基于分段冪函數(shù)插值的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法

基于分段冪函數(shù)插值的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法

包絡(luò)線生成和兩端延拓算法hlt-qill-qill是一種用于分析非線性和非穩(wěn)定信號的新信號分析方法。它在測量機(jī)械誤差、聲波和信號治理方面發(fā)揮著良好的作用。EMD算法是HHT的核心算法之一,用來將信號分解為一組性能較好的固有模態(tài)函數(shù)(IMF),以便進(jìn)行Hilbert變換。目前,包絡(luò)線生成和端點(diǎn)延拓是EMD算法研究的熱點(diǎn)問題。這是因?yàn)樾盘柕腅MD分解本質(zhì)上是通過求包絡(luò)線對信號不斷進(jìn)行移動平均的迭代過程,包絡(luò)線的不準(zhǔn)確將導(dǎo)致信號分解的不完全。求包絡(luò)線時在信號端點(diǎn)處易產(chǎn)生飛翼現(xiàn)象,即在端點(diǎn)處會產(chǎn)生過大或過小振幅,若不先對信號進(jìn)行端點(diǎn)延拓,EMD分解將無法繼續(xù)。目前,常見的包絡(luò)線生成算法為三次樣條插值算法。研究表明,三次樣條插值算法可能產(chǎn)生過沖現(xiàn)象,影響EMD分解結(jié)果的準(zhǔn)確性,文獻(xiàn)提出以分段冪函數(shù)插值算法代替三次樣條插值算法,但并未從理論上解釋其原因。本文結(jié)合文獻(xiàn)和文獻(xiàn)中的一種改進(jìn)的端點(diǎn)延拓算法得到了一種新的EMD算法,并通過分析分段冪函數(shù)插值算法的誤差估計(jì),從數(shù)學(xué)角度解釋了這種插值算法優(yōu)于已有的算法。最后,通過一個股票模型的仿真實(shí)驗(yàn)表明:本文的EMD算法分解信號更完全。1h0t-3確定約束束的相關(guān)計(jì)算EMD算法的目的在于將性能不好的信號分解為一組性能較好的IMFs,這里IMF須滿足如下兩個性質(zhì):(1)信號的極值點(diǎn)(極大值或極小值)數(shù)目和過零點(diǎn)數(shù)目相等或最多相差一個;(2)由局部極大值構(gòu)成的上包絡(luò)線和由局部極小值構(gòu)成的下包絡(luò)線的平均值為零。EMD算法的計(jì)算步驟可敘述如下:步驟1:計(jì)算出信號s(t)所有的局部極值點(diǎn)。步驟2:求所有的極大值點(diǎn)構(gòu)成的上包絡(luò)線和所有的極小值點(diǎn)構(gòu)成的下包絡(luò)線,分別記為u0(t)和v0(t)。步驟3:記上、下包絡(luò)線的均值為并記信號與上、下包絡(luò)線的均值的差為步驟4:判斷h0(t)是否滿足IMF的上述兩條性質(zhì)。若滿足,則h0(t)為IMF;否則,記h0(t)為s(t)重復(fù)步驟1-步驟3,直至得到一個IMF,記為c1(t)。步驟5:記r1(t)=s(t)-c1(t)為新的待分析信號重復(fù)步驟1-步驟4,以得到第二個IMF,記為c2(x),此時余項(xiàng)r2(t)=r1(t)-c2(t)。重復(fù)上述步驟,直至得到的余項(xiàng)rn(t)是一個單調(diào)信號或rn(t)的值小于預(yù)先給定的閾值,分解結(jié)束。如此,最終可得到n個IMFs,c1(x),…,cn(x),余項(xiàng)為rn(x),因此,原始信號s(t)可表示為2分段物插值算法的誤差分析EMD算法的關(guān)鍵是求上、下包絡(luò)線,包絡(luò)線生成不準(zhǔn)確將導(dǎo)致信號的EMD分解不完全。目前,常用的求包絡(luò)線算法均存在著一些不足,如:三次樣條插值算法要求信號足夠光滑,否則易造成過沖現(xiàn)象,即插值得到的函數(shù)可能越過了一些原本應(yīng)該是極值點(diǎn)的信號點(diǎn);而對光滑性要求較低的Akima插值算法,得到的曲線容易出現(xiàn)明顯的折點(diǎn)。為此,本文采用分段冪函數(shù)插值算法,敘述如下:記所有的插值點(diǎn)為P1(x1,y1),P2(x2,y2),,Pn(xn,yn),插值函數(shù)為y=f(x)。對任意3個相鄰點(diǎn)Pi-1(xi-1,yi-1),Pi(xi,yi),Pi+1(xi+1,yi+1)進(jìn)行冪函數(shù)插值:當(dāng)x≤xi時,插值函數(shù)fi(x)滿足當(dāng)x≥xi時,插值函數(shù)fi(x)滿足用fi(x),fi+1(x)重新插值以得到Pi(xi,yi),Pi+1(xi+1,yi+1)之間的分段冪函數(shù)插值曲線fi,i+1(x):fi,i+1(x)=xxii++11--xxifi(x)+xix+1--xixifi+1(x)(6)下面,分析分段冪函數(shù)插值算法的誤差精度。定理設(shè)f(x)∈C1[a,b],S(x)為滿足(6)的分段冪函數(shù),si(x)和si+1(x)滿足(4)-(5)。令h=max{xi+1-xi:1≤i≤n},則有估計(jì)式設(shè)f(xi-1)=yi-1,f(xi)=yi,f(xi+1)=yi+1。則:計(jì)算f(x)-si(x):其中,xi≤ξ1≤x,xi-1≤ξ2≤xi,xi-1≤ξ3≤xi+1。由此可得估計(jì)式推論分段冪函數(shù)插值算法的誤差范圍隨β的增大而減小,且誤差的最大范圍為[Mh2/2,5Mh2/2]。由定理可知:分段冪函數(shù)的光滑性介于三次樣條插值函數(shù)和Akima插值函數(shù)之間,生成包絡(luò)線時,不易產(chǎn)生過沖現(xiàn)象,也不會出現(xiàn)明顯折點(diǎn)。也就是說,分段冪函數(shù)插值算法適合生成非線性、非平穩(wěn)信號的包絡(luò)線。HHT的提出者HuangNE曾指出,根據(jù)端點(diǎn)信號的振幅和頻率,可以對原始信號分別加兩個特征波進(jìn)行端點(diǎn)延拓,但沒有給出具體的算法。為此,本文采用文獻(xiàn)提出的端點(diǎn)延拓算法在對信號進(jìn)行端點(diǎn)延拓,即,將信號的端點(diǎn)值作為第一個延拓點(diǎn)的值,而離該端點(diǎn)最近的極值點(diǎn)的值作為第二個延拓點(diǎn)的值,然后進(jìn)行插值,生成包絡(luò)線,進(jìn)行EMD分解。3低頻部分的fs-hhd分析結(jié)果本節(jié),我們對一個股票模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來自于上海石化(600688)從2000年7月27日到2001年3月22日,共154個交易日的收盤價。分別用本文的算法和文的算法對該信號進(jìn)行分解,結(jié)果如圖1所示。其中,(a)和(b)分別為本文和文分解得到的IMFs?？梢钥闯?采用本文的算法,原始信號被分解為10個IMFs,采用文的算法原始信號被分解為6個IMFs,且(a)中的c10比(b)中的c6單調(diào)趨勢更明顯,EMD分解更完全。對低頻部分的IMFs進(jìn)行HHT分析,以代替股票中常用的移動平均方法,整理分析結(jié)果,可以得到該股票的交易日收盤價,見表1。分析表1知,采用本文的算法和文的算法分析該股票模型均可得到三次交易機(jī)會,其中A、C、E為154個交易日的買入點(diǎn),B、D、F為賣出點(diǎn)。采用本文的算法得到的三次買入賣出差價分別為:AB兩點(diǎn)0.44元,CD兩點(diǎn)0.33元,EF兩點(diǎn)0.42元,比文的得到三個買入賣出差價分別高0.14元、0元和0.01元?？梢?采用本文的算法分析該股票得到了更大的買入賣出差價,則股民的收益更大。這是由于本文用分段冪函數(shù)插值算法代替三次樣條插值算法生成包絡(luò)線,求得的包絡(luò)線更準(zhǔn)確,使對該股票信號的EMD分解更完全,得到的低頻IMFs更準(zhǔn)確地反映了該股票的變化趨勢。仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果相一致。4算法的有效性分析本文研究了Hilbert-H