第二章第六次 利用等價(jià)無窮小代換求極限

2.7利用等價(jià)無窮小量代換求極限1、問題的提出無窮小的和、差、積仍為無窮小.無窮小的商是什么？引例:趨向于零的“快慢”程度不同.結(jié)論:x10.50.10.010.001…→02x210.20.020.002…→0x210.250.010.00010.000001…→02、兩個(gè)無窮小的關(guān)系:定義：例1解：證注意：若未定式的分子或分母為若干個(gè)因子的乘積，則可對(duì)其中的任意一個(gè)或幾個(gè)無窮小因子作等價(jià)無窮小代換，而不會(huì)改變?cè)降臉O限．等價(jià)無窮小因子替換法替換方法：要么替換整個(gè)分子（分母），要么替換分子（分母）中的因子．證:常用的幾個(gè)等價(jià)無窮小:注意：等價(jià)無窮小中，可以對(duì)相應(yīng)的變量進(jìn)行置換如：一般地，有：如果又如：例1解:例2解:例3解：例4解:此題用倒代換也可例5解：例6解：此題用倒代換也可例7解:例8解:由題意知注意：不能濫用等價(jià)無窮小代換.無窮小代換原則：乘除可以替換，加減不能單項(xiàng)替換，只能總體代換!!反例：解錯(cuò)解常用的等階無窮小列舉如下：

當(dāng)

x

0時(shí).

0

,

,

,

>?aNnm其中記住2.8函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)改變量（或稱函數(shù)增量）1、問題的提出

冰水吸收熱量與溫度的函數(shù)關(guān)系：我們知道，當(dāng)冰加熱到一定程度時(shí)，就會(huì)溶化成水.但我們是否知道，冰在溶化過程中，它所吸收的熱量Q與溫度t之間有何種關(guān)系呢？下面我們來研究這個(gè)問題.結(jié)論：函數(shù)的圖像在點(diǎn)處是間斷的（不連續(xù)）⑴放到冰箱中熱飲料的溫度C或一天的氣溫C是隨時(shí)間T連續(xù)地變化著.⑵生長(zhǎng)植物的高度H或動(dòng)物的體重G隨時(shí)間T連續(xù)地變化著.⑶神舟六號(hào)飛天時(shí)或駿馬奔走時(shí)的空間位置隨時(shí)間T連續(xù)地變化著.以上這些現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上都體現(xiàn)函數(shù)的連續(xù)性.T(時(shí)間)O

C溫度414242、變量的改變量⑴定義⑵幾何意義定義：即：函數(shù)的改變量=函數(shù)的終值–函數(shù)的初值3、函數(shù)的改變量（或函數(shù)增量）

函數(shù)的改變量可以寫成自變量改變量的函數(shù)例1求函數(shù)

改變量

解：解：例2(1)正方形邊長(zhǎng)由x增加到x+

x，則面積S的改變量

S為多少？(2)邊長(zhǎng)由2米改變到2.05米(3)邊長(zhǎng)由2米改變到1.95米觀察下述圖形：函數(shù)

所表示的曲線在點(diǎn)

處連續(xù)，當(dāng)時(shí)，二、連續(xù)函數(shù)的概念觀察下述圖形：函數(shù)

所表示的曲線在點(diǎn)

處不連續(xù)，當(dāng)

時(shí)，

1、函數(shù)在點(diǎn)x0連續(xù)的定義記于是，上述定義可以轉(zhuǎn)化為確切地，有以下定義：例3證可見,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)必須具備下列條件:1、函數(shù)在點(diǎn)x0連續(xù)的定義（續(xù)）(1)f(x)在點(diǎn)x0有定義，即f(x0)存在;(2)極限(3)存在;用極限的“”語言來描述：例4證由定義知2、單側(cè)連續(xù)的定義(1)左連續(xù):(2)右連續(xù):在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).