初中生平面幾何解題困難分析及教學反思

初中生平面幾何解題困難分析【摘要】:平面幾何是初中數(shù)學學習的一個重要組成部分，眾多的定理常常令學生混淆,多變的圖形似曾相識卻又大相徑庭，巧妙的輔助線更是讓人絞盡腦汁也無從下手。平面幾何對許多初中生來說是難點，很多學生還會懼怕學習幾何。然而，隨著數(shù)學教育的改革，對幾何的要求不再僅僅局限于簡單的證明及求解,而是側(cè)重于學生分析問題、解決問題的能力。通過在實驗中學為期六個周的教育實習,對學生解題困難的原因進行調(diào)查與分析,在此基礎上,通過與數(shù)學教研組的其他教師的交流以及對相關文獻資料的學習和整理，對初中生平面幾何的教學提出一些建設性的建議?！娟P鍵詞】：初中平面幾何困難分析數(shù)學教學AｎaｌｙｓiｓonｔｈeCausesoｆtｈeDifficulｔyiｎPｌａneGeoｍetrｙＰrobｌｅｍ—sｏlｖｉnｇofJｕnioｒMiｄdleＳｃhoolStuｄenｔｓ［Ａｂstｒａct］：Ｐl(wèi)ａｎegeｏmetryｉｓanimｐｏrtａnｔｐａrtｏflｅａrniｎｇmａｔhematｉcsiｎjｕniormidｄleｓchool.Ｔｈｅｍａnytｈeoreｍsofeｎmaｋｅｓtudentｓｃｏnｆuｓｅｄ，thｅchaｎgingｇrapｈiｃｓmａybeｆamｉｌiaｒｂuｔveryｄiｆferenｔ，aｎdtｈecleveｒauｘｉｌｉａｒｙlinｅsarｅｏｒｅvｅｎiｍpossibｌetｏsｔarｔ。Planegeｏmetryisａdiｆｆcｕltyｆorｍanyjuniｏｒｍｉｄdｌeschｏolstuｄenｔs,anｄｓｏmeｓtudｅntsaｒｅafｒaｉdtolearｎit.Hoｗever，withｔｈerefoｍｏfmａt(yī)ｈematｉcｓeducａt(yī)ion，tｈegeometrｙisnｏｌｏｎgeｒjuｓｔliｍitedtoasｉmpleprｏｏfandsolving，bｕｔraｔｈｅrｆｏcuseｓonｔheａbilｌｉtyofstuｄeｎtsｔoａnaｌｙzｅandsolｖｅproblems.Dｕrｉnｇtheeducａt(yī)ionaｌpｒactｉcｅiｎＥxｐermｅntaｌＭiｄdleJuｎiｏrScｈoolforapeｒioｄoｆｓixweeks,Ｉhavｅｆiniｓhedthestudentｓ’pｒｏblem-soｌvingｄifｆｉｃultrｅseaｒchaｎdａｎalysｉs．Oｎthisｂasｉs,througheｘchangingwitｈotｈｅｒteacheｒsoｆｍaｔhｅmaticｓteacｈｉng，anｄｒeseracｈingandthｅsｔuｄyoｆｒeｌevaｎｔlitｅratuｒeｓ，Iｍakｅｓoｍeconsｔｒuctｉｖｅsuggｅｒtionｓontｈejｕnｉorｍiddlesｃｈoolfoｒｔheｐlａnｇeｏmeｔｒyteaｃhiｎg.[Keｙwoｒｄs］：JｕniorMiddlｅSchoolPｌaneGeomeｔrｙDｉｆficultyＡnalｙｓｉｓＭaｔｈeｍaｔicｓTeachinｇ目錄引言-－--——－－－-——-—－－-－———－———-————－-－--——－—-—－-－-－—-——－-—--４二、初中生平面幾何解題困難的原因分析-－-——－－——－———－－—－——-—－—－－-－－－—51、死記硬背,費時費力--－－—－－-———－－-—－—－--—－—--－———--－－—-－－－5２、數(shù)與形不能很好的結(jié)合－-－－-—－——－——-—－--—-——--——－——－－—－--－-５３、閱讀文字和理解文字能力的欠缺——-—－-——-－－-－－-－－－－———－——-———－—6初中生平面幾何典型例題歸總—-－－－－－—--—--——-－——--—－－—－-—-－－-－７例1、－-－--－-－-－－-－—－-－－—-－—--－—-－-－－－-—-——－—－——-—－－－—-－-7例２、—-—-－———－—-——————－-－-—--－－———－－－-－-－－－－—－--——－－—--8例3、--——－—－—－—-－—--－———-—-－—-－－——－－—--－—-－－－-—－－—-—-－－-－—－8例４、—－－—--－-－——-—--－-－-－———－--—－－－-－-－－－--——-－-－—－－-－——－9四、初中生平面幾何教學反思-—－－－－－－－－-－－－———－——-——－———-－-－—１１１、讓學生在主動參與中獲取對圖形的認識－-———－-－--－—-——-—－－-—-－—－1１2、重視對學生識圖、作圖能力培養(yǎng)--－－--———-－—－－-—－—-—————--—-113、利用利用多媒體信息技術-—-－——-－———--－－－————－-－－-－－—-—－－－１２4、扎實學生的的基礎知識-———－－-—－--－--——－－-－-——-－—－—－-－－—－—－1２5、觀察與思考相結(jié)合—－－－———-－－-－--－-——-－--—－－-—-—-－-—-126、數(shù)學思想的重要應用－-－-——－－－－-－———————－-－—--－-—-—－－—-－——-１2總結(jié)—-－－-－－—-—－——-－—--——－—－—－—－-－—-－－-－－－-－-—－－—--——－-１２附錄：參考文獻—－-－-——－—－—-－－————－—-－——-—-——————－－－－－－-－-——-－－－--——14引言數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學。數(shù)學與人類發(fā)展和社會進步息息相關,隨著現(xiàn)代信息技術的飛速發(fā)展，數(shù)學更加廣泛應用于社會生產(chǎn)和日常生活的各個方面。數(shù)學作為對于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具，不僅是自然科學和技術科學的基礎,而且在人文科學與社會科學中發(fā)揮著越來越大的作用。特別是20世紀以來,數(shù)學與計算機技術的結(jié)合在許多方面直接為社會創(chuàng)造價值,推動著社會生產(chǎn)力的發(fā)展.數(shù)學是人類文化的重要組成部分,數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應該具備的基本素養(yǎng)。作為促進學生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數(shù)學教育既要使學生掌握現(xiàn)代生活和學習中所需要的數(shù)學知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。眾所之知，數(shù)學知識和技能的學習，離不開數(shù)學解題，即使學生理解了數(shù)學概念、定理等，對于數(shù)學知識未必熟練掌握，也不一定能具有計算能力、數(shù)據(jù)處理能力、推理能力等。數(shù)學知識和技能的鞏固只有在相應的數(shù)學問題情境中才能體現(xiàn),學生必須通過處理相應的問題,將數(shù)學知識和技能內(nèi)化，才能真正掌握.數(shù)學是一門基礎科學，任何一門自然科學和工程技術都離不開數(shù)學這一基礎。而數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展總是在提出問題和解決問題的過程中進行的.正如美國數(shù)學家哈爾莫斯(Ｐ。R。Halmｏｓ）認為，問題是數(shù)學的心臟，數(shù)學的真正的組成部分是問題和解。無獨有偶著名數(shù)學家及數(shù)學教育家喬治·波利亞（G.Polyａ)也強調(diào)指出，“中學數(shù)學教學首要的任務就是加強解題訓練,掌握數(shù)學就是意味著善于解題”。我國《義務教育數(shù)學課程標準（20１1年版)》,在各學段中，安排了四個部分的課程內(nèi)容：“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”、“綜合與實踐”.其中，“綜合與實踐”內(nèi)容設置的目的在于培養(yǎng)學生綜合運用有關的知識與方法解決實際問題，培養(yǎng)學生的問題意識、應用意識和創(chuàng)新意識，積累學生的活動經(jīng)驗,提高學生解決現(xiàn)實問題的能力；初中階段的圖形與幾何課程內(nèi)容主要是以平面幾何為主。隨著人們對數(shù)學問題解決研究的深入,數(shù)學解題困難的研究逐漸被人們所熟知并成為人們所關注的一個重要的課題.并且在所有的解題困難的研究中,解題困難的原因深受人們的重視，本文在整理相關研究成果的基礎上，試將結(jié)合初中日常的數(shù)學教學中的平面幾何典型例題給與詳細論述,并提出相應的意見和建議。根據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準(２01１年版)》，平面幾何涉及到的內(nèi)容有：圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標。二、初中生平面幾何解題困難的原因分析1、死記硬背，費時費力平面幾何涉及內(nèi)容廣泛，從大的方面說包括圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標,從小的方面說有“點、線、面、角”“相交線與平行線"“三角形”“四邊形”“圓"“尺規(guī)作圖”“圖形的對稱軸”“圖形的旋轉(zhuǎn)”“圖形的平移”“圖形的相似"“圖形的投影”“坐標與圖形的位置”“坐標與圖形的運動”,據(jù)不完全統(tǒng)計,初中階段教材中的定理、性質(zhì)、推論、判定多達15０個，如果要求每個定理一字不錯的記住,一天兩天可以，一周兩周呢？一個月兩個月呢?在日常的教學中經(jīng)常會有這樣的情況,本節(jié)的定理當堂提問都沒有問題,可是到下一堂課時，就只能有一半的學生能夠回想起來,如果隔上一個星期再小測一下,就剩下寥寥無幾的幾個人而已。原因為何？就是記憶的方法有誤，簡單的依靠字面的意思去記憶,結(jié)果只會是“事倍功半"。試想一下，如果一個學生連最基本的定義定理都記不住,老師又有什么理由去相信他們會做題呢?另一個在教學實踐中經(jīng)常出現(xiàn)的問題就是，如此多的定義定理，往往使許多學生在進行第一遍記憶的時候就混淆、弄不清楚誰是誰，就拿四邊形性質(zhì)定理來說，對于菱形、矩形、正方形性質(zhì)的異同點常常分不清,這就導致,在進行判定記憶的時候，又出現(xiàn)了混亂。由此可見，熟練掌握基本的概念知識是做對題的第一步。數(shù)與形不能很好的結(jié)合眾所周知,圖形在平面幾何解題中起到很重要的作用，有些幾何問題在沒有圖形輔助的情況下，解題思維幾乎無法展開。圖形在解題中到底起到什么作用呢？華羅庚先生說“數(shù)無形時少直觀,形離數(shù)時難入微,數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”。其實，圖形給解題者一個直觀的關于問題中基本元素間的位置關系圖示，使解題者能夠較容易地將當前問題與已有的熟悉問題圖示聯(lián)系起來，這個位置關系圖示進一步給解題者一種導向,引導解題思路,有助于問題解決者回憶和尋找解題途徑和策略，有助于解題者直觀發(fā)現(xiàn)問題中可能存在的關系.在《義務教育數(shù)學課程標準(201１年版）》課程設計思路中有寫到,“在數(shù)學課程中，應當注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想”，其中提到的“幾何直觀”主要是指：利用圖形描述和分析問題,借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象,有助于探索解決問題的思路,預測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學,在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用.用數(shù)形結(jié)合的思想方法處理問題通常有兩種途徑，分別是“以形助數(shù)”、“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復雜問題簡單化,抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。通常在平面幾何題中也會有相應的兩類題目:一類是已經(jīng)畫好圖形,并配有文字解說，讓學生計算某些量的值或是證明某種關系;另一類就沒有給圖形，需要學生自己根據(jù)文字敘述畫出圖形，并進行相應的解答.兩類題目相比之下,第二類題目比第一類題目難度增加,學生解答起來困難較大，主要是無法準確的依據(jù)提示畫出圖形，比如梯形中平行的兩底，到底誰平行誰經(jīng)常弄顛倒，得出的結(jié)果也就大相徑庭。出現(xiàn)這種錯誤的原因有四:讀題不夠仔細，粗略而過,導致字母或數(shù)字錯誤，無法正確畫出所需圖形.對于文字題中經(jīng)常會出現(xiàn)“任意”的字眼，這時候很多同學沒有會出現(xiàn)多種情況的意識,通常只畫了一種情況，考慮不周。自己畫出來的圖形有較大的誤差，無形中加大了分析和解題的難度。面對需要自己畫圖的幾何題，很多同學不敢下筆,從心理上就給自己很大壓力,不敢去嘗試做新題。相比之下,對于第一類題目，在已經(jīng)給出圖形的情況下,學生解題的困難主要在兩個方面：如何能快速的將已知條件和圖形進行一一對應。許多同學要來來回回好幾遍才能找全所有的關系.從根本上來說還是沒有將數(shù)形結(jié)合起來,讀題時看字與看圖分開來研究，一旦文字中出現(xiàn)過多的數(shù)據(jù)和字母，這樣的方法就顯得麻煩的多，而且很容易漏了條件和記錯數(shù)據(jù)。在給出圖形的情況下，很多同學容易被誤導，沒有進行嚴格的驗證粗略得到的解.3、閱讀文字和理解文字能力的欠缺由于受網(wǎng)絡、媒體的影響和沖擊，當今初中學生喜愛讀書的人數(shù)較少,閱讀文字的意識不強,尤其理解文字的能力較弱,受年齡和感悟能力的限制,學生對生動的圖像和畫面比較感興趣,對枯燥代辦的文字比較麻木,造成大部分初中學生語感也比較差,對文字感悟和理解層次不高,尤其是遇到文字量較大的幾何題,學生很容易視覺疲勞，多旋轉(zhuǎn)幾次就暈頭轉(zhuǎn)向了?，F(xiàn)在課程標準里面也明確提出了要加強學生解決實際問題的能力,從近幾年的中考題來看,不乏很多背景較新穎、文字較長、與動手操作有關的幾何題,往后這應該成為學生和老師關注的重點.閱讀和理解文字的能力的欠缺直接反映了學生在分析問題上的弱點，無法對材料進行充分的理解,也就很難應用所學到的數(shù)學知識、思想、方法解決問題,并用數(shù)學語言正確地加以表述.所以，如果有人說數(shù)學是基礎,那么我們就得承認語文是基礎的基礎?？墒?在現(xiàn)實生活中往往會出現(xiàn)這樣的情況，學生數(shù)學成績非常優(yōu)秀而語文成績卻是不及格，也不乏有家長、學生，甚至是學校的老師都會有重理輕文的思想，認為“學好數(shù)理化,走遍全天下"，這就使得人們更加忽視對語文的學習.蘇步青老先生曾經(jīng)說過一句話,“如果語文不及格，數(shù)學再好也不能錄取”,蘇老先生是我國數(shù)學界的大師，他極為重視學生對語文的學習,目的就是提高學生對文字的分析和理解的能力。三、初中生平面幾何典型例題歸總本部分將結(jié)合平面幾何典型例題,對上述的分析進行具體的一一對應的闡述。例1、下列判斷正確的有（）①順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形的各邊中點一定構(gòu)成正方形；②兩組鄰邊相等的四邊形是菱形；③一組對邊平行且一組對角相等的四邊形式平行四邊形；④四個角都相等的四邊形是矩形。A、4個B、３個C、2個Ｄ、１個【答案】B?！究键c】平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定。【分析】根據(jù)相關知識逐一判斷:①順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形的各邊中點一定構(gòu)成正方形，此命題正確,理由如下：如圖,由Ｅ、F、G、Ｈ分別是ＡB、BC、ＣD、DA的中點，根據(jù)三角形中位線定理，得EFAＣ，ＨＧAC，HEDＢ，GFＤB。由AＣ=BD,AC⊥BD,根據(jù)正方形的判定可知四邊形EFGH是正方形。故①正確。②是錯誤的，可以舉出反例，如箏形，可以滿足兩組鄰邊相等但不是菱形。③是正確的.如圖,已知AＢ//CＤ,∠A=∠C,所以∠C＋∠B=180°,所以∠A+∠B＝180°,所以AD/／BC，故四邊形ABCD是平行四邊形。④是正確的.因為四邊形的內(nèi)角和是３6０°,既然四個內(nèi)角都相等，那么四邊形的四個角都是90°,所以符合矩形的判定,三個角都是直角的四邊形是矩形。故選B。例2、已知:AB和CＤ為⊙Ｏ的兩條平行弦，⊙O的半徑為5ｃm，AＢ=8cｍ，ＣD=6cm,求AB、ＣＤ間的距離是.【答案】填:7㎝或1㎝【考點】本題考查圓中弦、弦心距等與弦有關的計算問題.【分析】由于圓內(nèi)的的兩條弦均小于圓的直徑，因此可確定出圓中的兩條平行弦的位置關系有兩種：一是位于圓心的同側(cè);二是位于圓心的異側(cè)。如圖：過Ｏ作ＥF⊥AB，分別交AB、ＣＤ于E、F,則AE＝4㎝,ＣF=3㎝,由勾股定理可求出ＯE＝3㎝，OF＝4㎝。故當AB、ＣＤ在圓心異側(cè)時，距離為7㎝，在圓心同側(cè)時，距離為1㎝?！惧e誤答案】只寫了一種情況,沒有考慮到會有多種情況。例3、如圖，正方形ABCＤ,且ＥF⊥AＣ,CＥ=CD,那么()A．AE=EＦ=FDB。ＡE=EF≠FDC.ＡE≠ＥF＝FＤD．AE≠EF≠ＦD【答案】：選A【分析】：在正方形AＢＣD中，∠DAE＝45°，且EF⊥ＡC,所以AE=EF，連結(jié)C、Ｆ,在中Rt△ＥＦC和Rt△CDF中,有EＣ=ＤC，CF=CF,所以Rt△EＦC≌Rt△ＣDＦ,所以EＦ=DF綜上所述,ＡE＝EF=FD【錯誤答案】:選B。關鍵在于學生只從所給出的圖形上找關系、“望圖生意”，由于給出的圖形有一定的誤差準確度不高，如果只是從圖上來看，ＥF明顯與ＦＤ不相等，但是數(shù)學講究的是嚴謹?shù)倪壿嬓裕皇枪庥醚劬淳涂梢缘?一定要進行嚴格的邏輯推理才能下結(jié)論，任何一個結(jié)論的得出都得有理有據(jù)。例4、如圖=１＼＊GB3\*MERＧEFOＲMAT①，小慧同學把一個正三角形紙片(即△ＯAB）放在直線上，OＡ邊與直線重合，然后將三角形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°,此時點O運動到了點處，點運動到了點處；點B運動到了點處;小慧又將三角形紙片Ａ繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時點A運動到了點處,點運動到了點處（即頂點Ｏ經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達）。小慧還發(fā)現(xiàn):三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)的過程中,頂點O運動所形成的圖形是兩段圓弧，即和，頂點O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和,并且這兩段圓弧與直線圍成的圖形面積等于扇形AO的面積、△A的面積和扇形的面積之和。小慧精心類比研究：如圖=２\＊GＢ3＼＊MＥＲGEＦＯRＭＡT②她把邊長為１的正方形紙片OＡBC放在直線上，ＯA邊與直線重合,然后將正方形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時點O運動到了點處（即點B處），點C運動到了點處，點B運動到了點處;小慧又將正方形紙片Ａ繞頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，……，按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后，她提出了如下問題:問題1:若正方形紙片ＯABＣ按上述方法經(jīng)過３次旋轉(zhuǎn)，求頂點O經(jīng)過的路程，并求頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線圍成圖形的面積；若正方形紙片ＯAＢC按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn),求頂點O經(jīng)過的路程；問題2：正方形紙片OABＣ按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn),頂點Ｏ經(jīng)過的路程是?請你解答上述兩個問題?！敬鸢浮?81【考點】:對于文字的閱讀及理解能力、旋轉(zhuǎn)問題、及圓的面積和周長計算。CB()(）(）（)【分析】：ＯA(1次)(2次）（３次）(4次)如圖所示，是根據(jù)題意畫出的四邊形ＯABC旋轉(zhuǎn)4次的示意圖，而弧線表示的是Ｏ點每次旋轉(zhuǎn)的路徑，虛線表示的是是每一次旋轉(zhuǎn)的半徑.第一次：繞點A，＝1,，；第二次:繞點，,,；第三次：繞點,＝１，，;第四次:繞點,恢復到第一次旋轉(zhuǎn)之前的原始狀態(tài)。所以從第五次開始,又變到旋轉(zhuǎn)第一次的狀態(tài),周而復始。有了上面的認識,現(xiàn)在我們就可以來解答小慧的兩個問題了。問題1、(1）旋轉(zhuǎn)三次，O點經(jīng)過的路程,（2)頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線圍成圖形的面積包括扇形ＯAB、扇形、扇形、和△BA、△,所以(其中，表示的是兩個直角三角形的面積。)（3）經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，頂點O經(jīng)過的路程：第四次沒有移動,第五次又移動了，所以。問題2：正方形紙片OABＣ按上述方法經(jīng)過8１次旋轉(zhuǎn)，頂點O經(jīng)過的路程是。每四次作為一個回合,經(jīng)過的路程是,2０個這樣的回合后再走一個（即旋轉(zhuǎn)一次）即可?！緦W生表現(xiàn)】：學生在這道題目上的表現(xiàn)不佳。當出現(xiàn)大量的文字、復雜的圖形,學生首先就會從心理上畏懼它，不敢動手解決，實際上,越是這樣看似龐大的題解決起來反而會比較容易,關鍵還是看學生能否明白題目說的什么意思,讓解決什么問題,一旦弄清楚這兩點,處理起來就會方便很多。其次,對于這樣有著過程的幾何題，在不同的階段各點的位置是會變化的，而這也恰恰是學生做題的弱點，沒有運動的概念,或者運動時的位置關系理不清楚,往往最后都把自己都繞進去了。最后,這也是一道很有規(guī)律的題目,因為到第四次旋轉(zhuǎn)之后，四個點的位置關系恢復到原始狀態(tài)，這表明之后第五次旋轉(zhuǎn)會像第一次,第六次就仿照第二次……以此類推，但是不少同學找不到這個規(guī)律,做起來極為麻煩.四、初中生平面幾何教學反思幾何課程不同于代數(shù)、統(tǒng)計類的課程,幾何圖形在我們的生活中隨處可見,相較于枯燥的數(shù)字以及公式，靈活多變的幾何圖形應該時時刻刻體現(xiàn)在我們的幾何教學中.1、讓學生在主動參與中獲取對圖形的認識教學中關注學生的基本生活經(jīng)驗和生活經(jīng)歷,注重引導學生把生活中對圖形的感受