一領(lǐng)域內(nèi)至少有一個(gè)0的點(diǎn)，則P0是

5．?n?N,存在閉集Fn?E,m?E?Fn??續(xù)????2分

1,f(x)在Fn連n2的聚點(diǎn)

E的聚點(diǎn)(C)存在E中點(diǎn)列?Pn?，使Pn?P0，則P0是

令F???Fn，則?x?F??k,x??F,n?n?,kx?Fn?()fxk?1n?k???n?k在F連續(xù)???4分

又對(duì)任意k,m?E?F??m[E?(?Fn)]?m[?(E?Fn)]

n?kn?k????m(E?Fn)?n?k?1??????????.6分2k故m(E?F)?0,f(x)在F?E連續(xù)????..8分

又m(E?F)?0,所以f(x)是E?F上的可測(cè)函數(shù)，從而是E上

(D)內(nèi)點(diǎn)必是聚點(diǎn)

3.以下斷言()是正確的。

（A）任意個(gè)開集的交是開集；(B)任意個(gè)閉集的交是閉集；

(C)任意個(gè)閉集的并是閉集；(D)以上都不對(duì)；

4.以下斷言中()是錯(cuò)誤的。

（A）零測(cè)集是可測(cè)集；（B）可數(shù)個(gè)零測(cè)集的并是零測(cè)集；

（C）任意個(gè)零測(cè)集的并是零測(cè)集；（D）零測(cè)集的任意子集是可測(cè)集；

5.若f(x)是可測(cè)函數(shù)，則以下斷言（）是正確

的

（第4頁(yè)，共15頁(yè)）

(A)f(x)在?a,b?L?可積?|f(x)|在?a,b?L?可積；(B)f(x)在?a,b?R?可積?|f(x)|在?a,b?R?可積(C)f(x)在?a,b?L?可積?|f(x)|在?a,b?R?可積;(D)f(x)在?a,???R?廣義可積?f(x)在?a,+??L?可積二.填空題(3分×5=15分)

111、設(shè)An?[,2?],n?1,2,?，則limAn?_________。

nnn??mP?_____，2、設(shè)P為Cantor集，則P?，P=________。

??3、設(shè)?Si?是一列可測(cè)集，則m??Si??______?mSii?1??i?1?4、連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)。

四.解答題(8分×2=16分)

?x,x為無(wú)理數(shù)1、設(shè)f(x)??，則f(x)在?0,1?上是否R?可積，

?1,x為有理數(shù)是否L?可積，若可積，求出積分值。2、求極限

1nx3lim?sinnxdx.n??01?n2x2五.證明題(6分×3+8?2=34分)

1.(6分)1、設(shè)f(x)是(??,??)上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任意常數(shù)c，E?{x|f(x)?c}是一開集.

2.(6分)設(shè)??0,?開集G?E,使m*(G?E)??，則E是可測(cè)集。

3.（6分）在?a,b?上的任一有界變差函數(shù)f(x)都可以表示為兩個(gè)增函數(shù)之差。

4.（8分）設(shè)函數(shù)列fn(x)(n?1,2,?)在有界集E上“基本上〞一致收斂于f(x)，證明：fn(x)a.e.收斂于f(x)。

5.（8分）設(shè)f(x)在E??a,b?上可積，則對(duì)任何??0，必存在E上的連續(xù)函數(shù)?(x)，使?|f(x)??(x)|dx??.

abo4、魯津定理：

__________________________________________

5、設(shè)F(x)為?a,b?上的有限函